Lezione 1
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Undicesima Lezione Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz, mutua ed autoinduzione Riassunto della lezione precedente Campo magnetico in alcune strutture Confronto dipolo magnetico/elettrico Il potenziale vettore Legge di Faraday in forma integrale Legge di Lenz Legge di Faraday in forma differenziale alcune considerazioni qualitative sugli invarianti La relatività dei campi magnetici ed elettrici Abbiamo chiuso la precedente lezione con un apparente paradosso; vediamo in un caso semplice come non si tratti di paradosso Supponiamo di avere un filo percorso da corrente ed una particella carica in moto con velocità v. Immaginiamo che anche gli elettroni si muovono con velocità v (per semplificare) v r r r+ v+ =0 v- =v r’+ r r’ v’+=-v v’- =0 S Sue sistemi di riferimento: S solidale al filo, S’ alla carica Il filo è globalmente neutro nel sistema S: r+ =-r- S’ La relatività dei campi magnetici ed elettrici Nel sistema S sappiamo che la forza magnetica agisce sulla carica: 0 Iqvu r F = qv B = 2r Abbiamo usato la legge di Biot-Savart; riscriviamo I come JA, ovvero r-vA 1 v2 = qr - A 2 u r Dove abbiamo anche riusato la definizione di 0 2r 0 c Cosa succede in S’? Il filo sembrerebbe neutro e non c’è campo magnetico… quindi cosa? In realtà la quantità di carica (non la densità!) è un invariante, cioè non cambia da un sistema all’altro, o non si conserverebbe la carica Dovremo ricalcolare le densità di carica in S’ tenendo conto della quantità totale di carica e del volume La relatività dei campi magnetici ed elettrici La quantità di carica nel sistema in quiete è Q = r 0 L0 A v A r r r+ v+ =0 v- =v S L0 Nel sistema in moto invece Q = rLA con L = L0 1 - v 2 / c 2 r = r0 / 1 - v 2 / c 2 r’ + r r’ v’+=-v v’- =0 S’ L quindi Ora consideriamo separatamente r+ e r - nel nostro caso: r+ in riposo in S ed in moto in S’ per cui r- in riposo in S’ ed in moto in S per cui r+ ' = r+ / 1 - v 2 / c 2 r- ' = r- 1 - v 2 / c 2 La densità totale di carica in S’ è quindi (considerando che r-=-r+) r ' = r '+ + r '- = r+v2 / c2 1- v2 / c2 La relatività dei campi magnetici ed elettrici Quindi in S’ il filo appare uniformemente carico, con carica netta positiva In passato abbiamo calcolato il potenziale e quindi il campo di un filo uniformemente carico: F ' = qE' = q 2 0 v2 / c2 r 1- v2 / c2 (ricordate che rA è la densità lineare di carica l) Confrontando le forze in S ed S’ otteniamo F'= r+ A F 1- v2 / c2 Che è il modo in cui si trasformano le forze nella relatività Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione Una variazione di flusso magnetico induce una FEM, definita come forza (tangenziale) per unità di carica integrata lungo il conduttore Necessità di tale definizione: la forza può essere orientata localmente in modo diverso; quello che conta è l’effetto complessivo Quando muoviamo una spira rispetto ad un campo la cosa non ci sorprende: si deve poter spiegare con la forza di Lorentz; verifichiamolo…. Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: Forza di Lorentz e Legge di Faraday w v L Barra metallica in movimento in campo magnetico uniforme FEM secondo la legge di variazione di flusso dL d BA = Bwv = Bw fem = dt dt FEM secondo Lorentz: forza per unità di carica non nulla solo sulla barra e pari a vxB ovvero vB, per cui integrata: fem = Bwv Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: novità Legge di Faraday e conseguenze Lenz La legge di Faraday sorprende quando si considera il moto di un magnete rispetto alla spira La legge di Lenz, come abbiamo visto, stabilisce che la fem produce una corrente che tende ad opporsi alla variazione di flusso: quali sono le conseguenze? In un solenoide con una corrente variabile, il flusso varia: una forza contro-elettromotrice tende ad opporsi alla variazione Se apriamo di colpo un circuito con un grosso solenoide, tale forza produce una grossa differenza di potenziale, eventualmente anche un arco…. Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Autoinduzione Se si pone un anello di metallo su una elettrocalamita con campo variabile, l’anello viene respinto: si inducono correnti “vorticose” che fanno dell’anello un elettromagnete opportunamente orientato In un conduttore perfetto: una piccola FEM darebbe origine a correnti infinite. Nella realtà un conduttore perfetto si oppone alla penetrazione del campo magnetico: qualunque variazione di B produce un B opposto ed uguale: nessun flusso magnetico penetra! Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Superconduttori Se si avvicina un magnete ad un superconduttore, le correnti “vorticose” o di Foucault, produrranno un campo che si oppone al movimento: levitazione magnetica! Effetto Meissner Movies from © Superconductivity Lab University of Oslo Materiali diamagnetici In realtà è possibile ottenere levitazione con qualunque materiale diamagnetico (anche acqua…) diamagnetismo è un fenomeno manifestato dai materiali in presenza di campo magnetico esterno: tutti i materiali sono virtualmente diamagnetici, anche se altri fenomeni come ferromagnetismo o paramagnetismo sono tali da rendere trascurabili i fenomeni diamagnetici In termini classici: gli elettroni che ruotano costituiscono dipoli magnetici, solitamente con effetto complessivo nullo. In presenza di campo magnetico cambia la velocità di rotazione degli elettroni e si manifesta un campo magnetico che reagisce a quello esterno in modo repulsivo Il campo magnetico così prodotto è solitamente piccolissimo, ed in termini di r corrisponde a r lievemente minori di 1, in pratica sucettività magnetica lievemente negativa (es per l’acqua c=-9.05 10-6 ) Il superconduttore è un materiale diamagnetico ideale, con c=-1! Materiali diamagnetici In presenza di forte campo magnetico esterno però l’effetto del diamagnetismo, invisibile nella vita quotidiana, può essere impressionante In un recente esperimento (Radboud University Nijmegen, High Field Magnet Laboratory [HFML]) ha levitato anche una rana in un campo di 16 Tesla (!!!). Il filmato di sotto è reperibile al sito di tale università Materiali ferromagnetici e paramagnetici Il paramagnetismo è dovuto all’allineamento dei momenti di dipolo magnetico posseduti da atomi che hanno elettroni spaiati: principio di esclusione di Pauli In tal caso il campo magnetico prodotto è tale da produrre forze attrattive rispetto al campo inducente; il risultato è che r è maggiore di 1; il campo prodotto sparisce se si rimuove il campo inducente nei materiali paramagnetici Nei materiali ferromagnetici accade una cosa in più: dipoli vicini interagiscono tra loro in modo da allinearsi in blocchi (domini magnetici o di Weiss) così che anche quando il campo magnetico esterno cessa, essi manifestano in proprio campo magnetico non nullo. I materiali ferromagnetici si spiegano solo con la meccanica quantistica: se ci fermassimo alla meccanica classica saremmo costretti a pensare che due dipoli affiancati minimizzino la loro energia potenziale quando producono campi opposti tra loro. Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali Se si avvicina un magnete ad un conduttore reale, le correnti “vorticose” o di Foucault, si estingueranno dopo un po’ (dissipate in effetto termico) ma “frenano” il moto del magnete in una sorta di attrito viscoso Se muoviamo la spira il flusso concatenato cambia: se x è la lunghezza ancora immersa nel campo dx V = BL = BLv dt Scorre una corrente i =V / R Le forze sui lati 2 e 3 sono uguali ed opposte, resta la forza F1 F1 = -iLB = -B 2 L2v / R Una forza opposta a quella applicata e proporzionale alla velocità... La potenza dissipata (in forma termica) Notate che P=VI avrebbe P = dL / dt = Fdx / dt = Fv = - B 2 L2 v 2 / R dato lo stesso risultato Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali Un pendolo di rame che oscilla frena quando un elettromagnete, che il pendolo attraversa, viene alimentato Pendolo di Waltenhofen Spira che ruota in un campo uniforme Il flusso varia, producendo una FEM V B = A B cos = A B cos t d B V= = - ABsint dt Portiamo i fili in un punto in cui B non varia, così possiamo definire un potenziale elettrico, e la ddp coincide (a meno del segno) proprio con la FEM V I = -V / R = ABsint / R I R Spira che ruota in un campo uniforme La spira agisce quindi da generatore di fem alternata E La potenza erogata dal generatore vale quindi E0 pt = E i = E0 I sin 2 t t p E0 I i I t t Notate la reciprocità tra la funzione generatore e la funzione motore! Mutua Induttanza Due bobine con campo magnetico variabile Consideriamo il caso di un solenoide ideale, sezione S, con avvolta sopra un’altra bobina:del resto il solenoide ha un campo semplice B = 0 I1 N1 / l Facciamo variare la corrente nel solenoide; la seconda bobina intercetta un flusso variabile dB S dI1 dI1 fem 2 = - N 2 S = - 0 N1 N 2 = - M 21 dt l dt dt Se immettessimo la corrente variabile nella seconda bobina, il conto sarebbe più complicato ma si otterrebbe dI 2 fem1 = - M 12 dt Mutua Induttanza Inoltre si troverebbe che M 12 = M 21 Se le due bobine fossero alimentate contemporaneamente, comparirebbe anche il fenomeno dell’autoinduzione: varia il flusso concatenato di ciascuna bobina come effetto della variazione della propria corrente dI1 dI 2 fem1 = - L1 - M 12 dt dt dI dI fem 2 = - M 21 1 - L2 2 dt dt Induttore In generale anche con una sola bobina ci sarà autoinduzione Il flusso concatenato sarà proporzionale alla corrente ed il coefficiente di proporzionalità L si definisce induttanza (B) = Li essendoB i L dipende da geometria e mezzo Si misura in henry [H] L = H henry 1 H = 1 Wb/A = 1Vs/A = 1s B Induttanza di solenoide lungo Il campo lo conosciamo B = 0 in u z Il flusso è N volte quello prodotto da B T = N = nl SB = 0in Sl L0 = 0 n Sl 2 2 Induttanza in un cavo coassiale Ipotizziamo che il campo magnetico sia non nullo solo tra i due conduttori i B C A D l 2rB = 0i Flusso attraverso ABCD: Re 0i 0i Re B = ldr = l ln 2 Ri Ri 2r Quindi l’induttanza è Legge di Ampère (B non dipende dall’angolo per simmetria) 0i B= i 2r 0 Re L= l ln 2 Ri Trasformatore ideale Immaginiamo di avere due solenoidi ideali concentrici e che I2=0 È chiaro che fem1 / fem2 = L1 / M = N1 / N 2 Dovendosi conservare la potenza, il rapporto tra le correnti deve essere il reciproco Transitorio in un circuito induttivo Un induttore ideale non ha resistenza interna, uno reale sì, e la si rappresenta separatamente Il circuito diviene così un circuito RL Se applichiamo una FEM esterna (pila) al circuito, la 2a legge di Kirchhoff: di - iR - L + E = 0 dt Risolviamo con condizioni iniziali: i=0 per t=0 ed i=E/R per t infinito - t E i = 1 - e L con = R / L R Transitorio in un circuito induttivo Se cortocircuitiamo la pila quando il precedente circuito è arrivato a regime invece - iR - L di = 0 dt E - t i= R e L Energia immagazzinata dal campo magnetico Se allontaniamo due cariche di segno opposto immagazziniamo energia potenziale Se allontaniamo due fili percorsi da corrente nello stesso verso: analogo Ma quant’è l’energia immagazzinata? consideriamo il circuito di prima di - iR - L + E = 0 dt Ei = i 2 R + Li Potenza fornita di dt Potenza Accumulata Potenza dissipata Integriamo la potenza accumulata dal campo magnetico per avere l’energia t i di 1 U L = Li dt = Lidi = Li 2 dt 2 0 0 Esempio: solenoide ideale L’energia è 1 2 U = Li 2 1 2 = 0 ni lS 2 La densità di energia: dividendo per il volume U 1 1 2 2 u = = 0 ni = B V 2 2 0 Se B ed H sono legate linearmente da : 1 2 = 0 H 2
