Problemi sugli angoli formati da rette parallele con trasversali

ANGOLI
TEORIA
O
PROBLEMI RISOLTI
SOLTANTO
PROPOSTI
ANGOLO. E' la parte di piano compresa fra due
semirette che hanno l'origine comune. L'origine si
chiama vertice .
ELEMENTI DI UN ANGOLO:

O
A

B
CLASSIFICAZIONE SECONDO L'AMPIEZZA
a) ANGOLO CONVESSO

0º <  < 180º
a.1) ANGOLO ACUTO

0º <  < 90º
a.2) ANGOLO RETTO
 = 90º

a.3) ANGOLO OTTUSO

90º <  < 180º
CLASSIFICAZIONE SECONDO LA SOMMA
a) ANGOLI COMPLEMENTARI
   = 90º


b) ANGOLI SUPPLEMENTARI

 +  = 180º

CLASSIFICAZIONE SECONDO LA
SOMMA
c) ANGOLI ESPLEMETARI
La somma dei due angoli è
360°
CLASSIFICAZIONE SECONDO LA POSIZIONE
b) ANGOLI CONSECUTIVI
a) ANGOLI CONSECUTIVI

 


Possono formare più angoli
Un lato comune
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE


Sono congruenti
ANGOLI GENERATI DA RETTE PARALLELE
CON UNA RETTA SECANTE
1
4
5
8
2
3
6
7
01. Angoli alterni interni:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
04. Angoli coniugati esterni:
m 1+m 8=m 2+m 7=180°
02. Angoli alterni esterni:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
05. Angoli corrispondenti:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
03. Angoli coniugati interni:
m 3+m 6=m 4+m 5=180°
PROPIETA' DEGLI ANGOLI
01.-Angoli che si formano con una línea spezzata fra
due rette parallele.

x

y

 +  +  = x + y
02.- ANGOLI FRA DUE RETTE PARALLELE





 +  +  +  +  = 180°
03.- ANGOLI AVENTI, OGNUNO, I LATI PERPENDICOLARI
A QUELLI DELL'ALTRO


 +  = 180°
Problema Nº 01
Il complementare della differenza tra il supplementare
e il complementare di un angolo "X" è uguale al
due volte il complementare dell'angolo "X". Calcolare il
misura dell'angolo "X".
RISOLUZIONE
Secondo l'enunciato dovrebbe essere:
90
- { ( 180° - X ) - (
90° - X
)}=
2 ( 90° - X
Il suo sviluppo dà:
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Che si riduce a:
2X = 180°
X = 90°
)
Problema Nº 02
La somma delle misure di due angoli è 80 ° e il
complementare del primo angolo è il doppio del
secondo angolo. Calcolare la differenza delle
misure degli angoli.
RISOLUZIONE
Gli angoli siano:  e 
Dato che:  +  = 80°
 = 80° - 
Dato che:( 90° -  ) = 2
Sotituendo la(1) con la (2):
( 90° -  ) = 2 ( 80° -  )
90° -  = 160° -2
(2)
(1)
 = 70°
Risoluzione
 = 10°
Differenza fra le misure
 -  = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 03
La somma dei complementari di due angoli è 130°
e la differenza dei supplementari degli stessi
angoli è 10°.Calcola la misura dei due angoli.
Risoluzione
Siano gli angoli:  e 
Dall'enunciato:
( 90° -  ) + ( 90° -  ) = 130°
 +  = 50°
(1)
Dall'enunciato:
( 180° -  ) - ( 180° -  ) = 10°
 -  = 10°
(2)
Risolvendo: (1) y (2)
 +  = 50° (+)
 -  = 10°
2 = 60°
 = 30°
 = 20°
Problema Nº 04
Dati due angoli consecutivi AOB e BOC
(AOB<BOC), disegna la bisettrice OM dell' angolo
AOC. Se gli angoli BOC e BOM misurano 60° e 20°
rispettivamente qual'è la misura dell'angolo AOB?
RISOLUZIONE
B
A
X
Dalla figura:
 = 60° - 20°
 = 40°
M
20°
Allora:


X = 40° - 20°
60°
X = 20°
O
C
Problema Nº 05
La differenza delle misure di due angoli consecutivi AOB e BOC è di 30 °.
Calcola la misura dell'angolo formato dalla bisettrice dell'angolo AOC e dal lato
OB.
Dall'enunciato:
RISOLUZIONE
A
Esecuzione del disegno secondo
l'enunciato del problema
B
2X=30º
X

O
Successivamente AOB si sostituisce così
come si vede nel disegno
(  + X) - ( - X) = 30º
M

AOB - OBC = 30°
(- X)
X = 15°
C
Problema Nº 06
Dati gli angoli consecutivi AOB, BOC e COD tali
che gli angoli AOC e BOD misurino ognuno 90°.
Calcola la misura dell'angolo formato dalle
bisettrici degli angoli AOB e COD.
RISOLUZIONE
Esecuzione del disegno secondo l'enunciato
MA
B
 



X
C
Dal disegno:
2 +  = 90°
(+)
 + 2 = 90°
2 + 2 + 2 = 180°
 +  +  = 90°
X=++
X = 90°
Problema Nº 07
Se m // n . Calcola la misura dell'angolo “X”
m


80°
X


30°
n
RISOLUZIONE
m


80°
X


30°
Per la proprietà
2 + 2 = 80° + 30°
(1)
 +  = 55°
Propietà del quadrilatero
concavo
n
80° =  +  + X
(2)
Inserendo la (1) nella (2)
80° = 55° + X
X = 25°
Problema Nº 08
Se m // n . Calcola la misura dell'angolo “X”
m
65°
4
X
n
5
RISOLUZIONE
m
65°
4
40°
65°
X
n
5
Per la proprietà:
4 + 5 = 90°
 = 10°
Angolo esterno del triangolo
X = 40° + 65°
X = 105°
Problema Nº 09
Se m // n . Calcola la misura dell'angolo ”X”
x
m
2

2
n

RISOLUZIONE
x
m
2

2
n
Angoli coniugati
interni

Angoli formati da una línea spezzata
fra due rette parallele
3 + 3 = 180°
 +  = 60°
X=+
X = 60°
PROBLEMA 01.- Se
dell'angolo x
L1 // L2 . Calcola
la misura
L1
3x


x


4x
A) 10°
B) 20°
L2
C) 30°
D) 40°
E) 50°
PROBLEMA 02.- Se m // n . Calcola x
X
n
m
30°
A) 18°
B) 20°
C) 30°
D) 36°
E) 48°
PROBLEMA 03.- Se m // n . Calcola 
m

3
3
3
n
A) 15°
B) 22°
C) 27°
D) 38°
E) 45°
PROBLEMA 04.- Se m // n . Calcula il valore di
“x”
m


95°
n
40°
2x
A) 10°
B) 15°
C) 20°
D) 25°
E) 30°
PROBLEMA 05.- Calcola la misura di x
x
3
6
A) 99°
B) 100°
C) 105°
D) 110°
E) 120°
PROBLEMA 06.- Se m // n . Calcola la misura di x
X
4

4
A) 22°
m
B) 28°

C) 30°
n
D) 36°
E) 60°
PROBLEMA 07.- Se m // n. Calcola la misura di x
m


88°
x


n
24°
A) 24°
B) 25°
C) 32°
D) 35°
E) 45°
PROBLEMA 08.- Se m // n . Calcola la misura di x
X
m
n
20°
A) 50°
B) 60°
C) 70°
D) 80°
E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y -  = 80°. Calcola la mx

m

x

A) 60°
B) 65°
C) 70°
D) 75°

n
E) 80°
PROBLEMA 10.- Se m // n . Calcola la misura di x
m
x
x
x
n
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 60°
PROBLEMA 11.- Se m // n . Calcola la misura di 
m
2

180°-2
A) 46°
B) 48°
n
C) 50°
D) 55°
E) 60°
PROBLEMA 12.- Se m // n . Calcola la misura di x
80°


m
x


A) 30°
B) 36°
n
C) 40°
D) 45°
E) 50°
PROBLEMA 13.- Se m // n . Calcola la misura di x
x


m
80°

A) 30°
B) 40°
C) 50°

n
D) 60°
E) 70°
RISULTATI DEI PROBLEMI PROPOSTI
1. 20º
8.
50º
2. 30º
9.
80º
3. 45º
10.
30º
4. 10º
11.
60º
5. 120º
12.
40º
6. 36º
13.
50º
7. 32º