IL pendolo

Alunno
Enrico De Lorenzis IVSB
Liceo Scientifico G.C. Vanini – Casarano (Le)
Svolta il
28.11.06
Il pendolo semplice
Obbiettivo: studio del moto armonico semplice di un pendolo
Un moto periodico è un moto che si replica nello stesso modo ogni determinato
intervallo di tempo, questo intervallo è detto periodo (T). Nella realtà, forze di attrito di
diversa natura ostacolano questo moto determinando un’alterazione delle proprie
caratteristiche, in particolare l’energia posseduta dal sistema diminuisce nel tempo fino a
esaurirsi e di fatto il moto non è più neppure periodico.
Il moto armonico semplice è un particolare tipo di moto periodico corrispondente alla
proiezione sul diametro di un moto circolare uniforme. Tutte le grandezze che lo riguardano
possono pertanto essere calcolate attraverso la relazione goniometrica che le lega a quelle
del moto circolare corrispondente.
Definito θ l’angolo descritto da un punto materiale sulla circonferenza, la proiezione dello
spazio percorso lungo la stessa, ovvero lo spazio (x) descritto dal moto armonico è, per le
leggi della trigonometria, x  r cos  . Inoltre poiché in un moto circolare uniforme
θ  ωt lo spostamento può essere espresso come x  r cos ωt .
Dalla formula si ricava che l’ampiezza (A), lo spostamento massimo in valore assoluto
rispetto all’origine, si avrà per cosθ = ±1 ovvero per θ = 0 e θ = π.
Graficamente è evidente come A = r, quindi si può scrivere

A
θ
x
o
Vt
x  Acos ωt
θ
Poiché il verso di x coincide con il segno della funzione coseno, si deduce che lo
spostamento sarà positivo nel primo e quarto quadrante, negativo nel secondo e nel terzo.
Come già detto lo spostamento massimo in valore assoluto si ha per θ = 0 e θ = π, mentre
sarà nullo per θ = π /2 e θ = 3π/2.
A
θ
V
o
La velocità del moto armonico semplice, considerata la parallela al diametro condotta per il
punto di applicazione è uguale a v   v t sen ωt .
Dato che in un moto circolare uniforme

v  ωr ,
v  ωA sen ωt
La formula prevede il segno negativo poiché è evidente come graficamente il vettore della
velocità tangenziale nel primo quadrante punti nel verso del semiasse negativo delle
ascisse. Il verso della velocità è l’opposto del segno della funzione seno da cui dipende,
pertanto la velocità sarà negativa nel primo e secondo quadrante, positiva nel terzo e nel
quarto. La velocità massima in valore assoluto si avrà per senθ = ±1, ovvero per θ = π /2 e
θ = 3π/2, al contrario sarà zero per θ = 0 e θ = π.
L’accelerazione del moto armonico semplice è espressa, sempre per le leggi della
trigonometria dalla relazione a  a c cos ωt e poiché in un moto circolare uniforme
ac
θ
A
θ
a
o
a c  ω 2 r si può concludere che

a  ω 2 A cos ωt
L’accelerazione massima in valore assoluto si avrà per θ = 0 e θ = π., sarà zero per θ = π /2
e θ = 3π/2. La stessa è positiva nel secondo e terzo quadrante, negativa nel primo e nel
quarto quadrante essendo il suo verso determinato dall’opposto del segno della
funzione coseno da cui dipende.
Il pendolo è un sistema oscillante in un piano ideale intorno ad un asse per
effetto della forza gravitazionale, che e descrive un arco di circonferenza con
centro nel punto di sospensione del filo. Una delle proprietà caratteristica del
pendolo è la sua tendenza a mantenere immutato il piano di oscillazione rispetto a
un riferimento assoluto. Il pendolo semplice né rappresenta il modello ideale,
costituito da un punto materiale sospeso a un punto fisso mediante un filo in
estensibile, di massa nulla e lunghezza L. Quando il pendolo è in posizione
verticale, con θ = 0, la forza peso è annullata dalle tensione del filo e pertanto il
sistema è in equilibrio. Quando il pendolo è in movimento, la forza peso si
scompone in due componenti perpendicolari tra loro; la prima ha la stessa
direzione e verso opposto rispetto alla tensione del filo e perciò e annullata dalla
stessa, la seconda invece è quella che produce il moto del pendolo stesso ed è detta
forza di richiamo (Fpx). Un pendolo che compie piccole oscillazioni esegue un
moto armonico semplice.
θ
L
T
T
x
Fpx
Fp
Fp
θ
Fpy
Per le leggi delle trigonometria Fpx  Fp senθ  mg senθ . Poiché , approssimando lo spostamento x all’arco di
senθ  x L e per il secondo principio della dinamica Fpx  ma si può eguagliare
x
gx
2π
 ma ovvero
 a . Dato che in un moto circolare uniforme a  ω 2 x e ω 
scrivendo mg
effettuando le
L
L
T
circonferenza descritto dal moto ,
opportune semplificazioni
gx
 ω2x
L
gx
 ω2 x
L
g 4π 2

L T2
T  2π
L
g
Dalla formula finale (legge di Galileo) è evidente come il periodo non dipenda dalla massa del pendolo ma esclusivamente
dalla sua lunghezza. La legge dell’isocronismo, esplicita questa proprietà sostenendo che il periodo del pendolo semplice è
indipendente dalla massa sospesa e dall'ampiezza delle oscillazioni ma dipende soltanto dalla lunghezza del filo che sostiene il
corpo e dall'accelerazione di gravità. Questa legge è valida solo nel caso in cui il pendolo compia piccole oscillazioni, infatti
solo per angoli piccoli l’arco descritto dal moto può essere approssimato alla distanza x dalla verticale dell’azzeramanto.
Strumenti
 Pendolo semplice
 Riga
 Sonar: è uno strumento che permette di individuare la posizione di un oggetto emettendo


delle onde e captandone gli impulsi riflessi. Dal tempo intercorso tra l'emissione del
segnale e la ricezione dell'onda riflessa è possibile infatti risalire alla distanza dell'oggetto
individuato.
Lab Pro: è un apparecchio che media il passaggio delle informazioni tra il sonar e il
computer. È dotato di due porte per l’ingresso delle informazioni.
Logger pro3: è il programma indispensabile per l’elaborazione dei dati acquisiti per
mezzo del sonar. Raccoglie tutte le informazioni ed è anche in grado di comporre dei
grafici sulla base dalle stesse.
Sonar e Lab Pro
Metodo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Misurare la lunghezza (L) del pendolo con l’ausilio della riga..
Sospendere il pendolo ad un supporto e collocare correttamente il sonar. È necessario
infatti che il proiettore del sonar si trovi allineato con il baricentro della massa sospesa del
pendolo e collocato ad una distanza tale (70 cm circa che il cono delle onde emesse
colpisca il pendolo durante tutto il suo movimento.
Predisporre le apparecchiature collegando il sonar al LabPro e questo al computer.
Impostare la porta del LabPro per il collegamento con il sonar ciccando sulla barra degli
strumenti “LabPro” e poi su “DIG/SONIC 1 o 2” a seconda della porta scelta
Prestando attenzione che il pendolo sia fermo procedere all’azzeramento cliccando
“Esperimento” sulla barra dei menù e quindi “Azzeramento Sensori”.
Mettere in moto il pendolo prestando attenzione a farlo muovere allineato con il sonar e di un angolo abbastanza piccolo
da rendere il periodo costante.
Cliccare su “Misura” in modo tale che il sonar proceda con
le misurazioni e il programma acquisisca ed elabori i dati
creando il grafico di x=f(t) e v=f(t). Il sonar considererà lo
spostamento come la distanza dalla verticale e lo leggerà
negativo, quando il pendolo gli si avvicina, positivo in caso
contrario.
-x
x
Analisi dei dati
Tempo
(s)
Posizione
(m)
Velocità
(m/s)
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
-0,040
-0,064
-0,082
-0,096
-0,107
-0,113
-0,115
-0,111
-0,104
-0,090
-0,074
-0,055
-0,033
-0,011
0,012
0,036
0,055
0,089
0,097
0,103
0,107
-0,467
-0,402
-0,325
-0,251
-0,170
-0,074
0,021
0,113
0,208
0,291
0,353
0,400
0,431
0,451
0,465
0,463
0,478
0,379
0,198
0,104
0,069
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
0,110
0,109
0,106
0,093
0,076
0,057
0,037
0,015
-0,007
-0,026
-0,051
-0,070
-0,088
-0,100
-0,108
-0,112
-0,111
-0,106
-0,097
-0,082
-0,064
-0,045
-0,024
0,002
0,023
0,043
0,062
0,082
0,096
0,106
0,106
0,107
0,103
0,096
0,082
0,067
0,048
0,032
0,006
0,192
0,055
-0,166
-0,279
-0,035
-0,388
-0,418
-0,430
-0,425
-0,432
-0,423
-0,371
-0,294
-0,206
-0,116
-0,031
0,054
0,145
0,239
0,316
0,370
0,405
0,434
0,452
0,434
0,400
0,378
0,322
0,233
0,113
0,023
-0,014
-0,116
-0,203
-0,281
-0,331
-0,366
-0,419
-0,443
▄ periodo
▄ spostamento massimo
▄ velocità massima
La lunghezza del pendolo (L) risulta dalla misurazione effettuata di 0,60m.
I dati riportati riguardano la variazione dello spostamento e della velocità per l’intervallo di
tempo compreso tra 0,05s e 3,00s. Dagli stessi si ricava che lo spostamento massimo (A)
del pendolo rispetto alla posizione idi equilibrio è di circa 0,11m . ■
Considerando il tempo trascorso tra due oscillazioni consecutive è possibile ricavare
sperimentalmente la misura del periodo.
T  (2,65  1,10)s  1,55s ■
Si può quindi verificare come dalla formula matematica per il calcolo del periodo si ricavi
lo stesso valore:
T  2π
L
0,60m
 2π
 1,55s
g
9,81 m s 2
È utile a questo punto rintracciare l’equazioni x=f(t), v=f(t )e
a=f(t) per completare lo studio del moto. È fondamentale
considerare che la misura da parte del sonar difficilmente è
iniziata con il pendolo nella posizione di equilibrio (θ = 0),
pertanto è necessario includere nell’equazioni uno
sfasamento (φ) che esprima in pratica l’angolo che il
pendolo forma con il semiasse positivo delle ascisse a tempo
zero. Lo sfasamento, che è valido per tutte e tre le equazioni
relative al moto, può essere calcolato sostituendo due valori
a caso corrispondenti di posizione e tempo tra quelli
registrati dal sonar in una delle tre equazioni. Consideriamo
ad esempio la più semplice
A
θ
o
φ
x = Acos(φ+θ)
x  A cos (  t   )
Poiché in un moto circolare uniforme ω 
2π
, la relazione può essere espresse nel
T
seguente modo
x  Acos(
2
t  ) .
T
Sostituiamo quindi nell’equazione altre a A=0,11m e T=1,55 precedentemente ricavati
I valori t = 1,10s e x = 0,11m
2
 1,10   )
1,55
1  cos( 4,46   )
cos 0  cos( 4,46   )
0  4,46  
  4,46rad
0,11  0,11  cos(
Pertanto l’equazione oraria x=f(t) completa è
x  0,11cos(4,05t  4.46)

Il grafico dello spostamento e della velocità in funzione del tempo riprodotti del computer
sulla base dei dati sperimentali, affiancati alla curva ideale del moto che descrive
l’equazione ottenuta sono:
x=f(t)
0,15
grafico sperimentale
x
interpolazione
0,10
0,05
0,00
0,00
-0,05
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,10
-0,15
t
È possibile calcolare analogamente l’equazione v=f(t), sostituendo nell’equazione generica v  
2π
2
Asen (
t  ) ,
T
T
i valori A = 0,11m, T = 1,55s e φ = - 4,46rad precedentemente ricavati. Il risultato è
v  0,45sen(4, 05t  4,46)

Il grafico sperimentale elaborato dal programma sovrapposto a quello dell’equazione appena espressa è
v=f(t)
grafico sperimentale
v
interpolazione
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00
-0,20
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,40
t
-0,60
Procedendo in modo analogo si ricava l’equazione a=f(t) ovvero
a  1,81cos(4,05t  4,46)

Il programma non è impostato per il calcolo dell’accelerazione né di conseguenza per l’elaborazione del suo grafico. Tuttavia
l’accelerazione in un determinato istante può essere calcolata sulla base di tempo e velocità considerando che a 
Δv
.
Δt
Quindi, Prendendo in considerazione più intervalli di tempo è possibile costruire il grafico sperimentale a=f(t) che sovrapposto
all’interpolazione che esprime la precedente equazione è
a=f(t)
grafico sprimentale
6
interpolazione
a
4
2
0
0,00
-2
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-4
-6
-8
t
Conclusioni
Il confronto i tra grafici dei dati sperimentali e quelli ottenuti dalle equazioni conferma che il moto del pendolo è un moto
armonico semplice.
Sovrapponendo i grafici di spostamento e velocità è evidente inoltre come allo spostamento massimo la velocità sia
approssimativamente zero e come a spostamento zero la velocità sia all’incirca quella massima in valore assoluto.
Sovrapponendo invece il grafico dell’accelerazione e quello della spostamento, nei limiti degli errori di misurazione, si verifica
che allo spostamento massimo corrisponde un’accelerazione massima, mentre se lo spostamento è nullo anche l’accelerazione è
tale.
x
0,60
spostamento
v
velocità
0,40
0,20
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,20
-0,40
t
-0,60
6,00
x a
spostamento
accelerazione
4,00
2,00
0,00
0,00
-2,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-4,00
-6,00
-8,00
t