3rdweek_lezione11_12

Lezioni 11-12
• Principio di Pauli esteso
• Coniugazione di carica
• Numeri quantici additivi: carica, numero
barionico, numero leptonico, stranezza, ipercarica,
ipercarica generalizzata
•Inversione temporale. Dipolo elettrico del neutrone
•Teorema CPT
•G-parità
1
CONSERVAZIONE DELL’ ISOSPIN
Dal momento che le interazioni forti conservano l’isospin, tutti gli adroni
possiedono il numero quantico dell'isospin, e quindi essi appartengono a
multipletti di isospin. Ciò è evidente dall’osservazione che le masse di più
mesoni o barioni sono quasi identiche fra loro, mentre le loro differenze sono
imputabili alle interazioni e.m. (quelle deboli sono ininfluenti). Infatti la massa di
una particella può essere considerata come l’autovalore associato alla
Hamiltoniana della particella nel sistema a riposo della particella stessa. La
Hamiltoniana totale che descrive le interazioni di un adrone sarà data da:
H =H
strong +
H
e.m. + H weak
Dal momento che le interazioni forti sono indipendenti dalla terza componente
dell’isospin, le masse di particelle appartenenti allo stesso multipletto di isospin
saranno uguali per quanto riguarda la parte determinata da H strong che è quella
dominante. L’interazione e.m. provocherà solo un piccolo “split” (separazione)
tra i valori delle masse, mentre quella debole non avrà praticamente alcun effetto.
2
PRINCIPIO DI PAULI ESTESO
Se consideriamo il protone e il neutrone come particelle identiche, almeno per
quanto riguarda le interazioni forti, la funzione d’onda di due nucleoni può
essere cosi espressa:
(N1, N2) =  spazio   spin   isospin
Essa deve essere antisimmetrica per scambio dei due nucleoni, cioè:
 (N1, N2) = -  (N2, N1)
Esaminiamo separatamente il comportamento delle tre funzioni per scambio dei
due nucleoni.
1)  spazio Abbiamo già visto che lo scambio di coordinate di due nucleoni
equivale a una inversione del sistema di coordinate, pertanto la funzione con i
nucleoni scambiati è uguale a quella con i fermioni non scambiati moltiplicata
per un fattore (-1)L:
spazio(N1, N2) = spazio( r1- r2 ) 
spazio (N2, N1) = spazio( r2- r1) = (-1)L spazio(N1, N2)
3
PRINCIPIO DI PAULI ESTESO (continua)
2)  spin Lo scambio dei due nucleoni nella funzione di spin introduce un fattore
(-1)S+1 rispetto alla funzione precedente in quanto lo stato S=0 è antisimmetrico
per scambio dei due nucleoni e lo stato S=1 è simmetrico:
 spin (N1, N2)   spin (N2, N1) = (-1)S+1  spin (N1, N2)
3)  isospin La composizione degli isospin è identica a quella degli spin.

|11 =|½ ½|½ ½=|p|p
I=1
SIMMETRICO
| 1 0  = (1/ 2) ( | ½ ½  | ½ -½  + | ½ -½  | ½ ½  ) =
= (1/ 2) ( | p  | n  + | n  | p  )
| 1 -1  = | ½ -½  | ½ -½  = | n  | n 
I=0
ANTISIMME
TRICO
| 0 0  = (1/ 2) ( | ½ ½  | ½ -½  - | ½ -½  | ½ ½  ) =
= (1/ 2) ( | p  | n  - | n  | p  )
4
Pertanto se il sistema N-N si trova in uno stato di isospin simmetrico, cioè I=1,
la parte di spazio e spin dovrà essere antisimmetrica, cioè:
1) I=1 Simmetrica
  spazio   spin = Antisimmetrica.  (-1)L+S+1= -1  L+S=pari
2) I=0 Antisimmetrica
  spazio   spin = Simmetrica
 (-1)L+S+1= +1  L+S=dispari
La forza nucleare, che non dipende da I3, sarà dunque la stessa per gli stati con
I=1 (cioè pp, nn, pn simmetrico), ma sarà diversa da quella dello stato con I=0
(pn antisimmetrico). Non esistono in natura stati legati pp, nn, pn simmetrico,
mentre esiste lo stato legato di deutone, che è costituito da una combinazione
antisimmetrica di p-n. Quindi, per il deutone:
I=0

(antisimmetrico)
L + S = pari
 per L=0 S=0 stato: 1S0
per L=2 S=0 stato 1D0
5
Una conseguenza della simmetria di isospin è la predizione dei rapporti di
decadimento di alcune risonanze nucleoniche. Consideriamo il rapporto tra i
tassi di decadimento dei due decadimenti seguenti:
  p π 0  | M   p π 0  |2

  n π   | M   n π   |2
Lo stato finale pp0 è uno stato:
| I1=½ , I1,z = + ½ ; I2=1 , I2,z = 0 >
che può essere scomposto sulla base degli stati a isospin I=3/2 e I=1/2 attraverso
i coefficienti di Clebsch-Gordan:
p π 0  (1 / 2, 1/2) ; (1, 0) 
2
1
3 / 2, 1/2) 
1 / 2, 1/2
3
3
Ricordando che la + è uno stato | 3/2 ; +1/2 > l'ampiezza del primo processo sarà:
M   p π 0   (1 / 2, 1/2) ; (1, 0) H 3 / 2, 1/2) 

2
1
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2) 
1 / 2, 1/2 H 3 / 2, 1/2 
3
3
2
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2)
3
6
Analogamente per il secondo processo. Lo stato n p+ può essere così
scomposto sulla base degli stati con I=3/2 e I=1/2:
n π   (1 / 2, - 1/2) ; (1,  1) 
1
2
3 / 2, 1/2) 
1 / 2, 1/2
3
3
Pertanto l'ampiezza del secondo processo è:
M   n π    (1 / 2, - 1/2) ; (1,  1) H 3 / 2, 1/2) 

1
2
1
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2) 
1 / 2, 1/2 H 3 / 2, 1/2 
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2)
3
3
3
Il rapporto sarà pertanto:
  p π 

  n π  

0
2
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2)
3
1
3 / 2, 1/2) H 3 / 2, 1/2)
3
2
2
2
 3 2
1
3
7
Analogamente per il decadimento della 0 in pioni e nucleoni:
0  n π 0
o
0  p π 
n π 0  (1 / 2, - 1/2) ; (1, 0) 
2
1
3 / 2, - 1/2) 
1 / 2, - 1/2
3
3
p π   (1 / 2, 1/2) ; (1, - 1) 
1
2
3 / 2, - 1/2) 
1 / 2, - 1/2
3
3
Ricordando che la 0 è uno stato | 3/2 ; -1/2 > l'ampiezza del primo processo sarà:
  n π 

0

  p π 
0
0
2
3 / 2, - 1/2) H 3 / 2, - 1/2)
3
1
3 / 2, - 1/2) H 3 / 2, - 1/2)
3
2
2
2
 3 2
1
3
8
Sempre per effetto della conservazione dell' isospin nelle interazioni forti,
possiamo scomporre l'hamiltoniana delle interazioni forti in termini che
agiscono su stati a isospin definito. Ad esempio, lo stato generico di pionenucleone è ottenuto dalla composizione di due isospin e pertanto il suo isospin
totale potrà valere:
I N  1/2
Iπ  1

I πN  1 / 2, 3/2
L'hamiltoniana delle interazioni forti può allora essere scomposta nella somma
di due contributi, uno che determina transizioni tra stati con I=1/2 e l'altra tra
stati con I=3/2:
H STRONG  H1/2  H 3/2
Studiamo come esempio la diffusione pione-nucleone nei suoi vari contributi:
πp  π p
π n  π n
π  p  π0 n
πp  π p
π n  π0 p
πn  π n
(elastiche )
(scambio carica)
Le ampiezze di questi 6 processi sono in realtà riconducibili a due sole
ampiezze indipendenti tra loro.
9
Infatti la scomposizione dei vari stati su una base di stati con I=1/2 e I=3/2 è
data da:
π  p  1,  1 ; 1/2,  1/2  3 / 2 3/2
π  n  1,  1 ; 1/2,  1/2  3 / 2 - 3/2
π  p  1,  1 ; 1/2,  1/2 
1
2
3 / 2 - 1/2 
1 / 2 - 1/2
3
3
π  n  1,  1 ; 1/2,  1/2 
1
2
3 / 2 1/2 
1 / 2  1/2
3
3
π 0 n  1, 0 ; 1/2,  1/2 
2
1
3 / 2 - 1/2 
1 / 2 - 1/2
3
3
π 0 p  1, 0 ; 1/2,  1/2 
2
1
3 / 2  1/2 
1 / 2  1/2
3
3
Le uniche transizioni possibili sono quelle da stati a I=3/2 a stati a I=3/2 (A3/2)
o tra stati a I=1/2 a stati a I=1/2 (A1/2):
A 3/2  I  3 / 2 I z H I  3 / 2 I z
A 1/2  I  1 / 2 I z H I  1 / 2 I z
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Da queste possiamo calcolare le ampiezze di diffusione dei sei processi:
A π  p  π  p   3 / 2  3/2 H 3 / 2  3/2  A 3/2
A π  n  π  n   3 / 2 - 3/2 H 3 / 2
- 3/2  A 3/2
A π  p  π  p  
1
2
1
2
3 / 2 - 1/2 H 3 / 2 - 1/2  1 / 2 - 1/2 H 1 / 2 - 1/2  A 3/2  A 1/2
3
3
3
3
1
2
1
2
A π  n  π  n   3 / 2 1/2 H 3 / 2 1/2  1 / 2 1/2 H 1 / 2 1/2  A 3/2  A 1/2
3
3
3
3
A π  p  π 0 n  
2
2
2
A 3/2  A 1/2 
3 / 2 - 1/2 H 3 / 2 - 1/2 
1 / 2 - 1/2 H 1 / 2 - 1/2 
3
3
3
2
2
2
A 3/2  A1/2 
A π  n  π 0 p  
3 / 2 1/2 H 3 / 2 1/2 
1 / 2 1/2 H 1 / 2 1/2 
3
3
3
Per energie nel centro di massa vicine alla massa della risonanza 1232, che
è una risonanza con I=3/2, domina il contributo dell'ampiezza A3/2 rispetto a
quella dell' ampiezza A1/2:
A 3/2  A1/2
11
Pertanto i rapporti tra le sezioni d'urto dei vari processi diventano:
σ π  p  π  p  : σ π  p  π  p  : σ π  p  π 0 n   A 3/2 :
2
1
2
2
2
A 3/2  2 A 1/2 : A 3/2  A 1/2  9 : 1 : 2
9
9
I rapporti sarebbero totalmente diversi se i processi fossero dominati dalla
produzione di una risonanza con I=1/2 anzichè da una risonanza con I=3/2:
σ π  p  π  p  : σ π  p  π  p  : σ π  p  π 0 n   A 3/2 :
2
1
2
4 2
2
2
A 3/2  2 A 1/2 : A 3/2  A 1/2  0 : :  0 : 2 : 1
9
9
9 9
12
NUMERI QUANTICI ADDITIVI
CARICA - ISOSPIN - NUMERO BARIONICO
Abbiamo visto che per il nucleone la carica è legata alla terza componente
dell’isospin:
(I3)p = ½  (Q/e)p =+1
(I3)n = -½  (Q/e)p= 0
Pertanto possiamo scrivere:
Q/e = I3 + ½
Per il pione invece, la relazione che lega la terza componente dell’isospin alla
carica è diversa:
(I3)p+= +1  (Q/e) p+= +1 (I3)p0= 0  (Q/e) p0= 0 (I3)p-= -1  (Q/e) p-= -1
e potrà essere cosi espressa:
Q/e = I3
Se vogliamo unificare le due formule possiamo farlo introducendo nella
relazione il numero barionico, che è nullo per i pioni (che sono mesoni):
Q
B
 I3 
e
2
13
PRODUZIONE ASSOCIATA - STRANEZZA
Nel 1947 Rochester e Butler, in esperimenti in camere a bolle, trovarono degli
eventi dovuti a raggi cosmici in cui le tracce avevano la forma di una V
(particelle strane). Le tracce furono associate a due particelle nuove, chiamate K e
L. Il tasso di produzione di tali eventi è particolarmente elevato (interazioni forti)
mentre la vita media degli iperoni prodotti (che decadono per interazione debole)
è particolarmente lunga. Fu dedotto che occorreva introdurre un nuovo numero
quantico, la stranezza, che viene conservato nelle interazioni forti ed è violato in
quelle deboli, che è uguale a zero per il pione e il protone, ma ha valore uguale e
opposto per la L e il K0. Il decadimento forte osservato è:
p- p  L K0
14
Abbiamo già visto che l’iperone L esiste in un solo stato di carica, pertanto ha
isospin I=0 mentre il K0 appartiene a un doppietto di isospin insieme al K+ (I=½
e I3 = -½). All’iperone e al kaone sono associati valori opposti di stranezza (SL=
-1, SK= +1). La relazione carica-isospin dovrà essere arricchita del numero
quantico della stranezza:
Q
 I3
e

B
2

S
2
L
0=0 +½ -½
K0
0=-½+0+½
RELAZIONE DI GELL-MANN-NISHIJIMA
Il numero quantico della stranezza è associato al quark s (o s) che compone sia
la L sia il K0.
Si chiama ipercarica Y la somma di B e S:
Y=B+S 
Q
 I3
e

Y
2
15

16
CHARM - BOTTOM - TOP
Come abbiamo visto esistono altri tre quark, il charm, il bottom e il top e ad essi
sono associati altrettanti numeri quantici C, Bt, T, conservati nelle interazioni
forti e violate in quelle deboli. La relazione che fornisce la carica della particella
diventa
Q
1
 I 3  (B  S  C  Bt  T)  I 3  Ygen
e
2
dove Ygen è detta ipercarica generalizzata.
NUMERO LEPTONICO
Tutte le interazioni conservano separatamente il numero leptonico associato a
ogni famiglia di leptoni (se nello stato iniziale vi è un elettrone vi deve essere un
elettrone o un neutrino elettronico nello stato finale).
17
NUMERI QUANTICI ADDITIVI (continua)
Riassumendo dunque, un sistema può essere descritto da:
Numeri quantici additivi
A
Quantità dinamiche
Carica elettrica
Q
Posizione
r
Numero barionico
B
Quantità di moto
p
Numero leptonico
L
Momento angolare L
Stranezza,charm,bottom,top S,C,Bt,T
Spin

I numeri quantici additivi sono opposti in una particella e nella sua antiparticella.
|   = | A , r, p , , L 
|   = | -A , r, p , , L 
18
CONIUGAZIONE DI CARICA
L’ operazione di coniugazione di carica o C-parità è la trasformazione discreta
che trasforma una particella nella sua antiparticella, lasciando però invariate tutte
le sue altre variabili come lo spin, l’impulso etc.
Se le leggi della fisica rimangono le stesse per scambio di una particella con la
sua antiparticella, il processo è detto invariante per coniugazione di carica e
diciamo che la C-parità è conservata in quel processo.
L’operatore di coniugazione di carica cambia il segno dei numeri quantici
additivi, lasciando inalterate le variabili dinamiche. Applicando due volte
l’operatore di coniugazione di carica il sistema deve ritornare uguale a se stesso.
C |   =c | A , r, p , , L 
C2|   =Cc | A , r, p , , L  = c2 | A , r, p , , L 
 gli autovalori dell’operatore C sono +1 e -1
19
Osserviamo che i numeri quantici additivi sono tutte quantità conservate nelle
interazioni forti:
carica
[Q, H] = 0
numero barionico [B, H] = 0
numero leptonico [L, H] = 0
stranezza
[S, H] = 0
Nessuno di questi numeri quantici additivi però commuta con l’ operatore di Cparità. Infatti:
C
C
C
C
B  -B
L  -L
S  -S
Q  -Q
Es. :

B |p=|p

CB |p=|p

B | p  = -| p 


BC |p=B|p=-|p
 C B  BC  [ C, B ]  0
20
Solo le particelle che hanno tutti i numeri quantici additivi nulli sono autostati
dell’operatore di C-parità, cioè quando applichiamo a uno stato con numeri
quantici additivi nulli tale operatore lo stato si trasforma in se stesso.
C | Q=L=B=S=Bt=T=0  = ± | Q=L=B=S=Bt=T=0 
In tal caso allora la particella e l’antiparticella coincidono.
Es. :
C p0 = p 0
p0 
 C |p0 > = |p0 >
 C
  =
 C |> = | >
K0 C K0  K0
perchè S  0
L C L  L
perchè S  0
Anche un sistema composto da una particella e dalla sua antiparticella è un
autostato di C perchè tutti i suoi numeri quantici additivi sono nulli (es.: protoneantiprotone perchè C, B, S etc. del protone sono opposti a quelli dell’antiprotone).
Analogamente un sistema composto da un leptone e da un anti-leptone (come il
sistema e+e- ).
La C-parità è un numero quantico moltiplicativo.
21
C-PARITÀ DEL FOTONE
I campi e.m. derivano da cariche in moto che cambiano segno per effetto della
coniugazione di carica. Pertanto la C-parità del fotone è negativa:
Cγ γ
Un insieme di n fotoni avrà C-parità:
C nγ  (1)n γ
C-PARITÀ DEL p0
Dato che il decadimento del p0 è p0    e i decadimenti e.m. conservano la
C-parità avremo:
C π 0  C 2γ  (1) 2 2γ  2γ
 C π0   π0
Sarà invece vietato il decadimento p0    
22
C-PARITÀ DEL p+ E DEL p La coniugazione di carica trasforma un p+ in un p- e viceversa:
C π   c π π 
C π   c π π 
La condizione che C2 = 1 ci permette di dire che:
C 2 π   C c π π   c π C π   c π c π π 
 c π c π  1
23
C-PARITÀ DEL SISTEMA p+ p Il sistema (p+ p -) è formato da due bosoni e pertanto la sua funzione d'onda
globale dovrà essere simmetrica per scambio dei due bosoni:
ψπ - π    ψπ  π - 
La funzione d'onda globale è composta da una parte di spazio e una di carica:
 
ψπ - π    spazio ( r1 , r2 )  carica c1 , c 2 
Per effetto dello scambio delle coordinate spaziali abbiamo:
 
 
 
  P
 
L
spazio ( r1 , r2 )  spazio ( r1 - r2 )
 spazio ( r2 , r1 )  spazio ( r2 - r1 )   1 spazio ( r1 - r2 )
Per effetto dello scambio delle cariche abbiamo:
 carica c1 , c 2 

 carica c 2 , c1   c π π  carica c1 , c 2 
 -
Pertanto la simmetria della funzione d' onda globale per scambio dei due
fermioni è:
- 1L c π π
 -
e deve essere positiva:
- 1L c π π
 -
 1

c π π-  - 1
L
24
C-PARITÀ DELLA r0
La particella r0 è un mesone vettore senza stranezza e carica che decade in:
ρ0  π  π 
Nello stato iniziale abbiamo: Jr = 1
Nello stato finale abbiamo: sp+ = sp 0  deve essere L(p+ p-) = 1
Pertanto la C-parità del sistema (p+ p-) e quindi della r0 deve essere:
c π π-  cρ0  - 1  1
L
Alla r sono pertanto preclusi modi di decadimento come:
ρ  π0 π0
perchè:
(1)
c π0π0   1   1  1
ργγ
e
(2)
c γγ  - 1  1
2
N.B. Il decadimento (1) è anche impedito dalla statistica dei Bosoni, in quanto i
due pioni dovrebbero avere L=1 (perchè Jr = 1), e quindi la loro funzione d'onda
(che è solo spaziale) sarebbe antisimmetrica avendo simmetria (-1)L=(-1)1=-1 e ciò
non è possibile per la funzione d'onda di due bosoni.
È invece permesso il decadimento seguente:
ρ  π0 γ
perchè:
c π0 γ   1   1  1
25
C-PARITÀ DEL POSITRONIO e+e-
Il positronio è lo stato legato formato da un elettrone e un positrone. Decade
elettromagneticamente in due fotoni. Possiede dei livelli energetici simili a quelli
dell'atomo di idrogeno, ma con una massa ridotta completamente diversa, in quanto:
1
1
1
2


μ e μ e μ e

μ e e 
μp
1
1
1 μ p  μ e
1





μ H μ e μ p
μ e μ p
μ e μ p μ e

μ e e 

μ e
2
μ H  μ e
Poichè la spaziatura tra i livelli energetici dipende direttamente dalla massa, essa
risulterà dimezzata per il positronio rispetto a quella dell'idrogeno.
Un'altra differenza importante tra il positronio e l'atomo di idrogeno consiste nel
fatto che l' elettrone e il positrone sono due fermioni identici e pertanto la loro
funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica per scambio dei due
fermioni. "Scambiare" i due fermioni significa invertire tutti i numeri quantici che
caratterizzano i due fermioni e per fare questo occorre individuare il set completo
dei numeri quantici che caratterizzano le particelle.
26
Nel caso del positronio, il sistema e+e- sarà caratterizzato dalla:
- posizione dei due fermioni
- spin dei due fermioni
- carica dei due fermioni
Pertanto la funzione d'onda globale del positronio sarà così composta:
 
 
ψe  e -   spazio ( r1 , r2 ) χ spin s1 , s2 carica c1 , c 2 
La funzione d'onda deve essere globalmente antisimmetrica per effetto dello
scambio di tutti i numeri quantici dei due fermioni, cioè per effetto dello
scambio del loro vettore di posizione, del loro spin e della loro carica:
 
 
ψe  e -   spazio ( r1 , r2 ) χ spin s1 , s2 carica c1 , c 2 
 
 
ψe - e    spazio ( r2 , r1 ) χ spin s2 , s1 carica c 2 , c1   ψe  e - 
ψe - e    ψe  e - 
27
28
1) Funzione spaziale: per scambio di due particelle la parte spaziale della
funzione d'onda si comporta come per effetto di un'operazione di parità, perchè
per scambio delle due particelle, il vettore posizione della distanza ( r1 - r2 ) viene
mandato in ( r2 - r1 ):
 
 
spazio ( r1 , r2 )  spazio ( r1 - r2 )
 
  P
 
L
 spazio ( r2 , r1 )  spazio ( r2 - r1 )   1 spazio ( r1 - r2 )
2) Funzione di spin: i due fermioni possono essere in:
a) uno stato di tripletto (S=1) simmetrico per scambio di due fermioni
b) uno stato di singoletto (S=0) antisimmetrico per scambio dei due fermioni
Per scambio dei due fermioni la funzione di spin ha il seguente comportamento:
 
χ spin s1 , s2 
 
 
S1
 χ spin s2 , s1    1 χ spin s1 , s2 
con S  spin totale del sistema
3) Funzione di carica. Chiameremo C il fattore introdotto dalla coniugazione di
carica nello scambio dei due fermioni:
 carica c1 , c 2 

 carica c 2 , c1   ηC  carica c1 , c 2 
29
Pertanto la simmetria della funzione d' onda globale per scambio dei due
fermioni è:
- 1L - 1S1 ηC  - 1LS1 ηC
e deve essere negativa:
- 1LS1 ηC  -1
ηC  - 1
LS

Quando il positronio decade in fotoni devono conservarsi:
1) la C-parità C del sistema dovrà conservarsi tra stato iniziale e finale.
2) il momento angolare totale del sistema che deve conservarsi tra stato iniziale e
stato finale.
3) la parità del positronio che deve conservarsi tra stato iniziale e stato finale;
questa è data dal prodotto delle parità intrinseche di fermione-antifermione per la
parità che viene dal momento angolare:
Pe  e-   PINT e   PINT e   - 1  - 1- 1  - 1
L
L
L1
30
Vediamo ora lo stato finale del decadimento. Gli stati finali possibili del
positronio sono due:
ee-

2γ
(1)
ee-

3γ
(2)
La C-parità di un sistema di n-fotoni è data da (-1)n. Pertanto la C-parità dei due
stati finali è:
C2 γ   (-1) 2  1
(1)
C3 γ   (-1) 3  1
(2)
Poichè la C-parità del positronio era:
Ce  e -   ηC  (-1)LS
e la C-parità deve essere conservata tra stato iniziale e finale, si potranno
determinare delle regole di selezione, che ci dicono quale tipo di decadimento può
fare il positronio (se in due o in tre fotoni) a seconda dei valori di momento
angolare e di spin del sistema. Tali regole di selezione sono verificate
sperimentalmente.
31
1) Se ηC  1  - 1LS  1  L  S  pari
 se S  0 (stato di singoletto )
se S  1 (stato di tripletto )
L  0, 2, 4, ...
L  1, 3, 5, ...
Lo stato di energia più bassa con C=+1 è quindi quello con L=0 S=0  J = 0:
2S+1L =1S
J
0
Lo stato 1S0 del positronio può decadere solo in due fotoni (perchè hanno C=+1):
1S  2 
0
2)
Se ηC  1  - 1
L S
 1  L  S  dispari
 se S  0 (stato di singoletto )
se S  1 (stato di tripletto )
L  1, 3, 5, ...
L  0, 2, 4, ...
Lo stato di energia più bassa con C=-1 è quindi quello con L=0 S=1  J = 1:
2S+1L
J
=3S1
Lo stato 3S1 del positronio può decadere solo in tre fotoni (perchè hanno C=-1):
3S
1
 3
32
Per motivi analoghi si può dimostrare che il seguente decadimento è vietato:
 p0 
dato che la C-parità del sistema p0  è:
C ( p0  ) = ( +1)(-1) = -1
mentre quella del sistema 1S0 è C = +1.
1S
0
È invece permesso il decadimento seguente:
1 S  p0 p0
0
in quanto la C-parità del sistema p0p0 è:
C ( p0p0 ) = ( +1)(+1) = +1
Notiamo, per inciso, che il valore della C-parità del p0 può essere anche
dimostrata ricordando che il p0 è un sistema legato di un quark e un antiquark
dello stesso sapore ( u u - d d ). Tale sistema è analogo al positronio e avrà
pertanto:
c π0  cqq  (1) LS
Poichè L = S = 0, si ha cp0 = +1
33
INVERSIONE TEMPORALE
L’operatore di inversione temporale è una trasformazione discreta che inverte il
segno della coordinata temporale, lasciando inalterato quello delle coordinate
spaziali:
t, x, y, z

-t, x, y, z
(t, x, y, z)  ’ (t, x, y, z) = T (t, x, y, z) = (-t, x, y, z)
Nel caso di una interazione tra due particelle A+B che producono lo stato finale di
due particelle C+D, equivale a invertire lo stato iniziale con quello finale:
T
A+B  C+D  C+D  A+B
Se la hamiltoniana è invariante per inversione temporale, cioè non esiste un verso
privilegiato nello scorrere del tempo, allora:
HT-TH=0

[ H ,T ] = 0
34
Se l’evoluzione temporale di uno stato |(x, y, z, t)  è data dall’equazione di
Schrödinger:



H ψ( r , t)  i
ψ( r , t)
t
applicando T a tale equazione avremo:

 


 
TH ψ( r , t)   T i
ψ( r , t)   i T ψ( r , t)
t
 t

ma se [ H, T ] = 0 allora:


TH ψ(r, t)   HT ψ(r, t)


(1)
(2)
Uguagliando la (1) con la (2) avremo dunque:



HT ψ( r , t)   i T ψ( r , t)
t

(3)
Quindi se T e la hamiltoniana commutano, se |   soddisfa all’equazione di
Schrödinger, T |   non soddisfa alla stessa equazione.
35
Se però consideriamo l’equazione di Schrödinger ottenuta trasformando tutti i
suoi elementi nei complessi coniugati, avremo:

  
H ψ ( r , t)  i ψ ( r , t)
t


(4)
Essendo H* = H, l’equazione (4) diventa:

  
H ψ ( r , t)  i
ψ ( r , t)
t
(5)
che è identica all’equazione (3).
Pertanto per restaurare la simmetria, possiamo definire l’operatore T di
inversione temporale come quell’ operatore che, oltre a invertire la coordinata
temporale, trasforma |   in | *  (e ogni i in -i) :
T | (x, y, z, t)  = | *(x, y, z, -t) 
36
Applichiamo infatti l’hamiltoniana allo stato T | (x, y, z, t)  :



 
HT ψ( r , t)   H ψ ( r ,-t) 

 
 
 T H ψ( r , t)   T  i
ψ( r , t)  
 t




 
  i   ψ ( r ,-t)  i T ψ( r , t)
t
 t 



HT ψ( r , t)   i T ψ( r , t)
t
Cosi lo stato T |   soddisfa all’equazione di Schrödinger.
37
Possiamo trovare autovalori di T osservabili e conservati? Gli autovalori dovrebbero
essere soluzione dell’ equazione:
T |  (t)  = T | (t) 
Ma dato che:
T | (x, y, z, t)  = | *(x, y, z, -t) 
ciò vuol dire che lo stato  viene cambiato da T nel complesso coniugato e non
può essere dunque soluzione di un’ equazione agli autovalori. Non è quindi
possibile trovare stati che siano al tempo stesso autostati di H e di T. Nessun
numero quantico è conservato per effetto dell'azione di T e l’invarianza per
inversione temporale non può dar luogo alla conservazione di grandezze
osservabili.
L’operatore T è antiunitario e antilineare. Mentre un operatore unitario è lineare,
cioè se viene applicato alla combinazione lineare di due autostati, fornisce:
U (C1 | 1  + C2 | 2  ) = C1 U | 1  + C2 U | 2 
al contrario un operatore antiunitario soddisfa alla relazione:
T (C1 | 1  + C2 | 2  ) = C*1 T | 1  + C*2 T | 2 
38
Comportamento degli operatori per effetto dell’inversione temporale

r

p

L

σ
T

T

T

T


r

-p

-L

-σ
Per quanto riguarda il modo in cui si trasformano i campi elettrico e magnetico,
pensiamo al campo B prodotto da una spira atraversata da una corrente: esso è
proporzionale alla corrente I e diretto perpendicolarmente al piano della spira
secondo la regola della mano destra. L’effetto di una inversione temporale è
quello di invertire il senso della corrente (I = dq/dt), pertanto il campo B viene
invertito di segno.
39
B
I = dq / dt
T
B’ = -B
I’ = - dq / dt = -I
 



 
B A
 T( B)   B    T( A)




A
 T( A)   A








A
T( A)
A 
 E  φ 
 T( E)   φ 
 φ 
E
t
t
t
40
IL MOMENTO DI DIPOLO ELETTRICO
Se una particella è dotata di carica e la sua distribuzione interna è descritta da
r(x), definiamo momento di dipolo elettrico la grandezza:


μ el   ρ(r)  r dr
(1)
dove r è misurato rispetto al baricentro del sistema (centro di massa).
Se el  0 per una particella carica, ciò significa che il baricentro e il centro delle
cariche non coincidono.
Se el  0 per una particella NON carica elettricamente, ciò significa che al suo
interno vi è una distribuzione di cariche elettriche positive e negative che
globalmente si bilanciano ma i cui centri non coincidono. Nel sistema di
riferimento in cui la particella è a riposo, l' unica direzione privilegiata dello spazio
è quella dello spin della particella. Pertanto se il momento di dipolo elettrico di tale
particella è non nullo, esso è diretto lungo lo spin:


μ el  μ el σ
(2)
41
Dal confronto della (1) con la (2) possiamo capire che l'esistenza di un
momento di dipolo elettrico viola la parità in quanto per effetto dell'azione di P
abbiamo:



P : μ el   ρ(r)  r dr
P


μ el  μ el σ
:
 - μ el

μ el

Se P è conservata nel sistema, il momento di dipolo elettrico deve essere nullo.
Dopo la scoperta della violazione della parità nelle interazioni deboli, si giunse
a dire che il momento di dipolo elettrico potrebbe esistere in virtù di tale
violazione.
Tuttavia, si può dimostrare (e lo fece Landau) che l'esistenza di un momento di
dipolo elettrico viola anche l'inversione temporale, in quanto, applicando T
alla (1) e alla (2), si ottiene un risultato analogo all'applicazione di P:


T : μ el   ρ(r)  r dr
T
:


μ el  μ e σ


 μ el

- μ el
42
L'esistenza del momento di dipolo elettrico implicherebbe una violazione
simultanea sia di P che di T.
Come si misura l'eventuale momento di dipolo elettrico di una particella? Dall'
eventuale interazione di tale particella con un campo elettrico esterno, che
sarebbe descritta dalla hamiltoniana seguente:
H int
 
 μ el σ  E
Da esperimenti si trova:
elneutrone < 0.6 · 10-25 e cm
elprotone ~ 0
elelettrone < 2. · 10-27 e cm
43
G-PARITÀ
È una trasformazione che combina insieme l'operazione di coniugazione di carica
e quella di rotazione nello spazio dell'isospin.
Una rotazione di un angolo  intorno a un asse associato al versore n nello spazio
dell' isospin è descritta da:
 
R (θ)  exp(-i θ τ  n )
dove  è l'operatore dell' isospin. L' operazione di G-parità è definita come una
rotazione di p attorno all' asse I2 dell' isospin (che ha come effetto di mandare I3
in -I3) seguito da una operazione di coniugazione di carica (C-parità), che
manda la sua particella nella sua antiparticella che ha carica opposta:
G  C exp(-i π τ 2 )
44
Una rotazione intorno all'asse I2 ha come effetto quello di cambiare il segno alla
terza componente dell' isospin I3:
R : I3  -I3
La coniugazione di carica ugualmente ha l'effetto di cambiare il segno a I3 :
C : -I3  I3
Cerchiamo gli autovalori di G associati a un sistema bosonico (|q q  |f f ):
Autovalori di R: così come per una rotazione di p nello spazio ordinario, le
autofunzioni vengono moltiplicate per un fattore (-1)L; analogamente le
autofunzioni nello spazio dell'isospin vengono moltiplicate per un fattore (-1)I.
Autovalori di C: le autofunzioni vengono moltiplicate per un fattore (-1)L+S come
era nel caso del positronio.
Pertanto le autofunzioni di G saranno le stesse di R e di C associate all'autovalore:
ψ(f f)  ψ' (f f)  C eiπI 2 ψ(f f)  - 1 C ψ(f f)  - 1  1
G
I
I
L S
ψ(f f)   1
L S  I
ψ(f f)
45
Dal momento che le interazioni forti conservano L, S e I, allora esse
conserveranno anche la G-parità che lega tutti questi numeri quantici insieme.
G-PARITÀ DI UN PIONE
π0
G π 0   1
L S  I

π 0   1 π 0   π 0
1
G | np0  = (-1)n | n p0 
Pertanto il segno della G-parità di un sistema ci indicherà se il sistema può
decadere in un numero pari o dispari di pioni per effetto delle interazioni forti.
ρ S 1 I 1

G ρ   1
L S  I
ρ   1
ρ ρ
 ρ  ππ
L S  I
 ω  π ππ
11
ω
S 1 I  0 
G ω   1
ω   1
10
ω ω
η
S0 I0 
G η   1
η   1
00
η  η

L S  I

L' η può decadere in 3 pioni solo per interazion e e.m.
46
TEOREMA CPT
Le hamiltoniane che descrivono le interazioni fondamentali possono non essere
invarianti separatamente per effetto delle trasformazioni di coniugazione di carica
C, parità P e inversione temporale T. Tuttavia a partire da principi molto generali
della teoria dei campi e della relatività, Lüders e Pauli hanno dimostrato che ogni
hamiltoniana, essendo invariante per effetto delle trasformazioni di Lorentz, è
invariante per effetto dell’azione combinata di CPT, indipendentemente
dall’ordine in cui esse vengono applicate, anche se non è invariante per C, P o T
separatamente.
 Se un processo è invariante per effetto di una qualunque delle tre
trasformazioni, lo sarà anche per effetto del prodotto delle altre due.
 Se un processo non è invariante per effetto di una qualunque delle tre
trasformazioni, allora non lo sarà neanche per effetto del prodotto delle altre due.
47
TEOREMA CPT (continua)
Conseguenza importante di questo teorema è che le particelle e le antiparticelle
devono avere:
1) uguali masse
2) uguali vite medie
3) uguali momenti magnetici in modulo ma opposti in verso
48
Interazioni e leggi di trasformazione
TRASFORMAZIONE
QUANTITÀ
CONSERVATA
FORTE
E.M.
DEBOLE
TRASLAZIONE
SPAZIALE
QUANTITÀ
DI MOTO p
SI
SI
SI
ROTAZIONE
SPAZIALE
MOMENTO
ANGOLARE L
SI
SI
SI
ROTAZIONE NELLO
SPAZIO ISOSPIN
ISOSPIN I
TERZA COMP. I3
SI
SI
NO
SI
NO
SI
INVERSIONE
SPAZIALE P
PARITÀ P
SI
SI
NO
CONIUGAZIONE
DI CARICA C
C-PARITÀ C
SI
SI
NO
INVERSIONE
TEMPORALE T (O CP)
—
SI
SI
NO
CPT
—
SI
SI
SI
49