Geniali questi greci!
Nascita e sviluppo della geometria
C’è molta geometria nel mondo in cui si
vive: regolarità naturali come simmetrie
nei fiori, negli animali, nei cristalli;
regolarità costruite dall’uomo, come i tanti
angoli retti presenti nella stanza dove ci
troviamo…
La GEOMETRIA nasce e si sviluppa
quando l’uomo, pensando e ragionando,
ha dovuto risolvere problemi riguardanti
linee, superfici, volumi.
Secondo lo storico Erodoto (V secolo a.C.)
l’origine della geometria ( geo – metria,
misurazione della terra ) risale agli antichi
Egizi.
«Dicevano che questo re distribuì il
territorio tra tutti gli Egiziani, dando a
ciascuno un lotto uguale, di forma quadrata e
che in base a questa suddivisione aveva imposto
il pagamento di un tributo annuo.
Se da un podere il fiume asportava qualche parte, il re
mandava funzionari che misuravano di quanto era diminuito il
terreno, affinchè il proprietario pagasse in proporzione il
tributo futuro. Io ritengo che in seguito a ciò sia stata
inventata la geometria e sia poi passata in Grecia….»
Verso l’anno 1800 a.C. , sotto il regno del
faraone Ammenemes III ( vissuto nel Medio
Regno alla fine della XII dinastia ), fu
scritta una raccolta di 87 problemi, con
relative soluzioni, che costituisce una delle
più antiche testimonianze sulla matematica
di tutti i tempi.
Questa raccolta fu trascritta su un papiro
qualche decennio dopo, quando l’Egitto
cadde sotto la dominazione degli Hyksos, e
scomparve per circa 3500 anni.
Fu ritrovato a Tebe a metà Ottocento e oggi si
chiama papiro di Rhind dal nome dello
scozzese Alexander Harry Rhind che lo comprò
a Luxor nel 1858. Ora tale papiro è conservato
al British Museum
Inizia come i nostri libri :
Metodo corretto per entrare
nella Natura e conoscere tutto
ciò che esiste, ogni mistero e
ogni segreto.
Questo libro è stato copiato
nell’anno 33, quarto mese dalla
inondazione, sotto la maestà del Re
dell’Alto e Basso Egitto Auser Ra,
vivente, da scritti fatti nel passato,al
tempo del re Ammenemes III, defunto
E’ lo scriba Ahmose ad averlo
copiato.
Si capisce che gli Egizi vedevano la Natura
come un scrigno misterioso, e la matematica
come la chiave per poterlo aprire!!
Una chiave per «addetti ai lavori», visto che le
soluzioni ai problemi venivano enunciate senza
dimostrazioni , anche se qualcuno doveva
averle intuite e verificate in qualche modo!
Questo metodo rifletteva la struttura politica
dell’antico Egitto : nell’assolutismo,
infatti, chi comanda non ha il dovere di
giustificare i propri ordini, né chi
obbedisce ha il diritto di discuterli!!!!
Diverso sarà in Grecia al tempo della
democrazia , quando gli ordini saranno
dati ed eseguiti solo dopo un patto di
mutuo consenso, preceduto da discussioni
relativamente aperte, che in matematica si
tradurranno nel metodo della
dimostrazione.
Il papiro di Rhind è più simile ad un
manuale di istruzioni che a un libro di
spiegazioni e sul percorso intellettuale che
gli sta dietro si può solo tirare ad
immaginare.
Anche a partire dal papiro di Rhind si
intuisce il motivo per cui , ad un certo
punto, gli Egizi cominciarono ad interessarsi
alla geometria: nella prima pagina si
citano le inondazioni del Nilo che erano così
importanti da servire come riferimento per
il computo del tempo ed erano cruciali per
l’agricoltura. Come spiega Erodoto, le terre
fertili erano quelle intorno al Nilo ed esso le
inondava ogni anno; era fondamentale per
l’economia del paese saper ricostruire i
confini dei campi e degli appezzamenti,
quando l’acqua si ritirava.
Possiamo quindi immaginare che i
«geometri» egizi determinassero i segmenti
mediante corde tese e che definissero
l’angolo retto come una «equa divisione»
tra due appezzamenti contigui.
Si dovevano risolvere problemi pratici
mediante strumenti di disegno che si
avevano a disposizione. Per molti secoli gli
unici strumenti furono due :
riga ( corda tesa ) e compasso ( corda
tesa fatta ruotare attorno ad un punto)
.
Facciamo qualche esempio di problema
contenuto nel papiro di Rhind:
Problema 49 : calcolare l’area di un
appezzamento rettangolare di terreno
mediante la moltiplicazione di base e altezza.
Problema 51 : si parla di triangoli e si dice
come calcolare l’area mediante il prodotto di
base e altezza diviso due, partendo dal
triangolo isoscele e generalizzando.
5 problemi riguardano la pendenza delle
piramidi.
Il più avanzato e sorprendente risultato
della matematica egizia è contenuto nel
papiro di Mosca (conservato a Mosca dal
1912 ) che purtroppo manca dell’inizio e
che quindi non si sa con precisione a che
periodo risalga.
Gli studiosi però lo fanno risalire al periodo
del papiro di Rhind.
Il papiro di Mosca contiene solo 25
problemi, ma tra essi c’è quello che dice
come calcolare il volume di un tronco di
piramide, cioè di una piramide incompiuta.
Come gli Egizi abbiano trovato i risultati
contenuti nei papiri non si sa:
probabilmente avranno fatto modellini, li
avranno riempiti di acqua o sabbia, li
avranno pesato fisicamente…insomma si
saranno «arrangiati» con metodi empirici…
Sicuramente sappiamo che il primo ad aver
dimostrato come si calcolava il volume di
una piramide lo fece circa 1000 anni
dopo….agli Egizi va il grandissimo merito di
aver capito così presto tante cose!!!!
E’ ora di parlare di Greci……
Il mito della fondazione di Atene vede due
dei che si contendono la città : Poseidone,
dio del mare, e Atena, dea della sapienza e
della saggezza. Essi offrirono alla città dei
doni : Poseidone un cavallo, Atena un ulivo.
A dirimere la questione vennero chiamati i
cittadini stessi che interpretarono i doni
come due «programmi di governo» : guerra
e conquista nel primo caso, pace e
prosperità nel secondo. La città scelse,
ovviamente, Atena come protettrice, ne
assunse il nome e le dedicò un tempio
sull’Acropoli.
In cambio la dea instradò Atene su un
cammino di sapienza intellettuale e di
saggezza politica che la porterà alla
democrazia.
Nell’anno 583 a.C. furono proclamati i Sette
Saggi greci ( una specie di premio Nobel
dell’antichità ) tra i quali è
presente Talete di Mileto che
ancora oggi è universalmente
ricordato come il primo
matematico al quale furono
personalmente attribuiti teoremi
e dimostrazioni.
Diogene Laerzio, nel suo Vite di filosofi,
racconta alcuni aneddoti su di lui. Uno di
questi narra che, essendo un gran
pensatore, era anche un po’ distratto:una
sera, mentre passeggiava guardando le
stelle, cadde in un pozzo. La sua serva,
sentendo i lamenti, lo trovò in fondo al
pozzo e lo apostrofò così : «Pretendi di
conoscere il cielo e non vedi cos’hai sotto i
piedi!!» Fu infatti Talete a individuare la
Stella Polare che poi i Fenici adottarono
come guida della navigazione.
L’innovazione di Talete nella matematica fu
l’introduzione della dimostrazione che
stabilisce un «ponte di collegamento» tra
l’ipotesi (punto di partenza del
ragionamento o «supposizione» ) e la tesi
(punto di arrivo o «posizione» che si deve
raggiungere ).
Facciamo due esempi :
Per i geometri egizi sembrava ovvia questa
affermazione : « due angoli opposti al
vertice sono uguali»
«
Abbiamo capito, però, che Talete non si
accontentava dell’ «ovvio»!!! Talete voleva
analizzare e dimostrare ciò che è o sembra
essere ovvio
Un primo modo per «dimostrare»
l’affermazione consiste nel notare che entrambi
, sommati allo stesso angolo, danno un angolo
piatto.
Un secondo modo è osservare che i due angoli
sono l’uno il riflesso dell’altro in uno specchio
che venga posizionato lungo la bisettrice
dell’angolo esterno.
In modo analogo si può dimostrare un altro
dei teoremi «ovvi» di Talete :
Un triangolo isoscele ha angoli alla base
uguali.
Basta osservare che i due
angoli sono uno il riflesso dell’altro in uno specchio che venga
posizionato su CH.
Nel 332 a.C. Alessandro Magno conquista
l’Egitto e fonda la città di Alessandria. Alla sua
morte, qualche anno dopo, in Egitto diventa
satrapo Tolomeo che assume il titolo di re e
fonda la dinastia dei Tolomei.
Tolomeo I fece seppellire Alessandro Magno ad
Alessandria e fece fiorire la città tanto da poter
rivaleggiare con Atene e Roma. Fu sempre lui a
iniziare i lavori del Faro che divenne una delle
sette meraviglie del mondo antico. Fu sempre
lui a volere il Museo ( centro dello sviluppo
umanistico e scientifico della cultura ellenistica
) e a fondare la famosa Biblioteca annessa al
Museo.
Verso il 300 a.C. al Museo andò a lavorare
un matematico di nome Euclide che passerà
alla storia come l’autore degli Elementi.
Negli Elementi è presente una retrospettiva
dei risultati della matematica egizia e
greca, dai primordi ai tempi moderni.
Questa opera è stata nei
secoli l’unica opera in
grado di contendere alla
Bibbia il primato di
edizioni,commenti e
studi.
Il primo insegnamento che gli Elementi
offrono è l’esempio «canonico» del
ragionamento alla greca che si basa su due
procedimenti complementari.
Anzitutto la definizione di concetti via via
più complessi a partire da concetti
primitivi non definiti
Poi la dimostrazione di proposizioni via via
più complesse, a partire da proposizioni
primitive non dimostrate, chiamate
postulati o assiomi ( richiesti di fede o
degni di fede )
Per passare dal semplice al complesso ilo
filosofo Aristotele individuò nella logica lo
strumento che permette di dimostrare
teoremi e proposizioni a partire da postulati
ed assiomi. Aristotele studiò a fondo la
logica in una serie di sei
opere riunite in una collezione chiamata Organon
Ora tocca a noi…….partiamo per un viaggio
alla scoperta della Geometria Euclidea!!
