COME EUCLIDE DIMOSTRÒ IL
TEOREMA DI PITAGORA
di Ezio Fornero
Il teorema di Pitagora è uno dei teoremi fondamentali della Geometria euclidea, ma negli Στοιχεῖα
(Elementi) di Euclide, composti intorno al 300 a. C., il teorema corrisponde alla proposizione 47 del
primo libro. La dimostrazione di Euclide non è una di quelle solitamente riportate dai libri di testo,
anche se è molto semplice, anzi è una delle più facili, ed è fondata sulla congruenza tra triangoli e
sull’equivalenza tra un triangolo e la metà del parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza.
In realtà, Euclide dimostra il primo dei teoremi che va sotto il suo nome, per il quale il quadrato di
un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione dello stesso
cateto sull’ipotenusa; si giunge al teorema di Pitagora osservando che il quadrato dell’ipotenusa è
l’unione dei rettangoli aventi per lati l’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Come primo passo, costruiamo la figura (le linee tratteggiate rappresentano i passi della
costruzione. Tutte le figure sono state costruite con il programma Geogebra):
BDEC e ACHI sono i quadrati dei cateti e BG è congruente a AB.
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Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte
Il secondo passo (primo della dimostrazione vera e propria) consiste nel dimostrare che i due
triangoli ABD e CBG sono congruenti, per il primo criterio. Infatti:
-
per entrambi, l’angolo di vertice B è la somma di ABC e di un angolo retto;
il lato BD di ABD è congruente al lato BC di CBG ;
il lato AB di ABD è congruente al lato BG di CBG , per costruzione
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Il secondo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che i due triangoli ABD e CBG sono
equivalenti rispettivamente alla metà di BDEC e KJGB (figura seguente), per il teorema secondo il
quale un triangolo è equivalente al parallelogramma avente stessa base e stessa altezza:
Dato che, per quanto dimostrato prima, ABD e CBG sono equivalenti in quanto congruenti, saranno
equivalenti anche i parallelogrammi BDEC e KJGB .
[Ciò corrisponde a uno dei possibili enunciati equivalenti al primo teorema di Euclide, per cui il
quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione del
cateto sull’ipotenusa]
Lo stesso procedimento può essere applicato al quadrato ACHI e al rettangolo AFJK. E’ inutile
ripetere i passaggi, comunque la figura è la seguente:
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Ora consideriamo il quadrato dell’ipotenusa come unione dei rettangoli aventi per lati i due cateti e
le rispettive proiezioni sull’ipotenusa. Esso sarà equivalente alla somma dei quadrati dei cateti,
c.v.d.
Osservazioni sulla costruzione –
Comunque venga preso il vertice dell’angolo retto sulla circonferenza che circoscrive il triangolo
rettangolo, l’intersezione M delle rette AD e BI appartiene sempre all’altezza relativa all’ipotenusa.
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NOTE
1.
I disegni sono stati realizzati con il programma Geogebra, versione 3.2.47.0 liberamente scaricabile dal sito
http://www.geogebra.org/cms/.
2.
Una bellissima edizione on-line degli Elementi , con testo greco a fronte e traduzione in Inglese, è liberamente
scaricabile dal sito: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf.
3.
Dal sito http://www.liberliber.it/mediateca/libri/e/euclides/euclide_megarense_etc/pdf/euclid_p.pdf si può
scaricare la traduzione in italiano fatta dal matematico Niccolò Tartaglia.
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