Principi di Conservazione:
Quantità di Moto e
Momento di Inerzia
La quantità di moto
Dall'esperienza sappiamo che per frenare due
automobili in movimento aventi uguale massa ma
velocità diverse dovremo applicare una forza
frenante maggiore all'auto più veloce.
Nel caso invece di un'automobile e un camion alla
stessa velocità, per potere frenare nello stesso
tempo, andrà applicata una forza maggiore sul
camion, il veicolo di massa maggiore
Per esprimere quantitativamente queste esperienze
associamo ad un corpo in movimento la grandezza
quantità di moto definita come
p mv
La quantità di moto è un vettore che ha la stessa
direzione e verso del vettore velocità ed è
proporzionale al modulo della velocità e alla massa.
Dalla seconda legge della dinamica troviamo la
relazione tra quantità di moto, forza e tempo
v
F ma m
t
F t m v p
Teorema dell'impulso: la variazione dell'impulso,
definito come forza applicata per intervallo di tempo
in cui agisce, è uguale alla variazione della quantità
di moto.
Urti
Durante l'urto fra due palle da biliardo la loro
variazione di impulso è dell'ordine di grandezza
dell'impulso iniziale.
Ad esempio nel caso in
cui una palla rimbalza
con la stessa velocità ma
verso opposto la variazione
dell'impulso è .
F t 2 p 2m v
Poiché la durata dell'urto è molto breve, nella
frazione di tempo Dt piccola rispetto a Dv in cui
vengono a contatto agisce una forza molto intensa
v
F 2m
t
Questo è il motivo per cui nelle automobili vengono
usati gli ammortizzatori nelle ruote e gli airbag per la
sicurezza: allungando il tempo di decelerazione si
diminuiscono le forze sviluppate nell'urto
Conservazione della quantità
di moto
Una pallina da tennis colpita da una
racchetta riceve una quantità di moto tale che
inverte la sua direzione,
mentre il giocatore di tennis
avverte il "rinculo" della
racchetta, in conseguenza
del principio di azione e
reazione.
L'impulso totale del sistema
racchetta più pallina è nullo e
quindi per i teorema dell'impulso anche la
variazione della quantità di moto è nulla
Principio di conservazione
della quantità di moto
Principio di conservazione della quantità di
moto: in un sistema chiuso e isolato la quantità di
moto totale è costante.
Questo principio ha validità generale anche se il
sistema è composto da molti corpi di qualsiasi
costituzione e massa e di forze di qualsiasi tipo,
meccaniche, gravitazionali, elettriche o nucleari. La
conservazione della quantità di moto è considerata
uno dei pilastri della fisica.
Due carrelli di eguale massa sono in quiete e
vengono sospinti da una molla interposta. La
quantità di moto totale iniziale è nulla e si conserva
mv 1 mv 2 0
v1 v2
dopo la spinta i carrelli si muovono con velocità
uguale e opposta
Nel caso di due carrelli di diversa massa
m1 v 1 m 2 v 2 0
m2
v1
v2
m1
Il carrello di massa minore si muoverà con velocità
maggiore e viceversa
ll principio di conservazione della quantità di moto
vale anche in due o tre dimensioni. Ogni
componente del vettore quantità di moto lungo i tre
assi si conserva.
Le navicelle spaziali usano per spostarsi nello
spazio dei razzi che espellono gas ad alta velocità,
L'impulso totale
mg v g mr v r 0
si conserva e la navicella acquista una velocità pari
a
− mg
v r=
vg
mr
Forze interne e forze esterne
L'esperimento dei due carrelli è un esempio di
sistema isolato, nel quale cioè non agiscono forze
esterne al di fuori dell'interazione tra i due carrelli.
Le forze esterne, ovvero le forze generate da
elementi al di fuori di quelli del sistema in
considerazione, come la forza di attrito o la
resistenza dell'aria, sono considerate trascurabili.
Le forze interne sono per definizione tutte le forze
che agiscono tra corpi di un sistema chiuso.
Se tra i due carrelli agisce una forza esterna non
valgono più le considerazioni sulla conservazione
della quantità di moto
Il baricentro
Come abbiamo accennato il principio della
conservazione della quantità di moto è
generalizzabile in tre dimensioni e per un sistema
composto da molti corpi. Ciò che si conserva è la
quantità di moto totale ovvero la somma vettoriale
delle quantità di moto dei singoli corpi
ptot
p
i i
Definiamo il baricentro di un sistema di corpi la
media, pesata secondo la massa di ciascun corpo,
delle posizioni dei singoli corpi. In formula
xb
m
x
i i i
i
mi
Il sistema, sotto l'azione di forze interne ed esterne,
si comporta dal punto di vista meccanico come se la
sua massa fosse effettivamente concentrata nel
baricentro e le forze siano applicate in esso
In assenza di forze esterne il baricentro rimane in
quiete o in moto rettilineo uniforme secondo il primo
principio della dinamica. Applicando infatti il
principio di conservazione della quantità di moto in
assenza di forze esterne abbiamo che
ptot
Ovvero
i
p i costante
p tot 0
Dalle formule della quantità di moto e del baricentro
risulta
ptot
m
i
i
m
i
i
i
pi
i
xi
t
m
x
i
i i
mi v i
mi xi
i
t
m
i
i
t
m tot vb
mtot
xb
t
La quantità di moto totale è dunque uguale alla
massa complessiva del sistema per la velocità del
baricentro
Moto rotatorio e momento
angolare
Parliamo di moto rotatorio quando tutti i punti del
corpo descrivono traiettorie circolari centrate lungo
una retta denominata asse di rotazione. La terra
com'è noto ruota attorno all'asse terrestre ed ogni
punto della terra descrive nell'arco di una giornata
un cerchio il cui centro sta nell'asse.
Studieremo il moto rotatorio semplice e vedremo
che molte considerazioni fatte sulla quantità di moto
relative al moto traslatorio si possono estendere per
analogia anche al moto rotatorio.
Spostamento e velocità
angolare
Esaminiamo un punto di un corpo in rotazione. In un
intervallo di tempo dato il punto P si sposta da una
posizione P ad una posizione P0, Per descrivere lo
spostamento possiamo misurare l'angolo q di cui si
è spostato rispetto all'asse. Questo angolo è
chiamato spostamento angolare ed è uguale per
tutti punti del corpo
Definiamo la velocità angolare di un corpo come il
rapporto tra lo spostamento angolare e l'intervallo di
tempo in cui avviene
t
La velocità con cui un punto nel corpo si sposta è
detta velocità tangenziale poiché è sempre tangente
alla traiettoria circolare ed è legata con la velocità
angolare w e con la distanza distanza dall'asse di
rotazione r dalla relazione
v
r
La velocità angolare può essere espressa con un
vettore
il cui modulo è uguale a w , la direzione è parallela
all'asse di rotazione e il verso è determinato dalla
regola della mano destra.
L'accelerazione angolare viene definita a sua volta
come
t
Nella tabella riassumiamo le relazioni cinematiche
del moto traslatorio e del moto rotatorio
Prima legge del moto rotatorio
Per il moto rotatorio vale una legge analoga al
principio d'inerzia del moto traslatorio:
un corpo che ruota a velocità angolare costante
permane in questa condizione in assenza di cause
esterne che modifichino questa condizione, A
differenza del moto traslatorio dove una forza può
cambiare lo stato di quiete o di moto rettilineo, una
forza che agisce su un corpo in rotazione può
accelerarlo ma non necessariamente cambiare lo
stato rotatorio, Per modificare la velocità di
rotazione è necessario applicare al corpo un
momento di una forza
Momento di una forza
Si definisce momento di una forza F rispetta un
punto P il prodotto
M rF sin
dove r è la distanza
tra il punto P e il
punto di applicazione
della forza, chiamato
braccio della forza e q è l'angolo tra il
braccio e la direzione della forza.
Equilibrio rotatorio
Se su un corpo agiscono due momenti eguali e
opposti rispetto al fulcro (asse di rotazione)
F a r a= F b r b
si ha una situazione di equilibrio rotazionale.
Seconda legge del moto rotatorio e momento di
inerzia
La seconda legge lega il momento applicato ad un
corpo con l'accelerazione angolare provocata da
esso
M I
la grandezza I è chiamata momento di inerzia e
dipende dalla massa del corpo e dalla sua
distribuzione.
Consideriamo una sferetta di massa m collegata ad
un perno tramite un'asta di massa trascurabile.
Dalla seconda legge della dinamica
F ma mr
essendo M=Fr possiamo scrivere
M
2
F
mr , M mr
r
Il momento d'inerzia I è il fattore di proporzionalità
tra il momento della forza e l'accelerazione
angolare. Per questo sistema vale
I
M
mr
2
Il momento d'inerzia esprime l'inerzia rotazionale di
un corpo esattamente come la massa esprime
l'inerzia traslazionale. Nel nostro esempio possiamo
vedere che tanto più la massa del corpo è distribuita
lontano dall'asse di rotazione maggiore sarà il suo
momento d'inerzia e quindi la difficoltà a metterlo in
rotazione,
Nel caso di un disco si può calcolare con metodi
analitici che il momento d'inerzia rispetto all'asse
perpendicolare alle facce piane e passante per il
centro vale
1 2
I = mr
2
Notiamo che il momento d'inerzia dipende dalla
posizione dell'asse di rotazione.
Il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse di
rotazione parallelo alle sue facce piane e passante
per il baricentro del disco è
1 2
I = mr
4
Momento angolare
Definiamo la grandezza momento angolare, detto
anche momento della quantità di moto, il prodotto
J I
possiamo vedere anche qui l'analogia col moto
traslatorio. La quantità di moto è definita come il
prodotto della massa m per la velocità v. Il momento
angolare è il prodotto tra il momento d'inerzia I e la
velocità angolare w
Il momento angolare esprime la quantità di moto
rotatorio posseduta da un corpo in rotazione
Conservazione del momento angolare
In un sistema isolato composto da uno o più corpi
su cui non agiscono momenti di forze esterni
(oppure la cui risultante sia nulla) il momento
angolare totale si conserva.
Come nel caso del principio di conservazione della
quantità di moto anche la conservazione del
momento angolare ha validità universale.
Negli elicotteri
mettendo in rotazione
le pali principali
l'elicottero
tende a ruotare nel
senso opposto per la conservazione del momento
angolare. Per questo motivo viene installato un
rotore nell'estremità della coda che fornisce il
momento per equilibrare questa rotazione.
La pattinatrice che ruota su sè stessa può cambiare
la sua velocità angolare variando il suo momento di
inerzia: distendendo le braccia essa aumenta il suo
momento d'inerzia e
poiché il momento
angolare si conserva la
velocità di rotazione
deve diminuire. Viceversa
se la pattinatrice ritrae su
se stessa le braccia il
momento d'inerzia
diminuisce e la velocità di rotazione aumenta
La conservazione del momento angolare viene
osservata anche in astronomia: la terra subisce
una forza di attrazione verso il sole ma poiché il
momento della forza è nullo, il momento angolare
totale della terra si conserva
Una stella, durante il suo ciclo evolutivo, può
diminuire il suo diametro
e aumentare la sua
velocità di rotazione fino
a diventare estremamente
rapida come nel caso
delle stelle di neutroni.
In questo caso il diametro
si riduce di una fattore dell'ordine di 106 e la stella di
neutroni, ridotta a pochi chilometri di diametro, ruota
su se stessa migliaia di volte al secondo.
Riassumendo....
Sintetizziamo in una tabella le grandezze e le leggi
del moto traslatorio e rotatorio
