Una lettura della storia dell`algebra alla luce dei problemi d

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.1
Una lettura della storia dell’algebra alla
luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento
Fulvia Furinghetti
Gruppo Ricerca Educazione Matematica
Genova
Dipartimento di Matematica dell’Università
di Genova
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.2
Dictionnaire des mathématiques ou idée
générale des mathématiques di Ozanam
(1691, Amsterdam)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.3
L’algebra è come il gatto del Cheshire …
The algebrization of mathematics, Samuel
Eilenberg (1969)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.4
Che cosa è l’algebra e che cosa è
stata nella storia?
(Freudenthal, What is algebra and
what has been in history, 1976)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.5
L’algebra è ...
1. simbolismo operazionale
2. attenzione alle relazioni matematiche
più che agli oggetti matematici, le quali
relazioni determinano le strutture che
costituiscono l’oggetto dell’algebra
moderna. Il modo di pensare algebrico è
quindi basato su una logica relazionale
più che predicativa
3. libertà da ogni questione ontologica e
coinvolgimento, e, legato a ciò,
astrazione piuttosto che intuizione
Michael Mahoney (1971)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.6
Si cercherà di capire che cosa è l’algebra
attraverso ciò che è stata nella storia
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.7
Argomenti trattati
• parametri, variabili, …algebra scolastica
• visualizzare l’algebra e scrivere la
geometria
• metodi approssimati e quasi-euristici
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.8
Autori trattati
•Anonimi
• Euclide
• Pappo
• Diofanto
• Al-Khwarizmi
• Viète
• Descartes
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.9
Argomenti non trattati
• esplicitazione delle strutture
• storia dell’insegnamento dell’algebra
• note biografiche
Storia usata come
• lente di ingrandimento per districare
i nodi concettuali
• fonte di problemi
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.10
Filo rosso: metodo di analisi e sintesi
• nasce dalla storia (Pappo, Viète, ...)
• va in classe (Smith, Sabbatini,
Campedelli)
• torna alla storia e va in classe
(insegnante: Annamaria Somaglia,
autore del percorso scelto)
flash back
flash, ma non pezzi separati
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.11
David Eugene Smith The teaching of
geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How
to attack the exercises (pp.161-162)
“Riguardo alla dimostrazione, di solito lo
studente vagola più o meno finché
imbrocca la via giusta e la segue fino alla
conclusione.
Non
deve
essere
rimproverato se fa questo, perché segue il
metodo che si è seguito e si seguirà da
che mondo è mondo. Questo è il metodo
sintetico, costruire la dimostrazione da
proposizioni precedentemente provate”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.12
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises
(pp.161-162)
“Ma si dovrebbe dire agli studenti che
se essi non trovano abbastanza
facilmente le proposizioni necessarie
per
costruire
la
dimostrazione,
conviene che non rimandino di
rivolgersi ad un altro e più sistematico
metodo. Questo è noto come il metodo
di analisi ed è applicabile a teoremi ed
a problemi.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.13
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161162)
“Ha molte forme, ma per lo studente
non sono poi così importanti queste
distinzioni, bensì basta dargli l’idea di
base di queste forme, un’idea che risale
a Platone (V sec. a.C.).”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.14
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161162)
“Per un teorema, il metodo di analisi
consiste nel ragionare come segue:
posso provare questa proposizione se
posso provare questa cosa; posso provare
questa cosa se posso provare questa;
posso provare questa se posso provare
una terza cosa”.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.15
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston)
Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)
“Questo non prova la proposizione, ma
permette allo studente di rovesciare il
processo, iniziando con la cosa che può
provare e andando indietro, passo passo, alla
cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il
suo metodo di scoperta del modo in cui può
sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli
studenti spesso si chiedono come uno ha
fatto a farsi venire in mente come sistemare
le dimostrazioni in geometria e questo
[l’analisi] risponde alla domanda.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.16
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)
“Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato
fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che
poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha
provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo
stesso che nel caso del teorema. Invero, sono
coinvolte due cose invece di una, perché in questo
caso si deve fare la costruzione e poi provare che
essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone
il problema risolto e vede che risultati seguono.
Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere
questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la
cosa funziona, espone il processo e la
dimostrazione risultante.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.17
In un triangolo ABC disegnare la retta PQ
parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P
e Q, cosicché PQ vale AP + BQ
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.1
Supponiamo il problema
risolto.
Allora AP sarà uguale ad un
pezzo di PQ, sia PX, e BQ
sarà uguale a QX.
Ma se AP = PX, a che cosa è
uguale l’angolo PXA?
PQ è parallelo ad AB; a che
cosa è uguale PXA?
Allora perché BAX =
XAP?
Analogamente si ragiona
per QBX e XBA
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.2
Supponiamo il problema
risolto.
Allora AP sarà uguale ad un
pezzo di PQ, sia PX, e BQ
sarà uguale a QX.
Ma se AP = PX, a che cosa è
uguale l’angolo PXA?
PQ è parallelo ad AB; a che
cosa è uguale PXA?
Allora perché BAX =
XAP?
Analogamente si ragiona
per QBX e XBA
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.3
I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo
dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone:
nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone
l’idea di un doppio percorso dalle idee ai principi
(ascendente) e dai principi alle idee (discendente).
Questo doppio percorso rappresenta un processo
completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso,
meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a
farne un procedimento dimostrativo.
Nel Commento al primo libro degli Elementi di
Euclide (V sec. d. C.) Proclo dice che Platone
insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso],
che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per
mezzo di esso.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.4
Dalle Collezioni matematiche di Pappo (ediz.
di Commandino 1660, Urbino):
“Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit,
tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem
per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur
est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps
consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in
resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes,
quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius
antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod
iam cognitum, vel quod sit è numero principiorum. Et huismodi
processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam
solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes
tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione
sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea
antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum
facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus
vocatur compositio”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.5
In italiano il brano è tradotto in Fonti per la storia della
matematica di U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti
Rigatelli (1992), p. 88
“Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide,
l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il
Vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria]
avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della
sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte
da ciò che si cerca, considerato come concesso, per
giungere passo dopo passo alla sintesi. Cioè in analisi noi
assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato
ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora
ciò che viene prima di questa,...”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.6
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.7
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.8
Problema VIII (Ghetaldi, 1630, pp.92-93):
Data base trianguli, angulum rectum
subtendente, & differentia crurum. Invenire
triangulum.
90°, base D, differenza lati B.
90°, base AB, differenza lati Z
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.9
Presentiamo la dimostrazione secondo lo schema
(“conspectus”)
Supponiamo il problema risolto.
Sia A = somma lati
A/2 + B/2 = lM
A/2  B/2 = lm
DB2 + ED2 = AB2
lM2 + lm2 = D2
EB2/2 + FB2/2 = AB2
A2/2 + B2/2 = D2
EB2 + FB2 = 2AB2
A2 + B2 = 2D2
EB2 = 2AB2  FB2
A2 = 2D2  B2
EB2 = 2AB2  Z2
[questo, come osserva l’autore
EB2 = CB2  EC2
stesso, è il porisma che permette
di trovare la somma dei lati]
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.10
«Verificare l’esistenza di un limite mediante la
definizione (scelto >0 esiste >0 ...)»
Supponiamo risolto
il problema, cioè
che esista >0 tale
che
|f(x)  l|<, se .... Si
ricava
<f(x) l<
e con successivi
passaggi si arriva a
x0()<x<x0+),
cioè il  in funzione
di  cercato.
Poiché per ipotesi
esiste >0, esiste
()>0 tale che se
x0()<x<x0+(),
allora
|f(x)  l|<
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.11
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.12
Le uguaglianze sono fondamentali in algebra, ma non
sono proprie solo dell’algebra
Euclide, Elementi, Libro I, Nozioni comuni:
1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali
anche fra loro
2. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le
totalità sono uguali
3. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti
sono uguali.
(2) e (3) sono in Al-Khwarizmi (al-jabr = restaurare,
completare e al-muqabala = bilanciare, confrontare)
Euclide le usa in una forma ‘quasi algebrica’ (vedere
Prop.III-35)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.13
Euclide, Elementi, Libro II
Le prime 10 proposizioni possono essere
viste come identità algebriche provate
geometricamente; la 11 e la 14 sono
equazioni
- i numeri sono sostituiti da segmenti di retta
- la somma e la differenza tra numeri è
l’ordinaria somma o differenza tra segmenti
- il prodotto di due numeri è l’area di un
rettangolo i cui lati rappresentano i numeri
dati
- il prodotto di tre numeri è il volume
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.14
Euclide, Elementi,
Libro II, 4
Si divida AB nel punto C e si costruisca il quadrato di lato
AB. Preso sul lato BE il punto K tale che BK = CB si
traccino da C e da K le parallele rispettivamente ai lati BE e
DF. In tal modo il quadrato ABED risulta scomposto nei
due quadrati CBKG, HGFD e nei due rettangoli uguali
GKEF e ACGH. Posto a = AC, b = BC. Si ha:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.15
L’uso delle uguaglianze in Euclide è
caratterizzato da un ambiente non
numerico. Si confrontano grandezze, non
la loro misura. Le operazioni che si fanno
sono “mettere insieme”, “ottenere un
rettangolo con due dati lati”, ...
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.16
Si può parlare di una aritmetica delle
grandezze, ma il significato è molto
diverso rispetto a quella dei numeri.
Non ci sono i simboli numerici, qui i
simboli (per esempio, AC per indicare
un segmento) non hanno significato
per loro stessi. Le grandezze risultato
di un’operazione hanno significato in
relazione a quelle da cui provengono.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.17
Il Libro V degli Elementi riguarda la
teoria delle proporzioni
Def. V.3. Rapporto fra due grandezze
omogenee è un certo modo di
comportarsi rispetto alla quantità
Def.V.5. (in termini moderni)
 m,n  , ma >nb  ma >nd
ma =nb  ma = nd
ma < nb  ma < nd
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.18
L’uguaglianza
di
rapporti
coinvolge non solo le grandezze,
ma anche relazioni fra esse.
Siamo ad un secondo livello di
astrazione in cui usiamo relazioni
di
primo
livello
(uguale,
maggiore, minore).
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.19
Riassumendo:
Le uguaglianze presso i Greci hanno due
aspetti:
 uguaglianze di grandezze
 uguaglianze di rapporti (proporzioni)
Due grandezze che sono uguali devono
essere dello stesso tipo (segmenti, aree,
volumi). Per i rapporti ciò è solo
parzialmente vero: si confrontano
rapporti che possono essere da una parte
tra aree ed aree e dall’altra tra segmenti e
segmenti.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.20
Lo storico danese Zeuthen (1892) ha introdotto il
nome di “Algebra geometrica” a proposito del
metodo e del trattamento delle quantità usati per
risolvere i problemi nel libro II degli Elementi.
Discussione accesa (anni 1975-79): da una parte
Zeuthen, Tannery, Neugebauer, van der Waerden;
dall’altra Freudenthal, Mahoney, Seidenberg,
Unguru, A. Weil.
Questa discussione è collegata alla risposta che si dà
alla domanda “Che cosa è l’algebra?”
Per esempio, quando proponiamo agli studenti un
problema del tipo 5 + ∆ = 14, chiediamo di risolvere
un’equazione o solo di fare dei calcoli su numeri?
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.21
Van der Waerden (1976) dice:
“Quando parlo di algebra babilonese o greca o araba,
intendo algebra nel senso di Al-Khwarizmi o dell’Ars
Magna di Cardano, o nel senso della nostra algebra
scolastica. L’algebra, allora, è l’arte di manipolare
espressioni algebriche come (a + b)2 e di risolvere
equazioni come x2  ax = b [...] senza curarsi del
simbolismo usato nel testo.
Se questa definizione è applicata ad un testo arabo o
babilonese è irrilevante quale simbolismo il testo
usa”.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.1
Uno stesso problema può presentarsi in diverse forme:
• L’area del quadrato costruito su due segmenti si trova
sommando il doppio del rettangolo sui due segmenti alla
somma dei quadrati su ognuno dei segmenti
(algoritmica)
• Se si divide a caso un segmento in due parti, il
quadrato costruito su tutto il segmento è uguale alla
somma dei quadrati delle parti e del doppio del
rettangolo che ha per lati le parti (geometrica)
• Il quadrato della somma di due numeri è uguale al
quadrato di uno più il quadrato dell’altro, più il doppio
del prodotto dei due numeri (retorica)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (simbolica)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.2
Problemi relativi alla pratica didattica collegati alla
polemica presa in considerazione:
possiamo vedere le due posizioni come non
contrapposte, bensì complementari?


quale uso del mediatore geometrico?
si arriva alla liberazione da ogni questione
ontologica attraverso situazioni fortemente
‘ontologiche’?


grado di accettazione da parte degli studenti
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.3
Gli storici hanno considerato tre aspetti
relativamente all’algebra
 retorico: il problema e la
soluzione si scrivono nella prosa
corrente
 sincopato:
i singoli autori
introducono
abbreviazioni
stenografiche
 simbolico: sono usati veri e
propri simboli
Ci sono sovrapposizioni di questi aspetti,
anche nello stesso autore e nella stessa
opera
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.4
L’introduzione dei simboli non è avvenuta dall’oggi al
domani. Un esempio di primo uso dei simboli si ha in
Raffaello Canacci (abacista fiorentino della metà del
Quattrocento):
“adunque segnerò porgi glorechi e attendi cholla
memoria acoché imprenda meglio quelo ch’io dicho”
Le ragioni per l’introduzione dei simboli furono
intellettuali, ma anche pratiche. Il decollo avvenne nei
secoli XVI e XVII, essenzialmente per due motivi:
 i problemi complicati necessitano
di semplificazioni
 la stampa dei libri richiedeva la standardizzazione
delle lettere di stampa
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.5
Algebra in Mesopotamia
C’è un gran numero di problemi del tipo:
trovare le dimensioni di un rettangolo con area 96 e in
cui la somma della base con l’altezza è 20.
In forma moderna:
x + y = 20
xy = 96
Neugebauer (1957) la chiama “forma normale”.
Si opera sui numeri dati, seguendo le istruzioni di uno
scriba
1. Dividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = 10
2. Elevare al quadrato: 102 = 100
3. Togliere l’area data, 96, a 100: 100  96 = 4
4. Estrarre la radice quadrata: 2
5. La base è 10 + 2 =12, l’altezza è 10  2 = 8
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.6
Algebra in Mesopotamia
Come si vede, la forma retorica rende difficile
vedere le sostituzioni per noi facili
I problemi quadratici più complessi sono ricondotti
alla “forma normale” (trovare due numeri nota la
loro somma o differenza ed il loro prodotto)
Manca il simbolismo algebrico
Termini come lunghezza, larghezza, area, volumi
sono usati in modo astratto (si sommano tra loro
senza scrupoli)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.7
Algebra in Mesopotamia
I processi mentali sono di tipo “algebrico”,
la geometria ha un ruolo ausiliario.
Sono trattate:
- equazioni di primo grado (anche nei papiri
egizi)
- equazioni di secondo grado
- particolari equazioni di terzo grado
- equazioni di grado superiore riconducibili
a equazioni secondo e terzo grado
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.8
Algebra in Mesopotamia
Gli Assiro-babilonesi erano abili nei procedimenti
algoritmici (si veda il calcolo di 2 riportato nella
seguente tavoletta)
Tavoletta YBC 7289 collezione di Yale
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.9
Algebra in Mesopotamia
In riferimento alla tavoletta precedente:
(nel sistema sessagesimale) sul lato è segnato il numero 30 e
sulla diagonale i numeri 1;24,51,10 e 42;25,35
42;25,35 è la misura della diagonale ottenuta assumendo
come valore approssimato di 2 1;24,51,10
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,414213
secondo Neugebauer
 2  3/2 = 1;30 (per eccesso: (3/2)2 = 9/4)
2:2/3 = 4/3 =1;20
valore medio di queste due approssimazioni è 1;25
ripetendo
1;25 e 1;24,42,21 che ha come media aritmetica 1;24,51,10
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.10
Potenzialità didattiche
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.11
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.12
In Diofanto troviamo:
• quadrato, cubo, biquadrato, quadratocubo, cubo-cubo, ...
• introduce dei simboli per indicarli
• arithme, che è una “quantità
indeterminata di unità”, per cui usa
sempre lo stesso simbolo, V
• l’arithme è assoggettato agli stessi
trattamenti dei numeri (che, per
Diofanto, sono solo i razionali positivi)
• Diofanto crea un linguaggio con una
sintassi ben definita
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.13
Diofanto, Problema 27 libro I (tradotto da Ver Eecke)
Trovare due numeri la cui somma e prodotto formano due
numeri dati
“Proponiamo che la somma dei numeri sia 20 unità e che il loro prodotto sia
96 unità. La differenza dei numeri sia 2 arithme. Allora poiché la somma dei
numeri è 20 unità, se noi la dividiamo in due parti uguali, ciascuna delle parti
sarà la metà della somma, ovvero 10 unità. Dunque se aggiungiamo ad una
delle parti e togliamo dall’altra, la metà della differenza dei numeri, cioè
1arithme, si stabilisce di nuovo che la somma dei numeri è 20 unità e che la
loro differenza è 2 arithme. In conseguenza, poniamo che il numero più
grande sia 1 arithme aumentato di 10 unità che sono la metà della somma dei
numeri; dunque il numero più piccolo sarà 10 unità meno 1 arithme e si
stabilisce che la somma dei numeri è 20 unità e che la loro differenza è 2
arithme.
Bisogna anche che il prodotto dei numeri sia 96 unità. Il loro prodotto è 100
unità meno un quadrato d’arithme, che uguagliamo a 96 unità e l’arithme
diventa 2 unità. In conseguenza, il numero maggiore sarà 2 unità ed il minore
sarà 8 unità e questi numeri soddisfano la proposizione.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.1
Frontespizio del trattato di algebra di Al-Khwarizmi
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.2
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 nel trattato di
algebra di Al-Khwarizmi.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.3
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione
latina di G. Libri (1838)
Il problema è che questo censo (x2) e dieci radici (10x)
sono uguali a 39 dracme. Sia quindi una superficie
quadrata di lati sconosciuti, la quale è il censo, il quale
e le radici del quale vogliamo conoscere: sia essa la
superficie a.b e ciascuno dei lati del quadrato è la sua
radice. Si moltiplica ciascun lato del quadrato per un
certo numero (un segmento), allora il numero
(un’area) che è stato aggiunto è il numero delle radici
(10) che sono proprio la radice di quella superficie.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.4
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione
latina di Libri (segue)
Dopo che si è detto che con il censo ci sono dieci radici,
prenderò la quarta parte di dieci, che è 2,5. E farò la
superficie con ciascun quarto e con uno dei lati della
superficie del quadrato [sta costruendo un rettangolo su
ciascun lato del quadrato]: ci saranno dunque con la prima
superficie, che è la superficie a.b quattro superfici uguali,
la lunghezza di ciascuna delle quali, è uguale alla radice di
a.b, e la larghezza è 2,5; le quali sono le superfici g. h. t. k.
Alla radice della superficie che è di lati uguali e ignoti
(cioè il quadrato che sta costruendo come completamento
di quello iniziale a.b), manca ciò che è tolto dai 4 angoli.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.5
d
h
a
t
census
g
b
k
x2+10x = 39
e
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.6
x2+10x = 39
Il quadrato ab ha area x2. I quattro
rettangoli t, h, g, k hanno lati x e
10/4. L’area del poligono a croce è
x2 + 4(10/4), che vale 39. Se
completiamo la figura con i quattro
quadratini di lato 10/4, otteniamo
un quadrato di lato x + 2(10/4) e di
area 39+4(10/4)2
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.7
Usa l’ipotesi che il quadrato AB più i
quattro rettangoli t, k, g, h sono uguali a
39.
Differenza coi Greci:
• l’analisi
• sono coinvolti numeri (identifica
segmenti, rettangoli, ...) con le loro misure
(10, x, 39, ...)
• si può parlare di dimostrazione non
numerica all’interno di una “aritmetica
delle grandezze”
• si usa una teoria “intuitiva” della misura
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.8
Diversi modi di scrivere la formula
3x3  6x2 = 4x + 5
forma retorica:
Sei volte il quadrato del mio numero si
sottrae tre volte il cubo del numero e chiedo
uguale a quattro volte il numero più cinque
forma sincopata:
3cu m 6ce ae 4co p 5 (Luca Pacioli, 1494)
forma simbolica:
3 Acu  6Aq aequatur 4A + 5 (Viète, 1591)
3xxx  6xx  4x + 5 (Descartes, 1637)
3 x3  6 xx + 4x + 5 (Wallis, 1693)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.9
Una pagina di Viète
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.10
François Viète (1540-1603) espone il suo programma nel
trattato In artem analyticen isagoge (1591). Il suo scopo
principale è di riabilitare, restaurare e migliorare l’analisi
degli antichi. Distingue tre parti o funzioni dell’arte
analitica:
1) la messa in equazione sotto una forma ordinata che
permette di trovare una proporzione corrispondente
(“Zetetica” )
2) la verifica della validità di (1), cioè che si può fare il
percorso in senso inverso, chiamato sintesi (“Poristica”)
3) la soluzione effettiva del problema, sotto forma
numerica o geometrica secondo i casi (“Esegetica”,
“Retica”)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.11
Viète usa la “logistica speciosa” o
calcolo sui simboli (usati sia per
incognite
che
per
dati,
in
contrapposizione
alla
“logistica
numerale”)
L’opera di Viète è di difficile lettura per
l’uso di neologismi (in greco, ...), le
intenzioni, il metodo ...
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.12
Elementi
fondamentali
algebrico in Viète:
del
calcolo
1) “antitesi” (trasporto di un membro
da un termine all’altro
di
un’equazione)
2) “ipobalismo” (soppressione di un
fattore comune a tutti i termini di
un’equazione)
3) “parabolismo” (divisione di tutti i
termini di un’equazione per un
termine arbitrario)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.13
Nella tradizione euclidea il linguaggio delle
proporzioni era il più generale strumento di
espressione matematica e Viète ne è
impregnato. Indica, però, l’equivalenza
fondamentale tra le proporzioni e le equazioni
 Viète è un prodotto dell’ambiente
umanistico del suo tempo
 Secondo l’umanista Petrus Ramus la
conoscenza deve essere organizzata in
argomenti
che
dovrebbero
essere
intrisecamente
omogenei.
L’algebra,
dipendendo dalla geometria e dall’aritmetica,
non soddisfa questo principio..

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.14
In Viète permane la preoccupazione per
l’omogeneità. Viète stabilisce una doppia nomenclatura
sugli scalari o potenze da una parte (lato, quadrato,
cubo, quadrato di quadrato, quadrato in cubo, ...) e
dall’altra, sulle grandezze che possono essere loro
paragonate (lunghezza, o larghezza, piano, solido,
piano-piano, piano-solido, ...)
 La manipolazione algebrica deve dunque
accompagnarsi a ciò che noi chiameremmo la
dimensione
 questa omogeneità è una sorta di “garante
ontologico” delle operazione ed un “regolatore
semantico”. Si tratta di una condizione pesante
abbandonata già da Harriot e Ghetaldi.

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.15
Un esempio di problema
in Viète
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.16
Viète, Zeteticorum, libro I
“Data la differenza di due lati e la loro somma, trovare i
lati.
Sia B la differenza dei due lati e D la loro somma; è
richiesto di trovare i lati.
Sia A il lato minore; allora il maggiore sarà A + B. Dunque
la somma dei due lati sarà A2 + B. Ma la somma dei lati è
data come D. Allora A2 + B = D. e per antitesi, A2 sarà
uguale a D  B, e se essi sono dimezzati, A sarà uguale a
D1/2 + B1/2.
Oppure, sia E il lato maggiore. Allora il minore sarà
E  B.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.17
Viète, Zeteticorum, libro I
“Dunque la somma dei lati sarà E2  B. Ma la stessa
somma è data come D. Dunque E2  B uguaglia D, e
per antitesi, E2 uguaglia D + B, se essi sono dimezzati,
e sarà uguale a D1/2 + B1/2.”
Dunque, con la differenza e la somma di due lati data, i
lati sono trovati.
Infatti, metà somma dei lati meno metà della loro
differenza è uguale al lato minore, e metà della loro
somma più metà della loro differenza è uguale al
maggiore.
Quod ipsum ...
La qual cosa stessa è mostrata dalla Zetesis.”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.18
“In artem analyticem Isagoge
Serosim excussa ab opere restitutae
Mathematicae
Analyseos,
seu,
Algebra nova”
Vaulézard:
“Introduction en l’art analytic ou
nouvelle algèbre”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.19
Riflessioni didattiche
che cosa resta nella nostra scuola di questo
programma?
il metodo (l’analisi) viene prima; lo strumento (il
linguaggio algebrico) deve essere ben
padroneggiato, ma al fine di servire.
 il metodo di analisi è trasversale nella
matematica
 l’analisi favorisce l’interdisciplinarità
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.20
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.21
Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966,
parte II, pp.134-135):
“Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a
riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili,
la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure
da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto
l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e
a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la
mente invece che coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare
qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre
scienze [Logica, Algebra, Analisi dei Geometri] fosse esente dai loro
difetti. [...]”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.22
Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966,
parte II, pp.134-135, segue)
Il secondo [precetto da osservare nel lavorare] consisteva nel dividere
ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante
fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di
essa. [...]
Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e
facili, di cui di solito si servono i Geometri nelle loro più difficili
dimostrazioni, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose
conoscibili dall’uomo si susseguissero nello stesso modo, e che [...]
non potessero darsi conoscenze così remote da non poter infine essere
raggiunte né così nascoste che non potessero scoprirsi. [...] in tale
modo avrei preso quanto di meglio offrivano l’Analisi dei Geometri e
l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’altra.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.23
Il pensiero di Descartes
Ogni problema geometrico può facilmente
essere ridotto a tali termini che una conoscenza
di lunghezze di certe rette è sufficiente per la
sua costruzione.
Infine, per essere sicuri di ricordare i nomi di
queste rette, dovrebbe essere sempre fatta una
lista separata ogni qualvolta i nomi sono
assegnati o cambiati, per esempio, possiamo
scrivere, AB = 1, cioè AB è uguale a 1; GH = a,
BD = b e così via.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.24
Il pensiero di Descartes (segue)
Se, allora, vogliamo risolvere un problema, dapprima
supponiamo la soluzione già trovata e diamo dei nomi a
tutte le rette che sembrano utili per la loro costruzione, a
quelle che sono ignote come a quelle che sono note. Poi,
non facendo nessuna distinzione tra rette note e ignote,
dobbiamo districare la difficoltà in qualunque modo che
mostri più naturalmente le relazioni [quelle che portano a
equazioni] tra queste rette, finché troviamo possibile
esprimere una singola quantità in due modi. Questo
costituisce un’equazione, poiché i termini di una di queste
due espressioni sono insieme uguali ai termini
dell’altra.”dell’altra”.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.25
Descartes parla di relazioni;
che tipo di relazioni?
- equazioni e proporzioni
- non quelle che ha in mente Mahoney, che sono più
generali
- però con la non distinzione tra rette note e incognite
l’algebra di Descartes è già proiettata verso l’algebra
delle strutture
Riguardo alle questioni ontologiche:
- non tratta rette, ma misure di rette
L’algebra di Descartes è basata sulla misura di grandezze
geometriche e relazioni tra queste misure
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.26
Situazione quando arriviamo a Descartes:
 la teoria delle proporzioni è ancora
in auge
 esiste ancora la necessità per una
teoria di essere omogenea
La discussione su Descartes fa emergere due
elementi
fondamentali
nella
storia
dell’algebra:
 il pensiero analitico
 la teoria della misura
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.27
Epilogo
la nostra lettura della storia porta a concludere che
l’algebra non è solo un’estensione del
dominio numerico
 l’algebra non è solo una questione di usare
simboli
 l’algebra è un modo di manipolare relazioni

il metodo di analisi è il cuore dell’algebra
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.28
una lettura darwinista della storia dell’algebra alla luce
dei problemi d’insegnamento/apprendimento ci porta a
parlare di una selezione naturale delle idee. Risultano
vincenti quelle legate all’analisi.