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Cenni al calcolo approssimato
con i numeri reali
a cura di Elisabetta Boselli – [email protected]
Approssimare un numero reale
Consideriamo un numero reale  (leggi: alfa); diremo che un certo numero x approssima  a meno di  (leggi: epsilon) se il
valore assoluto della differenza tra x e  è minore di 
in simboli:
x
(Se x e  venissero rappresentati su una retta, la loro distanza sarebbe minore di )
Se x < , si dirà che x approssima  per difetto
Se x > , si dirà che x approssima  per eccesso
Esempio - Sia dato il numero  = 1,456783… :
Diremo che 1,45 approssima  per difetto a meno di 10-2, poiché:
•
1,45 < 
•
1,45   = 0,006783… (che è un numero più piccolo di 10-2)
Approssimare per troncamento
Consideriamo un numero reale positivo :
il numero x che si ottiene trascrivendo la parte intera di  e le
sue prime n cifre dopo la virgola è un numero che approssima  per difetto a meno di 10 –n
Diremo che x approssima  per troncamento.
Esempi - Sia dato il numero  = 1,456783… :
•
1,45 approssima  per troncamento a meno di 10-2, poiché sono
state riportate la sua parte intera e le prime due cifre che seguono la
virgola
•
1,4567 approssima  per troncamento a meno di 10-4, poiché
sono state riportate la sua parte intera e le prime quattro cifre che seguono la virgola
Approssimare per arrotondamento
Consideriamo un numero reale positivo :
Se voglio approssimare  per arrotondamento a meno di 10–n, per
comporre il numero approssimante dovrò :
- trascrivere la parte intera di 
- farle seguire le sue prime n – 1 cifre dopo la virgola
- se la cifra di posto n +1 dopo la virgola è minore di 5, riportare la
cifra di posto n; altrimenti riportarla aumentata di una unità
Esempi - Sia dato il numero  = 3,42650821… :
•
3,4 approssima  per arrotondamento a meno di 10-1: infatti la
seconda cifra dopo la virgola è minore di 5
•
3,427 approssima  per arrotondamento a meno di 10-3: infatti la
quarta cifra dopo la virgola è uguale a 5
•
3,42651 approssima  per arrotondamento a meno di 10-5: infatti
la sesta cifra dopo la virgola è maggiore di 5
Prima di parlare di calcolo approssimato….
Ricordiamo le seguenti proprietà valide nell’insieme dei numeri razionali:
P.1) Si considerino
,   Q ;
poniamo che
m <  < M ,
m , M  Q
m <  < M
m , M  Q
,
Allora varrà che:
m + m <  +  < M + M
La somma di due numeri approssimanti per difetto due numeri razionali assegnati è minore della somma dei numeri dati.
La somma di due numeri approssimanti per eccesso due numeri razionali assegnati è maggiore della somma dei numeri dati.
Prima di parlare di calcolo approssimato ….
Ricordiamo le seguenti proprietà valide nell’insieme dei numeri razionali:
P.2) Si considerino
 ,   Q+
;
poniamo che
m <  < M ,
m , M  Q +
m <  < M
m , M  Q +
,
Allora varrà che:
m · m <  ·  < M · M
Il prodotto di due numeri positivi approssimanti per difetto due numeri
razionali positivi assegnati è minore del prodotto dei numeri dati.
Il prodotto di due numeri positivi approssimanti per eccesso due numeri
razionali positivi assegnati è maggiore del prodotto dei numeri dati.
Un esempio per l’addizione
 = 2,642904652103849…. e
approssimazioni
a meno di
DIF
ECC
100 10–1 10–2
 = 4,25641038079519….
10–3
10–4
10–5

2
2,6
2,64 2,642
2,6429
2,64290

4
4,2
4,25 4,256
4,2564
4,25641
+
6
6,8
6,89 6,898
6,8993
6,89931

3
2,7
2,65 2,643
2,6430
2,64291

5
4,3
4,26 4,257
4,2565
4,25642
+
8
7,0
6,91 6,900
6,8995
6,89933
Un esempio per la moltiplicazione
 = 2,642904652103849…. e
approssimazioni
a meno di
DIF
100 10–1
 = 4,25641038079519….
10–2
10–3
10–4

2
2,6
2,64
2,642
2,6429

4
4,2
4,25
4,256
4,2564
   8 10,92 11,2200 11,244352 11,24923956
ECC

3
2,7
2,65
2,643
2,6430

5
4,3
4,26
4,257
4,2565
   15 11,61 11,2890 11,251251 11,24992950
Praticamente:
Per conoscere il maggior numero di cifre decimali esatte della
somma o del prodotto di due numeri dei quali si possiede la rappresentazione decimale, opereremo con la migliore approssimazione per difetto e la migliore approssimazione per eccesso disponibile per ciascuno di tali numeri e confronteremo i risultati:
 = 2,64290465210384….
e
 = 4,25641038079519….
DIF
ECC

2,64290465210384
2,64290465210385

4,25641038079519
4,25641038079520
+
6,89931503289903
6,89931503289905
 ·  11,24928679666668476... 11,24928679666675375…
 +  = 6,8993150328990... e  ·  = 11,249286796666….
Ragioniamo sull’opposto di un numero…

m< x <M
Se
m > x > M
5° principio
M < x < m
… e sulla sottrazione
 = 2,64290465210384….
e
 = 4,25641038079519….
DIF
ECC

2,64290465210384
2,64290465210385
–
– 4,25641038079520
– 4,25641038079519
 –  =  + (– ) – 1,61350572869136 – 1,61350572869134
 –  = – 1,6135057286913…..
Ragioniamo sul reciproco di un numero…
m < x < M  1/m > 1/x > 1/M
 1/M < 1/ x < 1/m
/
… e sulla divisione
 = 2,64290465210384….

1/
e
 = 4,25641038079519….
DIF
ECC
2,64290465210384
2,64290465210385
1 / 4,25641038079520 = 1 / 4,25641038079519 =
0,234939752170507… 0,23493975217050811…
/ =  · (1/) 0,62092336397555619... 0,62092336397556147…
 /  = 0,6209233639755…..
Esercizi - 1
Considera il numero  = 2,45897023051........ .
a) Che tipo di rappresentazione decimale ha il numero ?
b) Quante cifre decimale esatte conosci del numero ?
c) Qual è la settima cifra decimale esatta di ?
d) Scrivi i numeri che approssimano :
– per troncamento a meno di un millesimo;
– per troncamento a meno di 10–6;
– per troncamento a meno di 10–9;
– per arrotondamento a meno di un millesimo;
– per arrotondamento a meno di 10–6;
– per arrotondamento a meno di 10–9.
e) Scrivi i numeri che approssimano :
– per difetto a meno di un centesimo;
– per eccesso a meno di un centesimo;
– per difetto a meno di 10–2;
– per eccesso a meno di 10–2;
– per difetto a meno di 10–8;
– per eccesso a meno di 10–8.
Esercizi - 2
• Considera il numero  = 3,459873.... ; scrivi le successive approssimazioni razionali per difetto e per eccesso di:
,
–,
1/
• Sapendo che 5 = 2,23606797..... e che 2 = 1,41421356...., determina
le successive approssimazioni per difetto e per eccesso del risultato di
5 + 2 .
Osservando il risultato ottenuto, rispondi: a partire dalle cifre decimali
esatte che conosci per 5 e 2, quante cifre decimali esatte conosci della
loro somma?
Come avresti potuto determinare il maggior numero di cifre decimali
esatte con il minor numero di calcoli?
• Sapendo che
2 = 1,41421356...., 3 = 1,73205080...., 5 = 2,23606797.....,
determina il maggior numero di cifre esatte possibili del risultato delle seguenti operazioni:
2 + 3 ;
5 + 8,(17);
5 – 3 ;
2 – 3,42594