AN_XIV - UniNa STiDuE

Teorema fondamentale del calcolo.
Sia : I  R integrabile su I.
Se  è continua in x0I allora la funzione integrale F(x) :=

x
(t)dt è derivabile in x0 e
a
F|(x0) = (x0).
Dim.
Poniamo x = x0 + h (con xI), con h  0.
Tenendo presente che vale
f (x 0 ) x 0 +h
f (x 0 )
1 x0 +h
(x0) =
h)
f (x 0 )dt (=
1dt =
x0
h
h
h x0
calcoliamo
x0
F(x 0 + h) - F(x 0 )
1  x 0 +h
 1
- f (x 0 ) = 
f (t)dt f (t)dt  h
a
h
h a



=

1
| h|

x 0 +h
1
| h|

x 0 +h
f (t)dt -
x0
x0

x 0 +h
x0
f (x 0 )dt =

1
| h|

x 0 +h
x0

x 0 +h
x0
f (x 0 )dt =
( f (t) - f (x 0 ))dt 
| f (t) - f (x 0 )|dt
Poiché  è continua in x0 si ha che
( > 0)( > 0)(tI) |t - x0| <   |(t) - (x0)| < 
Prendiamo 0 < |h| < , allora |t - x0|  |h| <  e quindi
F(x 0 + h) - F(x 0 )
1 x 0 +h
- f (x 0 ) 
dt = 
h
| h| x 0

Pertanto si ha
( > 0)( > 0)(h) 0 < |h| <  
F(x 0 + h) - F(x 0 )
- f (x 0 ) < 
h
ossia F è derivabile in x0 e F|(x0) = (x0).
Corollario.
Se : I  R è continua, con I intervallo, allora  è primitivabile su I e una sua primitiva è
la funzione integrale F(x) =

x
(t)dt.
a
Dim.
Una funzione continua è integrabile; inoltre la  è continua in ogni punto di I, quindi la F è
derivabile su I e la sua derivata è la .
1
Osservazioni.
Se I(R) è un intervallo compatto, poniamo
P (I) := {: I  R primitivabili su I}
(spazio vettoriale su R)
Si ha:
C 0(I)P (I) e
C 0(I)R (I)
1. Esistono funzioni primitivabili che non sono continue.
Esempio.
La funzione
2xsin
(x) =
1
1
- cos 0 < |x|  1
x
x

0
x=0
ha come primitiva
1
x2sin
0 < |x|  1
x
F(x) = 
0
x=0
Tuttavia  non è continua in 0, poiché  lim (x).
x0
2. Esistono funzioni primitivabili che non sono integrabili.
Esempio.
La funzione
2xsin
1
x
2
-2
1
1
cos 2
x
x
0 < |x|  1
(x) =

0
x=0
ha come primitiva
1
x2sin 2
0 < |x|  1
x
F(x) = 
0
x=0
Tuttavia  non è integrabile su [-1,1], in quanto illimitata.
3. Esistono funzioni integrabili che non sono primitivabili.
2
Teorema (di Darboux).
Se : I  R è primitivabile e I è un intervallo, allora (I) è un intervallo o un singoletto.
(teorema di connessione per le funzioni primitivabili)
Dim.
 Se a,bI, con a < b, tali che (a) < 0 e (b) > 0, allora esiste x0]a,b[ tale che (x0)
= 0.
(teorema di esistenza degli zeri per le funzioni primitivabili)
Sia F: I  R una primitiva di , cioè F|(x) = (x) su I.
Poiché F è continua su [a,b] (in quanto derivabile) e F|(a) = (a) < 0,
F|(b) = (b) > 0 (cioè F è decrescente a destra in a e crescente a sinistra in b), F ha
un punto di minimo x0]a,b[.
Dunque F|(x0) = 0 = (x0).
 Se (a) <  < (b) allora esiste x0]a,b[ tale che (x0) = .
Basta prendere (x) := (x) - , per la quale valgono le ipotesi del punto precedente (in
particolare una primitiva di  è (x) = F(x) - x).
Dunque (I) è un singoletto o un intervallo.
Osservazione.
Da questo risultato si deduce anche che le funzioni derivate non presentano discontinuità
che siano salti.
Esempio.
La funzione sign(x) su [-1,1] è integrabile ma non è primitivabile (per il teorema di
Darboux: l’immagine di sign(x) è {-1,0,1}).
Teorema di Torricelli.
Sia : [a,b]  R integrabile e primitivabile su [a,b]. Se G: [a,b]  R è una primitiva di 
su [a,b] allora

b
a
(x)dx = G(b) - G(a) (=: G(x) a )
b
Osservazione.
Se  è continua, allora  è integrabile e primitivabile e quindi vale la conclusione del
teorema.
Dim.
Sia ([a,b]). Calcoliamo
G(b) - G(a) = G(xn) - G(x0) =
3
= (G(xn) - G(xn-1)) + (G(xn-1) - G(xn-2)) +...+ (G(x1) - G(x0)) =
= (n)(xn - xn-1) + (n-1(xn-1 - xn-2) +...+ (1)(x1 - x0)
per il teorema di Lagrange applicato ad ogni intervallo [xk-1,xk], con xk-1 < k < xk per
k = 1,...,n.
Inoltre si ha che lk  (k)  Lk per k = 1,...,n.
Quindi risulta
n
s() =

n
lkm(Ik) 
k=1
n

(k)m(Ik) 
k=1

Lkm(Ik) = S()
k=1
||
G(b) - G(a)
Poiché  è integrabile, esiste uno ed un solo numero reale compreso tra s() e S() per
ogni (I), ed esso è

b
(x)dx. Poiché G(b) - G(a) gode di questa proprietà si ha
a

b
(x)dx = G(b) - G(a)
a
Regole di integrazione
1. Integrazione per parti.
Se ,gC 1([a,b]) (ipotesi un po' ridondante), allora

b
|(x)g(x)dx = ((b)g(b) - (a)g(a)) -
a

b
(x)g|(x)dx
a
Dim.
Si ha:
d
((x)g(x)) = |(x)g(x) + (x)g|(x)
dx
torr
b d
(b)g(b) - (a)g(a) 
((x)g(x))dx =
a dx


b
a
|(x)g(x)dx +

b
(x)g|(x)dx
a
2. Integrazione per sostituzione.
Sia : [a,b]  R continua e sia : J  [a,b] di classe C 1, con J un intervallo. Se esistono
,J tali che () = a e () = b, allora

b
(x)dx =
a
Dim.
4



((t))|(t)dt
Sia F una primitiva di  su [a,b] (esiste perché  è continua).
Si ha:
torr


d
((t))|(t)dt =
(F((t)))dt  F(()) - F(()) =


dx


torr
= F(b) - F(a) 

b
(x)dx
a
3. Integrazione di funzioni pari, dispari, periodiche.
Sia : R  R continua e sia aR.
 Se  è pari, si ha:

a

(x)dx = 2
-a
a
(x)dx
0
 Se  è dispari, si ha:

a
(x)dx = 0
-a
 Se  è T-periodica con T > 0, si ha:

a+T
(x)dx =
a

T
(x)dx
0
(dim. per esercizio)
Esercizi.

6

exsin x dx
0

2
3
dx
2
1
1
dx
1
4 - x2

1
dx
0 1+ cos 2 x
x-
1


Derivare
1
x

log x
x
2
cos t dt,
1
x
1

x

ex+tdt
5
Integrale indefinito.
Sia I(R) un intervallo (non necessariamente compatto).
Consideriamo l’applicazione lineare di derivazione:
D: C 1(I)  C 0(I) con DF = F|
Si ha che:
 D è suriettiva, infatti per il teorema fondamentale del calcolo se C 0(I) esiste (per
esempio) F(x) =

x
(t)dt tale che F| = 
a
 D non è iniettiva
 kerD = {FC 1(I): DF = 0} = R (funzioni costanti) per il teorema di Lagrange
Consideriamo in C 1(I) la relazione d’equivalenza
def
F  G  F| = G|  F - GkerD
Si sa dall’algebra lineare che lo spazio quoziente
C 1 (I)
C 1 (I)
~ =:
kerD
è uno spazio vettoriale. Si ha:
[F] = {F + c: cR = kerD} (=: F + kerD)
Inoltre esiste una ed una sola applicazione lineare
1
:C (I) kerD C 0(I) tale che ([F]) = DF
Se definiamo l’applicazione lineare
1
: C 1(I) C (I) kerD con (F) = [F]
allora risulta ° = D.
Graficamente si ha:
F
C 1(I)
D

C 0(I)
F'

C 1 (I)
kerD
[F]
Si vede subito che
1
:C (I) kerD  C 0(I)
6
è un isomorfismo lineare.
Infatti:
  suriettiva: per ogni C 0(I), esiste FC 1(I) tale che F| =  e quindi ([F]) = F| = 
  iniettiva: se ([F]) = 0 allora F| = 0, cioè F è costante e quindi [F] = [0], cioè
ker = {[0]}
L’applicazione inversa
1
1
 : C 0(I) C (I)
kerD
si dice “operazione di integrazione indefinita” e si scrive
1
 () =:
 f (x)dx
Si ha che
 f (x)dx = {FC
(I): F| = } = [F] = [F + c] con cR
1
Abitualmente si usa la notazione abusiva:
 f (x)dx = F(x) + c con cR.
Regole di integrazione indefinita
1. Linearità.

((x) + g(x))dx = 

(x)dx + 

g(x)dx
con ,gC 0(I) e ,R.
(ovvio perché l’integrazione è l’inversa di un’applicazione lineare, cioè è un’applicazione
lineare)
2. Integrazione per parti.

|(x)g(x)dx = [g] -

(x)g|(x)dx
con ,gC 1(I).
(abitualmente si omettono le parentesi quadre)
Infatti si ha:
D(g) = Dg + Dg
1
Applicando  , si ottiene
[g] =

|(x)g(x)dx +

(x)g|(x)dx
7
3. Integrazione per sostituzione.
(i)
((t))|(t)dt =  f (x)dx
x= (t)


con C (I) e C 1(J).
(ii)
(x)dx =  f ((t)) | ( t)dt -1
t=  (x)
0


con C (I), C 1(J) e  biiettiva.
0
Infatti si ha:
(i) Se [F] =

(x)dx allora [F((t))] =

((t))|(t)dt.
1

Si ha infatti:
d
F((t)) = ((t))|(t)
dt
(ii) Se [H] =

((t))|(t)dt, allora [H(  (x))] =
Infatti si ha:
1
1
1
d
H(  (x)) = ((  (x)))|(  (x))
dx
Esercizi.
1
dx,
sin x







1
 (  ( x))
tg x dx
(x3 + x + 1)exdx, per parti (tre volte)

(x2 + 1)sin x dx, per parti
P(log x)dx, PR[x], per sostituzione
x
1- x 4
dx
Osservazione.
Sono pratiche le seguenti sostituzioni:


8
|
arcsin x dx, per sostituzione
sin x exdx,
1+ x 2 dx 
x = (t) = sinh t

x = (t) = cosh t
x 2 -1 dx
1
(x)dx.
= (x)

1- x 2 dx

x = (t) = sin t oppure x = (t) = cos t
N.B.: cosh t non è biiettiva e bisogna fare attenzione a dove si inverte.
Esercizio: eseguire tali integrali per parti e per sostituzione (bisognerà poi lavorare di
nuovo per parti o, nel caso di sinh t e cosh t, usare l’espressione esplicita).
Funzioni elementari con primitiva non elementare.
Le seguenti funzioni elementari (cioè funzioni ottenute algebricamente e mediante
composizione da esponenziali, circolari, razionali e loro inverse) sono dotate di primitiva
(in quanto continue), che però non è elementare:
1
2
2
e x , e -x , e x
1
e x sin x cos x
,
,
,
,sin x2, cos x2, x 5 1  3 x ,...
log x x
x
x
Complementi sulla teoria dell’integrazione secondo Riemann
Un’ulteriore condizione di integrabilità.
Insiemi trascurabili (o di misura nulla secondo Peano-Jordàn.
Sia T(R) un insieme limitato.
Si dice ch T è trascurabile se per ogni  > 0 esistono N intervalli I1,...,IN tali che
N
N
T

k=1
Ik e

m(Ik) < .
k=1
Esempi.
 Se T è finito, allora T è trascurabile.
Sia T = {x1,...,xN}; dato  > 0, prendiamo Ik = [xk N
Si ha TI1...IN e

k=1
m(Ik) = N


, xk +
].
3N
3N
2 
<
3 N
 Se (xn)n è una successione convergente a xR allora T = {xn: nN} è trascurabile.
(verificare per esercizio: fissato , prendo un intervallo I1 contenente x di ampiezza

minore di ; all’esterno di I1 ci sono solo un numero finito di xn, ricopribili con un
2

numero finito di intervalli di ampiezza totale minore di ).
2
9
Teorema.
Se : [a,b]  R è limitata e se l’insieme T dei punti di discontinuità di  è trascurabile,
allora  è integrabile.
(senza dim.)
Esempio.
sin
(x) =
1
x
x]0,1]

0
x=0
è integrabile su [0,1].
Teorema.
Se ,g: [a,b]  R sono tali che  è integrabile e g è limitata e se l’insieme
T:= {x[a,b]: g(x)  (x)} è trascurabile, allora g è integrabile e

b
g(x)dx =
a
(senza dim.)
10

b
a
(x)dx
Integrazione delle funzioni razionali.
A. Per R
log( - x) + c1 per x < 
1
dx =

x-
log(x - ) + c2 per x > 
che con una convenzione sul “+c” scriveremo
1
dx = log |x - | + c
x-


B. Per a,c,dR e bR\{0}
c
2(x - a) + (ac + d)
cx + d
2
dx
=
dx =
(x - a) 2 + b 2
(x - a) 2 + b 2
1
2(x - a)
c
=
dx + (ac + d)
dx =
2
2
2
2 (x - a) + b

2  (x - a)
b 
 1
 b 2

ac + d
c
1
= log((x - a)2 + b2) +
dx =
2
2
b2
 x -a

 +1
 b 





sostituzione t :=
x-a
 x = a + bt  dx = bdt
b

ac + d
1
ac + d
c
c
log((x - a)2 + b2) +
bdt = log((x - a)2 + b2) +
barctg t + k =
2
2
2
2
b
b2
t +1
c
ac + d
x-a
= log((x - a)2 + b2) +
arctg
+ k, kR
2
b
b
=
Teorema di decomposizione di Hermite.
Siano P,QR[x] (polinomi reali), con Q(x)  0, P e Q primi fra loro, e
:= deg Q > deg P.
Le radici reali di Q(x) siano 1,...,r (r  0) con molteplicità rispettive 1,...,r, e quelle
complesse siano a1 - ib1, a1 + ib1,...,as - ibs, as + ibs (che sono 2s  0) con molteplicità
rispettive 1,1,...,s,s.
Allora ovviamente esiste cR tale che
Q(x) = c(x - 1)1...(x - r)r[(x - a1)2 + b12]1...[(x - as)2 + bs2]s
n
Sia T(x) := (x - 1)1-1...(x - r)r-1[(x - a1)2 + b12]1-1...[(x - as)2 + bs2]s-1
11
Ovviamente
m := degT = n - r - 2s
()
In queste ipotesi esistono e sono univocamente determinate le costanti reali
A1,...,Ar; B1,...,Bs; C1,...,Cs; D0,...,Dm-1
tali che
s
r
B jx + C j
Ai
P(x)
d  D(x) 
=
+
+
()


2
2
Q(x) i=1 x -  i j=1 (x - a j ) + b j dx  T(x) 


e D(x) = Dm-1xm-1 +...+ D1x + D0.
(senza dim.)
~
P(x) ~
~
, P  0, deqQ > 0, P e Q primi fra loro.
Q(x)
~
~
~
1. Se deg P < degQ, porre P := P e andare al punto 2, altrimenti dividere P per Q
ottenendo
~
P = QV + P, P(x)  0  degP < degQ
~
P
P QV + P
=
=V+
Q
Q
Q
Come integrare
V è un polinomio e si integra facilmente.
Se P(x)  0 è finito.
P(x)
, degQ > degP  0, P e Q primi tra loro.
Q(x)
Trovare le radici di Q se si riesce!
2. Resta da integrare
3. Scrivere T.
4. Scrivere estesamente la () calcolando la derivata.
5. Moltiplicare per Q(x) ottenendo una P(x) = U(x) e i coefficienti di U sono
combinazioni lineari delle Ai,Bj,Cj e Dk.
6. Applicare alla P(x) = U(x) il principio di identità dei polinomi ottenendo un sistema
lineare di n equazioni nelle n incognite Ai,Bj,Cj,Dk.
7. Risolvere il sistema.
8. Per la (), per linearità e per
12
 dx f (x)dx = (x) + c
d
è

P(x)
dx =
Q(x)
r

i=1
Ai

1
dx +
x -i
s
B jx + C j
  (x - a )
j=1
j
2
+ b 2j
+
D(x)
T(x)
(le tre “parti” corrispondono rispettivamente alle radici reali, a quelle complesse e a quelle
multiple)
che si risolve come in (A) e (B).
Integrali che si riconducono a
I.

t := n
II.
n
P(x)
con una sostituzione.
Q(x)
x + 
dx con  -   0
x + 
x + 
(poi si eleva alla n-esima ricavando x,d,...)
x + 

x 2 + px + qdx con p2 - 4q < 0
t := x 2 + px + q - x
III.
 F(sin x, cos x)dx con F(u,v) funzione razionale.
t := tg
1- t 2
2t
x
(è sin x =
,
cos
x
=
)
2
1+ t 2
1+ t 2
Osservazione 1.
Se in x2 + px + q è  = p2 - 4q < 0, le radici complesse sono a  ib = Per esempio per x2 + x + 1, a  ib =
p

i
.
2
2
1
1  3 1  i 3
3
=
=- i
.
2
2
2
2
Osservazione 2.
~
Vediamo un esempio in cui P e Q hanno un fattore comune (e questo prima era escluso).
3x(x - 4)
Certo questo va semplificato ma, per esempio, (x) :=
non è la funzione x | 3x
x-4
3
su R (che ha primitiva x2 + c) ma la funzione x | 3x su R\{4}, e allora il suo integrale
2
è
13

F(x) =


3 2
x + c1
2
se x < 4
3 2
x + c2
2
se x > 4
Osservazione 3.
Direttamente


dx =

x + 

14


 x +  dx =  log | + | + c, con cR