Numeri formosi
A cura della prof.ssa Oriana Pagliarone
Cosa sono ?
• Sono numeri che hanno una forma
geometrica ossia sono sia numeri
triangolari che quadrati:
•
T(n) = K2
Quindi i numeri formosi non sono
chiattoncelli come si poteva pensare!!
Un esempio
36 è il primo numero formoso
( oltre 1 che è banale) perché :
T(8) = (8 x 9) /2 = 4 x 9 = 36 =62
Ricorda la formula per il calcolo dei numeri triangolari
T(n) = n(n+1)/2
Quindi 36 è sia il quadrato di 6 che il
numero triangolare T(8) ossia la
somma dei primi 8 numeri interi
1+2+3+4+5+6+7+8= 36
o applicando la formula
T(8) = 8x9/2 = 36
E gli altri numeri
formosi?
Per calcolare gli altri numeri formosi occorre fare un
ragionamento:
Se nx(n+1)/2 deve essere un quadrato perfetto,
essendo n e n+1 due numeri interi successivi, uno è
pari e l’altro è dispari, e siccome il prodotto di due
fattori deve essere il prodotto di due quadrati
occorre che il numero dispari sia il quadrato di un
numero(a sua volta ovviamente dispari) e anche il
suo precedente o successivo dovrà essere un
quadrato perfetto.
• Dopo 9 il primo numero dispari
quadrato perfetto è 25 ma :
24 x 25 /2 = 12x25 ma 12 non è un
quadrato perfetto ma anche
25 X26/2 = 25 x 13 e anche 13 non
è un quadrato perfetto
Proviamo con 49
(che è il successivo numero dispari quadrato
perfetto)
48x49/2 = 24 x 49 ma 24 non è un quadrato
perfetto
49 x 50/2 = 49 x 25 e 25 è un quadrato
perfetto quindi
49X25=(72x52)=352= 1225
1225 è un numero formoso,
quadrato di 35 e triangolare T(49) ossia
somma dei primi 49 numeri interi
Il prossimo numero dispari quadrato
perfetto è 81 ma
80x81/2 =40x81 e 40 non è un quadrato
perfetto
81x82/2 = 81x41 e 41 non è un quadrato
perfetto
Proviamo con 121
120x121/2= 60x121 ma 60 non è un quadrato
perfetto
121x122/2 = 121x61 ma 61 non è un quadrato
perfetto
Proviamo con 169
168x169/2 = 84 x169 ma 84 non è un
quadrato perfetto
169x170/2=169x85 ma 85 non è un quadrato
perfetto
Proviamo con 225
224x225/2=112x225 112 non è un quadrato
perfetto
225X226/2 = 225x113 ma 113 non è un
quadrato perfetto
Proviamo con 289
288x289/2 = 144 x 289 = 122 x 172 =
= (12x17)2 = 2042=41616
Quindi 41616 è un numero formoso
perché quadrato di 204 e
triangolare T(288) ossia somma dei
primi 288 numeri interi
Curiosità
I primi 5 numeri formosi sono :
1
36
1225
41616
1413721
1413721
T(1681) = 1681X1682/2 = 1681x841=
=412x292=(41x29)2=11892=
= 1413721
Quindi 1413721 è un numero formoso
perchè quadrato di 1189 e
triangolare T(1681)
Numeri formosi
