Un numero è primo se:
è intero e maggiore di 1
è divisibile solo per se stesso e per 1
È un numero primo
Infatti: 3 è intero; 3 > 1
3 è divisibile solo per 3 e per 1
Un numero è composto se:
• è intero e maggiore di 1
• oltre che per se stesso e per 1, è divisibile per altri numeri
È un numero composto
Infatti: 4 è intero; 4 > 1;
4 è divisibile, oltre che per 4 e per 1,
anche per 2.
Tutti i numeri composti si possono scomporre
in fattori primi. Per scomporre un numero
dobbiamo:
dividere il numero considerato per il suo più
piccolo divisore primo;
dividere il quoziente ottenuto per il suo più
piccolo divisore primo;
e così via finché si ha come quoziente 1.
I divisori ottenuti sono fattori primi del
numero considerato.
Numero dato →
120 2 ←
1° divisore
1° quoziente →
60 2 ←
2° divisore
2° quoziente →
30 2 ←
3° divisore
3° quoziente →
15 3 ←
4° divisore
4° quoziente →
5 5 ←
5° divisore
1
Pertanto: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
Quando uno o più fattori si ripetono più volte li scriveremo
sotto forma di potenza. Quindi:
120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 3 ∙ 5
Quando due o più numeri hanno divisori comuni, il più
grande fra questi è detto massimo comun divisore
(M.C.D.).
Esempio:
8 è divisibile per 1
2
20 è divisibile per 1
M.C.D. (8; 20) = 4
4
2
8
4
5
10
20
Due o più numeri si dicono primi fra loro se hanno per
divisore comune solo l’unità.
8 e 15 sono primi fra loro.
Infatti:
8 è divisibile per 1 2
15 è divisibile per
1
4
3
8
5
M.C.D. (8; 15) = 1
15
Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri naturali bisogna:
scomporre i numeri in fattori primi;
moltiplicare fra loro i fattori primi comuni, presi ciascuno
una sola volta con l’esponente più basso.
18 2
24 2
9 3
12 2
3 3
6 2
1
3 3
1
M.C.D. (18; 24) = 2 ∙ 3 = 6
18 = 2 ∙ 32
24 = 23 ∙ 3
Il minimo comune multiplo (m.c.m) è il più piccolo tra i
multipli comuni di due o più numeri naturali.
8 {8, 16, 24, 32, 40 , 48, 56, 64, 72, 80 … }
20 {20, 40 , 60, 80 , 100, 120, 140…}
m.c.m. (8; 20) = 40
Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri naturali bisogna:
scomporre i numeri in fattori primi;
moltiplicare tra loro i fattori primi comuni e non comuni, presi
ciascuno un sola volta con l’esponente più alto.
18 2
28 2
9 3
14 2
3 3
7 7
1
1
m.c.m. (18; 28) = 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252
18 = 2 ∙ 32
28 = 22 ∙ 7
M.C.D. e m.c.m. nella risoluzione di
problemi…
Gli ingranaggi di una macchina
I tre ingranaggi A, B, C della figura hanno
rispettivamente 30, 10, 50 denti ciascuno. Di
quanti giri deve girare ciascuna ruota perché la
struttura
ritorni
esattamente
nella
configurazione di partenza?
Risolviamo…
Affinché la struttura ritorni nella configurazione di partenza
ogni ruota dovrà essere girata di un numero di denti pari al
minimo comune multiplo del numero di denti delle tre ruote.
Per calcolare il m.c.m. di 30, 10, 50 dobbiamo prima scomporre
i numeri:
30 2
10 2
50 2
15 3
5 5
25 5
5 5
1
1
5 5
1
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
10 = 2 ∙ 5
50 = 2 ∙ 52
m.c.m. (30; 10; 50) = 2∙3∙52 = 150
Le ruote avranno girato per 150
denti quindi avranno percorso:
ruota A
ruota B
ruota C
150 : 30 = 5 giri
150 : 10 = 15 giri
150 : 50 = 3 giri
