MOTI
DEI CORPI CELESTI
Modelli Fisico-Matematici
e
loro validità
Anna Nobili ([email protected] ), Università di Pisa
Dipartimento di Matematica, Gruppo di Meccanica Spaziale
Lezioni di orientamento preuniversitario, Pisa 6-13-20 Marzo 2001
(Disponibili in rete formato html navigabile http://eotvos.dm.unipi.it/nobili/licei)
Peculiarità della Matematica rispetto
alle altre Scienze:
• È possibile sviluppare teorie dotate di un
criterio
di verità al proprio interno
Si inventano oggetti, proprietà e relazioni tra di
essi, leggi ed assiomi cui devono soddisfare…
e si procede con il solo vincolo di rispettare le
regole date.
Capita che teorie matematiche molto
astratte trovino applicazioni importanti in
altri campi della scienza….ma questo non è
in generale l’obiettivo primo del
Il libro della Natura è scritto nel
linguaggio della Matematica…..
(Galileo, Pisa 1564-Firenze 1642)
….senza la Matematica, è come avere
tra le mani un libro scritto in una lingua
che non conosciamo.
Non possiamo fare altro che guardare le
figure…
Capire il cielo
Il cielo e i corpi che lo popolano sono la
pagina del libro della Natura che l’uomo ha
cercato di ''leggere'' fin da epoche
antichissime
• Spettacolarità dei fenomeni celesti e
preoccupazione per la loro inspiegabilità
(e.g. eclissi di sole….)
• Rilevanza delle stagioni per l’agricoltura,
quindi la produzione di cibo e la
sopravvivenza
Impariamo a distinguere pochi puntini
tra un’infinità di altri puntini luminosi…
Se di notte osserviamo per un certo tempo le
stelle di un settore del cielo e le riferiamo ad un
sistema di punti fissi sull’orizzonte (e.g. un
campanile..) notiamo che si spostano tutte
uniformemente nello stesso senso del moto
apparente del Sole, da levante verso ponente
(1 giro in 23h 56m: il giorno sidereo)
Ma sempre restando fisse le une rispetto alle
altre in ''configurazioni'' immutabili (le
Impariamo a distinguere pochi puntini
tra un’infinità di altri puntini luminosi…
Oltre al Sole e alla Luna, pochissimi
puntini visibili ad occhio nudo (5, fino alla
notte del 13 marzo 1781 quando fu
scoperto Urano) si muovono rispetto a
tutti gli altri, compiendo strani percorsi nel
cielo, a volte addirittura muovendosi
all’indietro rispetto ad essi (moti
retrogradi)
Le osservazioni non bastano…
I movimenti delle 5 ''stelle erranti'' si
ripetono sempre uguali a se stessi (moti
periodici…o quasi)
….è proprio dal periodico sorgere, culminare e
tramontare del Sole (giorno solare) che nasce il
concetto stesso di tempo e di orologio (costruire
un orologio richiede di disporre di un fenomeno che si ripete
sempre uguale a se stesso: e.g. il sorgere del Sole, il
movimento di un pendolo, le precise vibrazioni di materiali
piezoelettrici come il quarzo usati oggi nei normali orologi da
polso),
quindi di misura del tempo
Le osservazioni non bastano…
I movimenti delle 5 stelle erranti si
ripetono sempre uguali a se stessi (moti
periodici…o quasi)
La difficoltà non sono le osservazioni
(che possono essere accurate proprio
grazie alla periodicità)…ma includerle in
un unico modello geometrico capace di
avere valore predittivo…
Le osservazioni non bastano…
I movimenti delle 5 stelle erranti si
ripetono sempre uguali a se stessi (moti
periodici…o quasi)
Non più quindi una teoria con criteri di
verità al proprio interno, ma una teoria
da cui emergono previsioni che possono
essere confermate o smentite al di fuori
di essa
La visione di Platone (IVo secolo a.C.)
''Le stelle rappresentano oggetti eterni,
divini ed immutabili, si muovono con
velocità uniforme attorno alla terra –come
noi possiamo constatare– e descrivono la
più regolare e perfetta di tutte le
traiettorie: quella della circonferenza
senza fine. Ma alcuni oggetti celesti (il
sole, la luna e i pianeti) vagano attraverso
il cielo e seguono cammini complessi, con
l’inclusione anche di moti retrogradi….
La visione di Platone (IVo secolo a.C.)
…Tuttavia, essendo corpi celesti,
anch’essi debbono sicuramente
muoversi in maniera conforme al loro
rango elevato: i loro moti devono
perciò derivare da una qualche
combinazione di cerchi perfetti, dal
momento che non descrivono
esattamente dei cerchi perfetti''
Moti retrogradi dei pianeti nella
concezione moderna….
Esempio di moto retrogrado di un pianeta superiore
Claudio Tolomeo (150 d.C.)
Quali sono le combinazioni di moti
circolari, con velocità uniforme, che
possono spiegare tali peculiari
variazioni a partire da un insieme
coerente di moti regolari nel cielo?
''Almagesto'', (in
arabo: ''la più grande'', di C.
Tolomeo
Claudio Tolomeo (150 d.C.)
Riesce a rispondere a questa
domanda creando un modello (in 3D) per il moto dei 7 corpi celesti ''non
fissi'' dal quale è possibile predire la
posizione dei pianeti nel cielo per
molti anni con un errore < 2 !!!!!
''Almagesto'', (in
arabo: ''la più grande'', di C.
Tolomeo
Il modello tolemaico: una versione
semplificata
Il modello tolemaico: una versione
semplificata
1a parte - dalla terra fino al sole:
terra, luna, mercurio, venere, sole
Il modello tolemaico: una versione
semplificata
2a parte - dal sole fino a saturno:
terra, sole, marte, giove, saturno
Esempi di moto epicicloidale tratti
dalla vita di tutti i giorni….
Il modello tolemaico: l’epiciclo e il
deferente
… ecco come possano generarsi dei moti
retrogradi (Ci vogliono almeno 2 frequenze –
velocità angolari– indipendenti !!)
Il modello tolemaico: l’epiciclo e il
deferente
r1, 1 raggio e velocità
angolare del deferente
r2, 2 raggio e velocità
angolare dell’epiciclo
Il pianeta si muove a velocità angolare costante
sull’epiciclo, il cui centro a sua volta gira a velocità angolare
costante sul deferente che è centrato sulla terra
Il modello tolemaico: l’epiciclo e il
deferente
r1, 1 raggio e velocità
angolare del deferente
r2, 2 raggio e velocità
angolare dell’epiciclo
1 si misura a partire dall’asse X
2 si misura a partire dalla
direzione terra-centro del
deferente (lungo r1)
r2= r12 + r22 - 2r1 r2cos(- 2t) = r12 + r22+2 r1 r2 cos(2t)
r sin =r2 sin(2t)
Il modello tolemaico: l’epiciclo e il
deferente
…. E basta giocare con 1 2 r1 r2 per cominciare ad
ottenere qualcosa che già assomiglia ai moti
irregolari che si osservano nel cielo
– anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa (risonanza)
– anelli con orbita aperta
– orbita del sole con equinozi non equidistanti (velocità
angolare variabile, eccentrici ed equanti … e volendo
anche orbita ellittica..)
Il modello tolemaico: orbita risonante
– anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa
(risonanza): r2=0.4 r1
2=31
Nota: i programmi sono scritti in “Matlab”
t=[0:0.01:8.5];
omega1=1;
omega2=3*omega1;
r1=1;
r2=r1*(0.4);
r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t))));
f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))));
X=r.*cos(f);
Y=r.*sin(f);
figure;
plot(X,Y);
title('Esempio 1.a : omega2=3*omega1','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
box on;
grid on;
Il modello tolemaico: orbita
risonante
Notare: i conti di
Tolomeo sono
sempre fatti
rispetto alla Terra,
che quindi si trova
sempre
nell’origine delle
coordinate
– anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa
(risonanza): r2=0.4 r1
2=31
Il modello tolemaico: orbita aperta
– anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita aperta
r2=0.4 r1 2=3.21
t=[0:0.01:8.5];
omega2=3.2*omega1;
r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t))));
f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))));
X=r.*cos(f);
Y=r.*sin(f);
figure;
plot(X,Y);
title('Esempio 1.b : omega2=3.2*omega1','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
box on;
grid on;
Il modello tolemaico: orbita aperta
– anelli (i.e. moto retrogardo) con orbita aperta
..frequenze non in risonanza
r2=0.4 r1 2=3.21
(i.e. non in rapporti interi tra loro)
Tolomeo: un modello semplice per spiegare il
moto del Sole
caso: r2<<r1
2=-1
t=[0:0.01:8.5];
omega1=1;
omega2=-omega1;
r1=1;
r2=r1.*(3./50);
r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t))));
f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))));
X=r.*cos(f);
Y=r.*sin(f);
figure;
plot(X,Y);
title('Esempio 2.a : Traiettoria del Sole','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
box on;
grid on;
Tolomeo: un modello semplice per spiegare il
moto del Sole
L’epiciclo e il deferente: caso r2<<r1 2=-1
Si spiega così la non
equidistanza
temporale tra i due
equinozi (il tempo per
andare dall’equinozio
di primavera a quello
autunnale è diverso
da quello per andare
dall’equinozio
d’autunno a quello di
primavera…)
Tolomeo: si puo’ ottenere anche un’orbita ellittica
– orbita ellittica: caso r2<<r1
2=-21
t=[0:0.01:8.5];
omega1=1;
omega2=-2*omega1;
r1=1;
r2=r1.*(3./50);
r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t))));
f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))));
X=r.*cos(f);
Y=r.*sin(f);
figure;
plot(X,Y);
title('Esempio 2.b : Traiettoria ellittica','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
box on;
grid on;
Tolomeo: si puo’ ottenere anche un’orbita ellittica
l’epiciclo e il
deferente:
Con r2<<r1 , 2=-21
si puo’ ottenere
anche un’orbita
ellittica
Ora facciamo un modello un pò più complicato: 1
deferente e 2 epicicli
t=[0:0.01:8.5];
omega1=1;
omega2=3.2.*omega1;
r1=1;
r2=r1.*0.4;
r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t))));
f=omega1.*t+asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))));
r3=0.1;
omega3=-1.17;
rho=sqrt(abs((r.^2)+(r3.^2)-(2.*r.*r3.*cos(pi-(omega3.*t)-(omega2.*t(asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t))))))))));
fi=f+asin((r3./rho).*sin(omega2.*t-asin((r2./r).*sin(pi(omega2.*t))))));
[Z,T]=pol2cart(fi,rho);
figure;
plot(Z,T);
title('Esempio 3: Modello con 2 epicicli e un deferente','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
box on;
grid on;
Ora facciamo un modello un pò più complicato: 1
deferente e 2 epicicli
r2=0.4r1
2=3.21
r3=0.1r1
3=-1.171
Tolomeo …un modello realistico per Mercurio
Con una eccentricita’
del 20% l’orbita di
Mercurio poneva seri
problemi…
– Epiciclo ( 1 )
– Centro dell’epiciclo (2 )
– Deferente con centro mobile
(3)
– Moto dul deferente uniforme
rispetto al punto di equante
Tolomeo …un modello realistico per Mercurio
Tolomeo …un modello realistico per Mercurio
% Questo programma vuol dare un modello per l'orbita di Mercurio
% secondo quanto proposto nell'Almagesto di Tolomeo.
t=[0:0.01:2000];
r1=0.37083;
r2=1;
r3=1./24;
omega1=(2.*pi)./119;
omega2=(2.*pi)./365;
omega3=-omega2;
%Cerco ora le coordinate X,Y del pianeta
x3=r3.*cos(omega3.*t);
DCZ=0.5.*(omega3.*t);
DZ=r3;
ZC=r3;
DC=sqrt((DZ.^2)+(ZC.^2)-(2.*DZ.*ZC.*cos(pi-(omega3.*t))));
DG=r2;
DCG=(omega2.*t)+(DCZ);
DGC=asin((sin(DCG).*DC)./DG);
CDG=pi-(DCG+DGC);
CG=(DG.*sin(CDG))./(sin(DCG));
x2=CG.*sin(omega2.*t);
CDZ=DCZ;
ZDG=CDG-CDZ;
K=pi-(CDG+DCZ);
x1=r1.*sin(K+(omega1.*t));
X=x1+x2;
y1=r1.*cos(K+(omega1.*t));
CT=1./20;
y2=(CG.*cos(omega2.*t))+CT;
y3=r3.*sin(omega3.*t);
Y=y2+y1;
figure(2)
h=plot(X,Y);
set(h,'color','blue')
%Considero adesso l'orbita del Sole sempre secondo Tolomeo, in modo da
%poter comparare i due moti
r4=0.03;
r=sqrt((r2.^2)+(r4.^2)-(2.*r4.*r2.*cos(pi-(omega3.*t))));
f=(omega2.*t)- (asin(((r4./r).*sin(pi-(omega3.*t)))));
K=r.*cos(f);
W=r.*sin(f);
hold on
figure(2)
xlim([-1.5,1.5]);
ylim([-1.5,1.5]);
axis square;
grid on;
title('Traiettoria di Mercurio(blu) e del Sole(magenta)','FontSize',12);
xlabel('Coordinata X','FontSize',12);
ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12);
p=plot(W,K);
set(p,'color','magenta')
Tolomeo …un modello realistico per Mercurio
Copernico
1473-1543
Nota che nel modello tolemaico il moto di ogni pianeta
contiene sempre la velocità angolare del Sole (2/1 anno)
• Conviene prendere lo stesso deferente (quello del Sole) per
tutti i pianeti
• Siccome tutte le osservazioni sono misure di angoli, conviene
prendere il raggio del deferente del Sole = 1 ed esprimere i
raggi di tutte le altre circonferenze (deferenti, epicicli etc..) in
unità del raggio del deferente del Sole
Nota: il deferente del Sole è essenzialmente l’orbita del Sole
attorno alla Terra, cioè in effetti l’orbita della Terra attorno al
Sole (nota come “eclittica”, quindi il suo raggio medio è la
distanza media Terra-Sole (unità astronomica 150 milioni di
km)
Copernico
1473-1543
1543: De revolutionibus orbium coelestium libri VI
Copernico acconsente alla pubblicazione solo nel
1540;
Dal 1510 circola un compendio “Commentariolus”
Il modello copernicano, in cui il moto di ogni pianeta
viene calcolato rispetto al Sole equivale,
matematicamente, a tenere fermo il Sole e a porre
l’origine del sistema di coordinate nel suo centro
anziché nel centro della Terra.
Nota: Copernico, nato in Polonia, studia
in Italia (BO e PD) dal 1497 al 1503
Copernico
1473-1543
Il modello di Copernico è senz’altro esteticamente più
elegante di quello di Tolomeo
…anche se non tanto meno complicato visto che usa
sempre moti circolari uniformi per descrivere orbite in
realtà ellittiche e percorse a velocità angolare non
uniforme…..
Copernico non dispone di osservazioni più
sistematiche e accurate di quelle di Tolomeo, e
la precisione delle previsioni basate sul suo
modello non è migliore di quelle basate sul
modello Tolemaico!
Copernico
1473-1543
…Ma se non viene interpretato in senso puramente
matematico, il modello di Copernico costringe a
cambiare radicalmente la visione dell’universo, a
cominciare dalle sue dimensioni.
Se davvero il Sole è fermo nell’origine e la Terra gli gira
intorno, allora come è possibile che le stelle, viste dalla
Terra, occupino sempre le stesse posizioni nel cielo?
…dovrebbero invece mostrare un moto periodico con il
periodo del moto della Terra attorno al Sole (1 anno)
– fenomeno della parallasse: in questo caso,
parallasse annua
Copernico
1473-1543
Copernico risponde nell’unico modo possibile:
le stelle sono molto più distanti da noi di quanto noi
distiamo dal Sole (1 AU=150 milioni di km), e quindi il
loro moto periodico dovuto allo spostamento delle
Terra nel suo moto intorno al Sole (“parallasse annua”)
è di fatto impercettibile
Bisogna accettare l’idea di un Universo molto più
grande di quanto non si fosse creduto fino ad allora. In
Inghilterra il pensiero di Copernico è accettato con
entusiasmo e si pensa addirittura ad un Universo
infinito….
L’ osservatorio di Ulug Beg, costruito a Samarcanda
1424-1429, distrutto nel 1449
Come
doveva
essere…..
L’ osservatorio di
Ulug Beg, costruito a
Samarcanda 14241429, distrutto nel
1449
È il più grande quadrante (in
realtà sestante…) murale mai
costruito, profondamente
ancorato nella roccia per
ridurre gli effetti delle
vibrazioni sismiche e
migliorare la precisione delle
osservazione dei corpi
L’ osservatorio di Ulug Beg, costruito a Samarcanda
1424-1429, distrutto nel 1449
Le osservazioni di Ulug Beg sono le più
precise dopo quelle di Hipparcos (129 A.C.)
e di Tolomeo (140 D.C.)
Ulug Beg usa l’osservatorio fino alla sua morte
nel 1449 (avvenuta per mano del figlio…)
compilando un catalogo stellare che arrivò e fu
pubblicato in Europa dopo quello di Tycho
Brahe
Tycho Brahe
1546-1603
1576: Osservatorio di URANIBORG (= i castelli del cielo)
In Europa è il primo osservatorio astronomico in senso moderno
(antecedente la scoperta del telescopio) in quanto è
interamente supportato dallo stato (Federico II di Danimarca) e
dedicato ad una raccolta sistematica di osservazioni
astronomiche incluso un catalogo stellare di circa 1000
oggetti….
Gli strumenti includono quadranti, misuratori di
parallasse, sfere armillari, astrolabi, tutti costruiti
con grande accuratezza (prima aveva avuto solo un suo
piccolo osservatorio amatoriale)
…rilevanza della tecnologia!
Tycho Brahe
1546-1603
Le fortune di Tycho presso Federico II derivano dalla fama
acquisita per la scoperta di una “nova” nella costellazione di
Cassiopea (1572): minava completamente la convinzione della
immutabilità dei corpi celesti (si trattava di una supernova…)
Tycho dimostra anche che la cometa del 1577 è più lontana
della Luna e quindi non può essere un fenomeno dell’atmosfera
terrestre….come invece si credeva
1576: costruzione di Uraniborg
1588: morte di Federico II
1599: Tycho si stabilisce a Praga. I suoi dati
passano all’allievo Johannes Kepler
Tycho Brahe
1546-1603
URANIBORG:
Osservazioni sistematiche con l’accuratezza di 2’….
Queste osservazioni mettono in crisi sia
Tolomeo che Copernico!
…dall’analisi dei dati di Tycho da parte di Keplero
(1571-1630) emerge una discrepanza di 8’ nella
longitudine di Marte (e=0.09), poi ridotta a 2’ con
l’introduzione di orbite ellittiche)
Keplero
1571-1630
…dall’analisi dei dati di Tycho da parte di
Keplero (1571-1630) emerge una discrepanza
di 8’ nella longitudine di Marte (e=0.09), poi
ridotta a 2’ con l’introduzione di orbite ellittiche)
Perplessità di Keplero sugli epicicli: come può un centro vuoto
esercitare forze? ….ci si incomincia a chiedere quali siano le
cause del moto
1609: Pubblicazione di “Astronomia Nova”
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
1. Legge delle orbite ellittiche (ogni pianeta si muove
attorno al Sole su un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno
dei fuochi)
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
1. Legge delle orbite ellittiche (ogni pianeta si muove
attorno al Sole su un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno
dei fuochi)
Attenzione:
oggi sappiamo che questo è vero solo se la
forza di attrazione gravitazionale tra il sole e il
pianeta è inversamente proporzionale al
quadrato della distanza tra loro
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
2. Legge delle aree (il raggio vettore Sole-pianeta spazza
aree uguali in tempi uguali il pianeta gira più velocemente
al perielio che non all’afelio)
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
2. Legge delle aree (il raggio vettore Sole-pianeta spazza
aree uguali in tempi uguali il pianeta gira più velocemente
al perielio che non all’afelio)
Nota a): È vero per tutte le forze centrali (cioè dirette
lungo la congiungente) anche se non sono
proporzionali all’inverso del quadrato della distanza
Nota b): Si puo’ dimostrare che la legge delle aree
equivale ad affermare che il moto si svolge in un piano
identificato dai vettori posizione e velocità iniziali
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
3. T2/a3=costante per tutti I pianeti (il rapporto tra I
quadrato del periodo orbitale e il cubo del semiasse
maggiore –il semiasse maggiore è il raggio medio dell’orbita
ellittica del pianeta attorno al Sole– è lo stesso per tutti i
pianeti)
Le 3 leggi di Keplero
(1571-1630)
3. T2/a3=costante per tutti I pianeti (il rapporto tra I
quadrato del periodo orbitale e il cubo del semiasse
maggiore –il semiasse maggiore è il raggio medio dell’orbita
ellittica del pianeta attorno al Sole– è lo stesso per tutti i
pianeti)
Nota: si dimostra che
T2/a3=costante x (Msole+ mpianeta)
quindi questo rapporto non è esattamente lo
stesso per tutti I pianeti … però siccome tutti I
pianeti hanno una massa << Msole ,
l’affermazione di Keplero era sostanzialmente
corretta
Galileo
1564-1642
1608: scoperta del cannocchiale in Olanda
(primo utilizzo sui campi di battaglia…)
Galileo costruisce immediatamente una
versione più precisa di questo strumento da
utilizzare per osservazioni astronomiche
(continua a modificarlo raggiungendo ottimi
risultati…)
Galileo
1564-1642
Osservazioni
sistematiche dei
satelliti di Giove…..
Mentre osserva il sistema
di Giove vede anche
Nettuno (nel 1613!), più di
2 secoli prima che venisse
scoperto (1845)
Le Osservazioni di Galileo
•La Luna non è perfetta (stima, dalle ombre, le
dimensioni delle “anomalie” – monti e valli)
•Il Sole ruota (lo deduce dalle osservazioni delle
macchie solari)
•Ci sono 4 “lune” che girano attorno a Giove (un
mini-sistema-solare). Pubblica il Sidereus
Nuncius
•Il disco di Venere mostra delle fasi compatibili
con un suo moto di rivoluzione attorno al sole
Galileo: l’opposizione della Chiesa di Roma
1632: Galileo pubblica il suo “Dialogo sopra i massimi sistemi”
Viene sottoposto all’ Inquisizione
Galileo abiura (viene costretto dalla Chiesa di Roma prima in
prigione e poi agli arresti domiciliari nella sua casa di Arcetri… è
cieco da molti anni)
Il “Dialogo…” resta all’indice fino al 1835
1638: pubblica in Olanda (non poteva in Italia) i : “Discorsi e
dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze
attinenti alla meccanica e ai movimenti locali”…enuncia il
Principio di equivalenza che sara’ alla base della Relativita’
Generale
Galileo e il Principio di Equivalenza
Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove
scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali” Galileo
enuncia (in diretto opposizione alla visione aristotelica
dominante) il “Principio” della universalita’ della caduta dei
gravi:
..…”veduto, dico, questo cascai in
opinione che se si levasse
totalmente la resistenza del mezzo
tutte le materie descenderebbero
con eguali velocità”
..noto anche come “Principio” di Equivalenza, sara’ alla base
della teoria della gravitazione di Newton e della teoria della
Relativita’ Generale di Einstein
Galileo e il Principio di
Equivalenza
Il Principio di Equivalenza e’
ancora oggi di enorme
importanza.
Ci sono 3 proposte di missioni
spaziali in corso di studio per
verificarne la validita’ ad
altissimi livelli di accuratezza:
STEP - negli Stati Uniti (NASA)
“Galileo Galilei” (GG) - in Italia
(ASI)
Microscope - in Francia (CNES)
I grandi cataloghi stellari e la scoperta
di Urano (1781)
La scoperta di Urano (marzo 1781, William Herschel –ma
forse in realta’ sua sorella…) e’ una scoperta osservativa,
perche’ la sua esistenza non era stata prevista teoricamente
Ma non e’ una scoperta inaspettata ne’ dovuta alla fortuna,
perche’ verso la fine del 1700 si esplorava sistematicamente il
cielo per compilare grandi cataloghi di posizioni stellari (uno
strumento essenziale per classificare io diversi fenomeni
astronomici….come ad esempio un piccolo puntino luminoso
che cambia posizione (pianeta).rispetto agli altri vicini fissi
riportati nel catalogo (stelle)
Newton (1642-1727) e la meccanica celeste
Il quadro cambia radicalmente con la formualzione da parte di
Newton della legge fondamentale della dinamica:
un corpo soggetto ad una forza (di qualsiasi natura) acquista
una accelerazione (non una velocita’, come diceva Aristotele)
nella stessa direzione e verso della forza, e proporzionale alla
sua intensita’ (il fattore di proporzionalita’ e’ la massa inerziale
del corpo)
….e della legge di gravitazione universale:
due corpi dotati di massa, puntiformi (o a simemtria sferica) si
attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle loro
masse, inversamente proporzionale al quadrato della distanza
relativa dei centri di massa e diretta lungo la congiungente
Newton (1642-1727) e la meccanica celeste
Newton (1642-1727) e la meccanica celeste
La costante di
proporzionalita’ G che
entra nella legge di
gravitazione di
Newton assume il
carattere di una
costante universale
perche’ la stessa
legge si applica sia
alla caduta dei gravi
sulla superficie della
Terra che al moto dei
corpi celesti e delle
Newton (1642-1727) e la meccanica celeste
La legge della dinamica e la legge della gravitazione
universale permettono di scrivere le equazioni del moto
dei corpi celesti, la cui soluzione ne descrive il moto
permettendo quindi di predire le loro posizioni future
Pero’…soltanto il “problema dei 2 corpi” (Sole +1 solo
pianeta) e’“integrabile” (=risolvibile analiticamente).
Tuttavia, per il Sistema Solare e’ possibile trovare
soluzioni approssimate del problema degli N corpi
(N>2) o anche del moto di un corpo nel campo
gravitazionale di un primario non perfettamente sferico.
Fu questo il contributo dei grandi matematici
(meccanici celesti) dell’700 e dell’800
Nettuno e la Meccanica Celeste
A differenza della scoperta (osservativa) di Urano, quella
di Nettuno (1845) segna il trionfo della Meccanica
Celeste:
L’esistenza di un ottavo pianeta e la sua posizione nel
cielo furono predette sia da Adams che da Leverrier per
spiegare il fatto che le osservazioni di Urano erano, con
il passare del tempo, sempre piu’ in disaccordo con le
predizioni teoriche…
Le predizioni (indipendenti) di Adams e Leverrier
concordavano, e Nettuno fu trovato da J. Galle nella
zona prevista grazie al fatto che l’Osservatorio di Galle
(Berlino) aveva appena completato un nuovo e piu’
completo catalogo stellare
Le correzioni relativistiche alla teoria
della gravitazione di Newton
Circa mezzo secolo dopo la scoperta di Nettuno, nel
1890, la teoria completata da Newcomb per I moti
planetari era in ottimo accordo con le osservazioni
salvo che per l’orbita di Mercurio dove la discrepanza
derivava da una discrepanza di circa 42.9“/secolo
nella posizione del suo perielio
….una piccolissima discrepanza rispetto al totale
dell’avanzamento del perielio di Mercurio previsto
dalla Meccanica Celeste classica
Le correzioni relativistiche alla teoria della
gravitazione di Newton
42.9”/secolo: una piccolissima discrepanza rispetto al
totale dell’avanzamento del perielio di Mercurio
previsto dalla Meccanica Celeste classica
….che corrisponde proprio al contributo relativistico
all’avanzamento del perielio nel caso di Mercurio (piu’
il pianeta e’ lontano dal Sole, piu’ piccolo e’ il
contributo relativistico, piu’ difficile e’ dimostrare che
c’e’)
Questa prova decisiva della Relativita’ Generale fu
possibile solo grazie al fatto che il contributo classico
(ben maggiore…) era stato predetto con grande
accuratezza!!!
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