Esempio 2.

L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.1
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra
LEZIONE 4
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.2
6. Capacità di una manipolazione flessibile
(pensiero anticipatorio)
- cogliere le circolarità potenziali di certe
manipolazioni
- aspetti gestaltico-percettivi delle espressioni
simboliche
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.3
Esempio 2.
Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi
mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto
per fissare le idee).
Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20)
hanno un colore diverso da quelle interne (nel
nostro caso sono 15).
Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di
mattonelle è uguale.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.4
b
a
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.5
La soluzione di un matematico:
ab - [2a + 2(b - 2)] = 2a + 2(b-2)
ab - 4a - 4b + 8 = 0
a(b - 4) - 4(b - 2) = 0
(a - 4)(b - 4) = 8
Il target simbolico
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.6
7. La capacità di districarsi in situazioni "deboli"
ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone
per riconquistare il senso perduto.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.7
Una studentessa aveva da risolvere il problema:
"Trovare le coordinate del centro della
circonferenza passante per i punti
(a,b), (-a, b), (0,0)"
(a-m)2 + (b-n)2 = r2
(-a-m)2 + (b-n)2 = r2
m2 + n2 = r2
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.7
Una studentessa aveva da risolvere il problema:
"Trovare le coordinate del centro della
circonferenza passante per i punti
(b,a), (b, -a), (0,0)"
(b  n) 2  (a  m) 2  r 2

2
2
2
(b  n)  (a  m)  r
n 2  m 2  r 2

L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.8
Lavora sulle prime due; cancella i termini e ottiene
ma = 0
Sa che o m = 0 o a = 0 ma non capisce quale
risultato è quello giusto.
Il lavorio sintattico fatto sembra abbia fatto
evaporare il senso algebrico dei simboli che ha
davanti: non sa più qual è l'incognita e quale il
parametro, ecc.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.9
Però non si perde d'animo. Decide di vedere che
cosa capita nel caso che sia a=0.
Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna
circonferenza (tre punti sull'asse y). A quel punto
è in grado di riprendere il senso di a come
parametro e di m come incognita e di concludere
correttamente che è m=0.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.9
Però non si perde d'animo. Decide di vedere che
cosa capita nel caso che sia a=0.
Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna
circonferenza (tre punti sull'asse x). A quel punto
è in grado di riprendere il senso di a come
parametro e di m come incognita e di concludere
correttamente che è m=0.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.10
Il senso del simbolo si può manifestare
nell’intraprendenza e nel senso comune che
possono aiutare gli studenti a riconoscere errori e a
iniziare a mettere in ordine le confusioni.
Come nel caso delle illusioni ottiche il senso del
simbolo dovrebbe comprendere l’intraprendenza
per districarsi dalla confusione con qualsiasi
strumento di cui si disponga.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.11
8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva
La discussione matematica aiuta a costruire il
significato condiviso dei simboli.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.12
Da un lato, allievi, a volte anche con buon indice
di scolarizzazione, che costruiscono il loro
linguaggio matematico come sequenza di
regolarità notazionali che combacino con quelli
dei membri acculturati della società rimanendo
pertanto a una fruizione puramente segnica dei
simboli algebrici che usano.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.13
Dall'altro allievi che costruiscono pratiche
matematiche simboliche condivise con quelle di
una società più ampia e quindi afferrano il senso
inteso (condiviso) dei simboli che usano.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.14
Un caso interessante: l’esempio del pavimento e
l’origami:
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.15
DOPPIO
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.16
DOPPIO
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.17
DOPPIO
TRIPLO
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.18
TRIPLO
2 QUADRATI IN PIÙ AD OGNI ANGOLO = 8 IN TUTTO
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.19
9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.20
Esempio:
y = mx + n
Sostituendo m = 2, n = 3 tutto sembra chiaro: si
ottiene la retta y = 2x + 3.
Sostituendo x = 2, y = 3 si ottiene la scrittura
3 = m·2 + n
che appare misteriosa
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.21
Riassumendo la lista (dovuta ad Arzarello, Fey,
Arcavi):
1. Abilità ad analizzare un'espressione algebrica per
fare stime approssimative degli schemi che
emergeranno nella loro rappresentazione
numerica o grafica.
2. Abilità a prevedere quando utilizzare la funzione
algoritmica e quando quella simbolica.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.22
3. Abilità ad analizzare una tabella dei valori di
una funzione o un grafico per interpretare
condizioni enunciate verbalmente, al fine di
identificare la probabile forma di un'espressione
algebrica che esprime lo schema appropriato.
4. Abilità a cogliere/costruire sensi non equivalenti
per significati equivalenti
5. Abilità di scelta dei simboli
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.23
6. Capacità di una manipolazione flessibile
7. Capacità di districarsi in situazioni "deboli"
ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone
per riconquistare il senso perduto.
8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva
9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’
………...
………...
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.24
1. L’insegnamento dell’algebra deve essere
finalizzato all’acquisizione del senso dei simboli:
insegnare le manipolazioni in contesti ricchi.
2. Sfruttare la tecnologia: apprendere per tentativi ed
errori mediante interazione con manipolatori
simbolico-grafici.
3. È l’attività degli studenti che supporta la
costruzione del senso del simbolo
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.25
4. Assecondare i processi genetici di transizione al
simbolo a partire dai campi di esperienza degli
allievi, dando tempo e spazio a tutte quelle attività
che favoriscono tali processi (interazione sociale,
mediazione del linguaggio naturale parlato e
scritto, esplorazioni,...)
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.26
Alcuni esempi di problemi ‘stimolanti’ nell’ambito
di campi di esperienza diversi:
•
•
•
•
Combinatoria e induzione
Modelli ed Economia
Probabilità
Aritmetica e dimostrazioni
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.27
Combinatoria e induzione
In quanti modi si può ricoprire una scacchiera 2xN
con tasselli di domino ?
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.28
Ci sono due modi per iniziare il ricoprimento:
a
TN-1
TN = TN-1 + TN-2
b
TN-2
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.29
Modelli ed Economia
L'Italgas deve decidere, in relazione all'importo annuo
medio pagato dai vari clienti (supponiamo da un
minimo di L100 000 a un massimo di L 5 000 000),
qual è il numero ottimale di bollette da mandare in un
anno. Si tenga conto che ogni bolletta ha un costo fisso
indipendente dall'importo e che si può supporre che le
somme via via riscosse nel corso dell'anno rendano
all'azienda un interesse mensile (diciamo dell’1%)
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.30
Probabilità
Qual è la probabilità che dividendo a caso un
segmento in tre parti si possa costruire un
triangolo?
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.31
y
x
a
x+y = a
x+y<a
0<x,0<y
x + y > a - (x + y )  x + y > a/2
x>y-a+x+y
 x < a/2
y>x-a+x+y
 x < a/2
Quindi la probabilità richiesta è 1/4
a/2
a
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.32
Aritmetica e dimostrazioni
Esplicitare le dimostrazioni nascoste nei calcoli
L’aritmetica come campo di esperienza per fare
esplorazioni con problemi aperti, congetturare
proprietà, fare dimostrazioni.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.33
Esempi.
Dalle dimostrazioni di semplici proprietà numeriche
(ad es. la somma di due dispari è un pari) a
dimostrazioni più impegnative:
• La dimostrazione di Euclide sull’infinità dei
numeri primi (nel biennio).
• La dimostrazione di Eulero della stessa proprietà
con un’altra idea.
L'apprendistato al senso dei
simboli in algebra 4.34
Se esistessero solo due primi p, q non sarebbe
difficile esplicitare la scrittura della serie armonica
con i fattori dei denominatori:

1
1 1 1
1
1
1
 1     2  2  2 2  ... 

p q pq p q pq p q
n 1 n
 1 1 1
 1 1 1

1   2  3  ...1   2  3  ...
 p p p
 q q q

Ma allora la serie armonica convergerebbe!