probabilita

LA PROBABILITA’
CHE COS’E’?
La probabilità di un evento è il quoziente
tra il numero dei casi favorevoli a
quell’evento e quello dei casi possibili
quando essi sono tutti egualmente
possibili.
SOMMA LOGICA DI EVENTI
Dati gli eventi E1, E2 relativi allo stesso insieme
universo, il loro evento unione che indichiamo con
E1 U E2, è quell’evento che si verifica al verificarsi
di almeno uno degli eventi dati.
A
B
AUB
universo
FORMULE
TEOREMA DELLA SOMMA PER
EVENTI COMPATIBILI
Compatibili sono eventi per i
quali il verificarsi di uno non
esclude il verificarsi dell’altro;
con il linguaggio degli insiemi
indicheremo che la loro
intersezione non è vuota
P(E1 U E2)=
P(E1)+ P(E2) - P(E1 ∩ E2)
TEOREMA DELLA SOMMA PER
EVENTI INCOMPATIBILI
Incompatibili = eventi per i quali il
verificarsi di uno esclude l’altro
Con il linguaggio degli insiemi
indicheremo che la loro intersezione
è vuota
P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2)
IL PRODOTTO LOGICO DI
EVENTI
Siano E1 ed E2 eventi riferiti allo stesso
universo, definisco il prodotto logico degli
eventi E1 ed E2 l’evento
E= E1 ∩ E2
che si verifica se entrambi gli eventi E1 e
E2 si verificano
ESEMPIO DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
INDIPENDENTI
Da un mazzo di 40 carte si peschino successivamente due carte con
reimmissione della prima carta nel mazzo;
si calcoli la probabilità di estrarre un fante e il re di cuori.
Indichiamo con Ef = estrazione di un fante ed Ere = estrazione del re di
cuori;
per calcolare la probabilità di E = Ef ∩ Ere dobbiamo considerare due
importanti elementi:
• che gli eventi sono indipendenti
• che il testo del problema non indica l’ordine in cui si devono verificare
gli eventi
Nel caso in esame gli eventi Ef ed Ere sono indipendenti e non interessa
l’ordine perché il testo non lo richiede.
Dovremo tenere presente i seguenti eventi incompatibili
(Ef ∩ Ere) e (Ere ∩ Ef) per cui E é l’unione di (Ef ∩ Ere) U (Ere ∩ Ef) e
Poiché P(Ef ∩ Ere)= P(Ef)∙P(Ere)= P(Ere ∩ Ef)
=> P(E)= (4/40∙1/40)∙2=1/200
ESEMPIO DEL PRODOTTO
LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI
Prendiamo in considerazione il seguente esempio in cui gli eventi che
costituiscono il prodotto logico siano dipendenti e la richiesta preveda un
ordine con cui si debbano verificare.
In un sacchetto di frutta secca ci sono 16 noci, 20 castagne e 64 nocciole
(totale 100);
calcolare la probabilità che estraendone due contemporaneamente
escano
nell’ordine una noce e una nocciola.
E
= esce una noce e una nocciola
En
= esce una noce
E nocc = esce una nocciola
E = En ∩ E nocc
P(E) = P(En)∙P(E nocc | En) = 16/100∙64/99 = 256/2475
PROBABILITA’ CONDIZIONATA E
PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
Dati due eventi E1 e E2 si dice
probabilità condizionata di E1
rispetto a E2, e si indica
P(E1|E2), la probabilità che si
verifichi E1 nell’ipotesi che E2 si
sia verificato.
FORMULE
• Se gli eventi sono
dipendenti
P(E1 ∩ E2)=
P(E1)∙ P(E2|E1)
A
• Se gli eventi sono
indipendenti
P(E1∩E2)= P(E1)∙ P(E2)
B
A∩B
B
ESEMPI
ESEMPIO SOMMA LOGICA DI
EVENTI COMPATIBILI
Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10
rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità
che estraendo a caso venga estratta una pallina gialla o pari.
30= palline totali
E1=estrazione di una pallina gialla
E2=estrazione di una pallina pari
E = estrazione di una pallina gialla o pari
?= P(E1 U E2)
I due eventi sono compatibili, quindi:
P(E1)=1/3
P(E2)= 1/2
P(E1 ∩ E2)= 5/30= 1/6 infatti le palline gialle e pari sono 5 su 30
P(E1 U E2)= 1/3+1/2-1/6= 2/3
ESEMPIO SOMMA LOGICA DI
EVENTI INCOMPATIBILI
Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi:
E1= esce un multiplo di 5
E2= esce un multiplo di 3
E = esce un multiplo di 5 o di 3.
Calcoliamo la probabilità che estraendo un dischetto sia un multiplo di
3 o di 5.
Gli eventi sono incompatibili
P(E1)= 2/12= 1/6
P(E2)=4/12=1/3
P(E)= P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2) =1/3+1/6=1/2
ESEMPIO DI PROBABILITA’ CONDIZIONATA DI
EVENTI DIPENDENTI
Si hanno 7 lampadine buone ( B ) e 3 rotte ( R ). Calcolare la
probabilità che estraendone due a caso (senza reinserire la prima
lampada) siano entrambe buone.
Indichiamo con
B1= estrazione della prima lampadina buona, e con
B2= estrazione di una seconda lampadina buona
e rispettivamente con
P(B2/B1)= la probabilità di estrarre la seconda lampadina buona
dopo aver estratto la prima buona
calcoliamo
?= P(B1∩B2)
Ricordando il teorema della probabilità condizionata
P(B2∩B1)= P(B1) ∙ P(B2/B1)= 7/10∙6/9=42/90=7/15
SINTESI
COMPATIBILI
INCOMPATIBILI
E1 U E2
P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2) – P(E1∩ E2)
DIPENDENTI
P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2)
INDIPENDENTI
E1 ∩ E2
P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2|E1)
P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2)
PROBABILITA’ TOTALE:
Partizione dell’universo
Si abbiano due urne 1 e 2:
l’urna 1 contiene 3 palline bianche e due nere, l’urna 2 contiene 4 palline
bianche e 5 nere.
Calcola la probabilità che estraendo una pallina a caso da un’urna, la
pallina sia bianca. Indichiamo con Eb l’evento estrazione di una pallina
bianca. Sottoponiamo la scelta dell’urna al lancio di un dado, scelgo la
prima se esce un numero minore di tre, scelgo la 2 se esce un numero >=
a 3.
I due eventi E1(esce un numero <3) e E2(esce un numero ≥3) sono eventi
incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità di uscita del dado; essi
hanno P(E1)=1/3 e P(E2)=2/3
La probabilità che esca una pallina bianca è condizionata alla scelta
dell’urna nel senso che P(Eb|E1)=P(Eb ∩ E1)/P(E1) e
P(Eb|E2)=P(Eb ∩ E2)/P(E2)
P(Eb ∩ E1)=P(Eb|E1)∙P(E1)=3/5∙1/3=1/5
P(Eb ∩ E2)=P(Eb|E2)∙P(E2)=4/9∙2/3=8/27
Gli eventi Eb ∩ E1 e Eb ∩ E2 sono eventi incompatibili e l’evento
Eb=(Eb∩E1) U(Eb∩E2) quindi
P(Eb)=P(Eb ∩ E1)+P(Eb ∩ E2)=1/5+8/27=67/135
LA FORMULA DEL
TEOREMA DI BAYES
P(Pa l A) = P(A ∩ Pa) / P(A)
IL TEOREMA DI BAYES
Poniamoci ora la domanda inversa al problema precedente:
“qual è la probabilità che la pallina estratta provenga dalla
seconda urna?”
Siamo di fronte ad un evento che si è già verificato e vogliamo
conoscere la probabilità da assegnare alla causa che può
averlo prodotto.
Indichiamo con Eb l’evento “uscita di una pallina bianca” e con
E2 l’evento “uscita della pallina dall’urna 2”.
P(E2 l Eb)= ?
Per il teorema della probabilità composta abbiamo che
P(E2 ∩ Eb)= P(E2 l Eb)· P(Eb)
Grazie alla proprietà simmetrica dell’intersezione di due insiemi
possiamo dire che
P(E2 l Eb) = P(E2 ∩ Eb) / P(Eb) = P(E ∩ E2) / P(Eb)
Grazie ai calcoli del problema precedente sappiamo che
P(Eb ∩ E2) = 8/27, mentre P(Eb) =67/135
=> P(E2 l Eb)= (8/27) / (67/135) = 40/67