La Geometria
L'universo non si può intendere se prima
non s'impara a intender la lingua, e
conoscer i caratteri, né quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre
figure geometriche, senza i quali mezzi è
impossibile a intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro laberinto.
(da “Il Saggiatore“ di G.Galilei)
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GEO - METRIA
terra
misura
La nascita della geometria si pensa risalga a molto tempo fa nell’antico
Egitto per l’esigenza di rimisurare i terreni inondati dalle piene del Nilo
in Egitto per scopi pratici misurazioni e costruzioni
in Grecia per dimostrare proprietà e relazioni tra le figure
nell’antica Roma per la gestione e amministrazione del
grande impero
Nell’ epoca moderna la geometria non si occupa solo della
misura , ma anche dello studio delle forme e delle loro
proprietà e delle loro relazioni.
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I MODELLI
Nelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni , si
fa spesso ricorso ai MODELLI.
Il MODELLO non è l’oggetto, ma è la riproduzione o la
rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene
solo alcune delle sue caratteristiche :
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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La geometria EUCLIDEA
Euclide di Alessandria ( 300 circa a.C.) è il padre della geometria che
ancora oggi studiamo. Si narra che un discepolo , dopo aver imparato le
prime regole , chiese ad Euclide: “Maestro, cosa guadagnerò imparando
queste cose?” ; Euclide chiamò un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato, visto che voleva trarre guadagno da ciò
che studiava, dopodichè lo cacciò dalla sua scuola.
Gli enti primari (Euclide li chiama elementi) sono i
MATTONI della geometria e non si definiscono.
ente
caratteristica
simbolo
punto
Talmente piccolo, da non
avere dimensioni
P maiuscola
retta
Infiniti punti allineati,
non ha inizio, non ha fine
r,s minuscola
piano
Infinite rette accostate , infinita
larghezza, infinita lunghezza
α,β lettere greche
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modello
P
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GEOMETRIE non euclidee
Molto tempo dopo Euclide, diversi matematici si dedicarono a costruire
geometrie che partivano da “mattoni” diversi da quelli di Euclide..
Girolamo Saccheri (Sanremo, 5 settembre 1667 –
Milano, 25 ottobre 1733) fu uno dei primi a lavorare
sull’opera di Euclide; entrò diciottenne nell'ordine
della Compagnia di Gesù a Genova, e venne
ordinato sacerdote a Como nel 1694. Era un valente
giocatore di scacchi: era in grado di giocare
contemporaneamente tre partite .
Quello che arrivò a risultati interessanti fu Riemann
(Breselenz, 17 settembre 1826 – Selasca, 20 luglio 1866).
Bernhard da bambino era calmo e molto timido e amava
risolvere i puzzle.
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Il modello di Riemann
•Il piano è costituito da una superficie chiusa ( per comodità potremmo
pensare ad una superficie sferica)
•I punti sono i punti su di essa
•Le rette per due punti sono i cerchi massimi passanti per essi
Così … in questo modello non esistono rette parallele.
Si definisce geodetica la linea di minima distanza tra due punti la
geodetica, cioè l'arco minore di circonferenza che passa per i due punti
Il triangolo
AMN risulta
avere tre angoli
retti!!!!
Impossibile
disegnarne uno
simile sul
foglio!…
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altri enti geometrici
ente
caratteristica
semiretta
Una delle due parti in cui
una retta è suddivisa da un
punto (l’ORIGINE). Ha
inizio, ma non ha fine
segmento
Parte di retta compresa
tra due punti: gli
ESTREMI
punto
medio
Punto che divide a metà
un segmento
asse di
AB
Retta che passa per il
punto medio di un
segmento e forma con
esso 4 angoli uguali
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simbolo
modello
r,s minuscola
O
AB
A
M
a
A
B
M
A
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B
B
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Coppie di segmenti
INCIDENTI: con un punto
O in comune
O
C
CONSECUTIVI: con un
estremo B in comune
A
B
ADIACENTI: con un
estremo in comune e
appartenenti alla stessa
retta
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A
B
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C
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GLI ANGOLI
Se partendo da O tracciamo due semirette il piano è diviso in due parti;
ogni parte del piano si chiama angolo.
O si chiama VERTICE
OA e OB si chiamano lati
La parte indicata in rosso si chiama convesso ;
la parte che contiene i prolungamenti delle semirette si chiama concavo
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altre definizioni di angolo
Secondo EUCLIDE :
“Un angolo piano è l' inclinazione mutua di due linee rette intersecantesi in un
piano“
(dal I libro di Euclide)
B
Secondo una visione più DINAMICA :
“Un angolo immaginarlo come la
rotazione che porta un lato a
sovrapporsi all’altro “
O
A
… così l’angolo PIU’ GRANDE che può
esistere è l’angolo che compie il giro
completo :
ANGOLO GIRO
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O
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Rappresentazione e descrizione di un angolo
B
α
O
A
Un angolo può essere descritto in diversi modi:
1) Usando le lettere dell’alfabeto greco:
α , β , γ ..
2) Usando la lettera che indica il vertice con un cappuccio:
3) Usando le lettere del vertice e dei lati; in questo
modo dovrò anche seguire un verso prestabilito :
+ antiorario come POSITIVO
- orario come NEGATIVO
O
AOB
AMPIEZZA
DI
UN ANGOLO
L’ampiezza è la grandezza di un angolo legata alla
inclinazione dei suoi lati.
L’ampiezza si misura in GRADI
simbolo:
1 grado = 1 °
La misura degli angoli nasce con la
misura del tempo e il tempo fa
riferimento ai movimenti nel cielo.
La terra impiega 365 giorni per fare
il giro completo attorno al sole.
Così i Babilonesi dividono l’angolo
giro in 360 parti ,
in
360 gradi = 360°
(365 non sarebbe stato un numero
comodo !!)
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Tipi di angoli
Angolo giro : 360°= 0°
Angolo acuto : < 90°
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Angolo piatto : 180°
Angolo retto : 90°
Angolo ottuso : 90°< <180°
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Coppie di angoli
Angoli consecutivi:
con un lato e il vertice
in comune
Angoli complementari:
la loro somma è 90°
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Angoli adiacenti:
con un lato comune e
gli altri due allineati
Angoli opposti al
vertice: a coppie
uguali
Angoli supplementari:
al loro somma è 180°
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Operazioni
con
gli angoli
Il grado, unità di misura per l’angolo, è chiamato sessaggesimale
perché i suoi sottomultipli, si ottengono dividendo per 60
1°
un grado
:60
X60
:60
1’
un primo
1”
un secondo
X60
quindi
1° = 60 ‘
(1 grado = 60 primi)
e
1’ = 60 “
Un angolo acuto può misurare:
52 gradi
34 primi
(1 grado = 60 primi)
52° 34’ 48”
48 secondi
Somma di angoli
45° 32’ 40”
incolonniamo
gradi
+
e
80° 65’ 42”
riflettiamo sui riporti
primi
secondi
45°
32’
40” +
80°
65’
42” =
======================
125°
97’
82”
1’
125°
1°
126°
=
98‘
60” +22”
22”
60’ +38’
38’
22”
Differenza di angoli
95° 82’ 30”
incolonniamo
e
-
80° 65’ 42”
=
riflettiamo sui riporti
gradi
primi
95°
82’
secondi
30” 1’
60” +30”
80°
65’
42” =
===============================
95°
81‘
90” –
80°
65’
42” =
===========================
15°
16’
52”
