IL SISTEMA EUCLIDEO

IL SISTEMA EUCLIDEO
CON CONTAMINAZIONI TRATTE
DAI FONDAMENTI DELLA
GEOMETRIA DI D.HILBERT
ENTI PRIMITIVI
Punto
Retta
Piano
Spazio
Relazioni primitive
Stare su (o appartenere)
Stare tra
Essere uguale a
ASSIOMI
1.
2.
3.
4.
5.
Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali
tra di loro
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali
allora i totali sono uguali
Se a cose uguali si tolgono cose uguali
allora le differenze sono uguali
Cose che si sovrappongono sono uguali
Il tutto è maggiore di una sua parte
POSTULATI DI INCIDENZA
1.
2.
3.
4.
5.
Per due punti passa una ed una sola retta
Tre punti non allineati sono contenuti in uno e
un solo piano
Se due punti contenuti in una retta stanno in un
piano allora la retta appartiene al piano
Se due piani contengono lo stesso punto, allora
esiste almeno un altro punto contenuto in
entrambi
Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano
contiene almeno tre punti non allineati, esistono
almeno quattro punti non complanari
POSTULATI DI ORDINE
1.
2.
3.
Se un punto A sta tra B e C, A sta tra C e B ed i
tre punti sono allineati.
Dati due punti distinti A e C, allora esistono un
terzo e un quarto punto B e D nella retta
passante per A e C tali che B sta tra A e C e C sta
tra A e D.
Dati tre punti distinti e allineati ce n’e
esattamente uno che giace tra gli altri due
POSTULATI DI ORDINE
4.
5.
Dati quattro punti A, B, C, D distinti e allineati
tali che B sta tra A e C e inoltre C sta tra A e D,
allora B sta tra A e D e inoltre C sta tra B e D
Assioma di Pasch: siano tre punti A, B, C non
allineati, contenuti in un piano Σ, sia r una retta
contenuta in Σ, ma non contenente nessuno dei
tre punti A, B, C; se r contiene un punto del
segmento AB, allora contiene anche un punto
dei due segmenti AC e BC
POSTULATI DI
CONGRUENZA
1.
2.
Siano A, B e A’ tre punti su una retta r.
Esistono e sono unici due punti C e D
sulla retta r tali che A’ sta tra C e D e
ABA’C e ABA’D.
La relazione di congruenza tra segmenti è
transitiva, cioè se A’B’ e A”B” sono
congruenti ad AB allora A’B’  A”B”
POSTULATI DI
CONGRUENZA
3.
4.
Siano AB e AC segmenti su una retta r privi di
punti interni comuni e siano A’B’ e B’C’
segmenti su una retta r’ privi di punti interni
comuni. Se AB  A’B’ e BC  B’C’, allora AC
 A’C’.
Dati un angolo ABC ed una semiretta B’C’,
esistono e sono uniche due semirette B’D e B’E,
tali che l’angolo DB’C’ è congruente ad ABC e
l’angolo EB’C’ è congruente all’angolo ABC
POSTULATI DI
CONGRUENZA
5.
La relazione di congruenza tra angoli è
transitiva, cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono
congruenti ad ABC, allora A′B′C′ ≡
A′′B′′C′′.
ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL
PIANO
Ogni retta r di un piano divide l’insieme dei punti del
piano in due parti non vuote, tali che:
A) se i punti A e B appartengono a parti opposte,
allora il segmento AB taglia la retta r;
B) se i punti C e D appartengono alla stessa parte,
allora il segmento CD è incluso in questa.
POSTULATO DELLE
PARALLELE
(Postulato di Playfair): Dati una retta r, un
punto A non in r, ed un piano p contenente
entrambi, esiste al più una retta in p
contenente A e non contenente nessun punto
di r.
POSTULATI DI CONTINUITA’
1. (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono
due segmenti qualsiasi, allora esiste un
valore n (naturale) tale che n volte il
segmento AB supera il segmento CD