Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità
Laboratorio di Bioinformatica
Corso A
aa 2005-2006
Statistica
Calcolo delle
probabilità
Dai risultati di un
esperimento si determinano
alcune caratteristiche della
popolazione
Dalle caratteristiche note
della popolazione si
prevede il risultato di un
altro esperimento
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La probabilità nel linguaggio corrente
• è probabile che fra poco piova;
• con questo titolo di studio vi sono buone
probabilità di trovare lavoro;
• è probabile che l’incendio sia d’origine
dolosa;
• ho poche probabilità di superare l’esame.
Utilizziamo frequentemente il termine
probabilità quando ci riferiamo a situazioni
incerte, a fenomeni che possono o non
verificarsi.
Evento certo
Evento impossibile
Estrazione di una
pallina rossa da
un’urna contenente
10 palline rosse
Estrazione di una
pallina gialla da
un’urna contenente
10 palline rosse
Evento aleatorio o causale
= evento incerto e possibile
Estrazione di una pallina gialla da
un’urna contenente 6 palline
rosse e 4 gialle
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Esempi dal gioco d’azzardo
• Ottenere testa lanciando in alto una
moneta
molto probabile
• Totalizzare 3 con il lancio di un dado
meno probabile
• Puntare sul 18 alla roulette e vincere
poco probabile
Il calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità cerca di
formulare delle valutazioni
numeriche della possibilità di
verificarsi di eventi aleatori o
casuali.
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Definizione della probabilità di
un evento
Attenzione: Non esiste un solo
modo per definire la probabilità
• Definizione classica
• Definizione frequentista
• Definizione soggettiva
La probabilità classica
E’ la definizione più ‘spontanea’ di
probabilità
Se lanciamo una moneta regolare quale probabilità
probabilità
assegniamo all’
all’uscita di “testa”
testa”?
Il 50% cioè
cioè 1/2
Se estraiamo una carta da un regolare mazzo di 40
carte, quale probabilità
probabilità assegniamo al fatto di
pescare una carta di fiori?
10 su 40 cioè
cioè 1/4
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La probabilità classica
La probabilità di un evento è il rapporto tra il
numero dei casi favorevoli e il numero dei
casi possibili (purché questi ultimi siano
ugualmente possibili) .
p=
# eventi favorevoli
# eventi possibili
Lancio della moneta
evento= A = uscita di testa
esiti possibili = {testa, croce}
# esiti possibili = 2
# esiti favorevoli = 1
p ( A) =
# esiti possibili
1
= = 50%
# esiti favorevoli 2
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Estrazione di una carta
A = estrazione di una carta con seme fiori
esiti possibili = le quaranta carte della
briscola
# esiti possibili = 40
# esiti favorevoli = # carte con seme fiori = 10
p ( A) =
# esiti favorevoli 10 1
=
= = 25%
# esiti possibili
40 4
Lancio di un dado
A = ottenere un numero pari
# esiti possibili = 6
esiti favorevoli = {2, 4, 6}
# esiti favorevoli = 3
p ( A) =
# esiti favorevoli 3 1
= = = 50%
# esiti possibili
6 2
6
Proprietà
p=
# eventi favorevoli
# eventi possibili
• p è un numero razionale, compreso fra
0e1
• se l’evento è impossibile → non
esistono casi favorevoli → la sua
probabilità è nulla
• se l’evento è certo → tutti i casi sono
favorevoli → la sua probabilità è 1
Osservazioni
• Caratteristica essenziale per poter
applicare la definizione classica: tutti i casi
sono egualmente possibili
(Ad esempio, nel lancio della moneta le
due facce devono avere eguale possibilità
di presentarsi)
• La definizione si può applicare solo
quando l’insieme dei casi è un insieme
finito
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Quando si applica
• In tutti i casi nei quali per ragioni di simmetria si
possano pensare egualmente possibili tutti i
casi.
(Esempi: lancio di monete o dadi non truccati,
estrazione del lotto, tombola etc.)
Esempi ai quali non si può applicare
• Calcolare la probabilità per una persona di 40
anni di raggiungere l’età di 60 anni,
• la probabilità di subire un furto,
• la probabilità che un nuovo medicinale dia esiti
positivi nella cura di una malattia.
La probabilità nella concezione
frequentista (o statistica)
• Concezione frequentista: per conoscere la
probabilità di un evento si deve ricorrere
all’esperimento
• Si applicare quando:
– si possono eseguire quante prove si vogliono
sull’evento,
– sono disponibili tavole con i risultati di
rilevazioni statistiche relative a un certo
fenomeno (ad esempio, le tavole di mortalità
e di sopravvivenza).
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La definizione frequentista
Si definisce frequenza relativa di un evento
in n prove effettuate nelle stesse
condizioni, il rapporto fra il numero k delle
prove nelle quali l’evento si è verificato e
il numero n delle prove effettuate:
f =
k
n
Esempio: si lancia n = 1000 volte una moneta in
aria e si conta quante volte k esce testa.
La definizione frequentista
La probabilità di un evento è il limite
della frequenza relativa dell'evento,
quando il numero delle prove tende
all'infinito.
k
n→∞ n
p = lim
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Applicazioni della concezione
frequentista
• Il campo di applicazione della concezione frequentista è
molto vasto, in quanto la definizione può essere
applicata a fenomeni dei quali si posseggano dati
statistici riguardanti fenomeni passati che si sono
verificati in condizioni analoghe. Ad esempio, si potranno
calcolare, per una data popolazione, la probabilità di
morte o di sopravvivenza degli individui o la probabilità di
nascita di maschi o di femmine. Si hanno pure importanti
applicazioni nella medicina, nella psicologia,
nell’economia, nella meccanica quantistica e, in
generale, in tutte le scienze per le quali si possono
utilizzare metodi statistici
Legge empirica del caso
• In una serie di prove, ripetute un gran
numero di volte, eseguite tutte nelle stesse
condizioni, la frequenza “tende” ad
assumere valori prossimi alla probabilità
dell’evento e, generalmente,
l’approssimazione è tanto maggiore
quanto più numerose sono le prove
eseguite.
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La concezione soggettiva della
probabilità
• Qual è la probabilità per uno studente di trovare
impiego subito dopo il conseguimento del
diploma?
• Qual è la probabilità che un certo pilota vinca il
prossimo Gran Premio di Formula 1?
• Qual è la probabilità che un nuovo modello di
automobile ha d'incontrare il favore del
pubblico?
Per eventi del tipo indicato non è
possibile valutare la probabilità né
secondo la concezione classica, perché
non si possono determinare i casi
possibili e i casi favorevoli, né secondo
la concezione frequentista, perché gli
eventi non sono ripetibili.
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La definizione soggettiva
In questi casi si stima la probabilità in
base allo stato d'informazione.
La probabilità P(E) di un evento E è la
misura del grado di fiducia che un
individuo attribuisce, in base alle sue
informazioni e alle sue opinioni, al
verificarsi dell’evento E.
La definizione soggettiva
“più operativa”
La probabilità di un evento è il prezzo che
un individuo razionale ritiene equo pagare
per ricevere 1 se l'evento si verifica (e 0
altrimenti).
L’attribuzione della probabilità deve essere
coerente, nel senso che si deve anche essere
disposti ad accettare la scommessa inversa,
ossia a ricevere p e pagare 1 al verificarsi di E
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Teoria assiomatica della probabilità
• S = spazio campionario = insieme di tutti i
possibili esiti di un esperimento
• evento elementare = un qualsiasi
elemento di S
• evento = un qualunque sottoinsieme E
dello spazio campionario S
• si dice che l’evento E si è realizzato se il
risultato dell’esperimento è un elemento di
E
Lancio di un dado
• S = spazio campionario = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• eventi elementari = {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
• evento = {esce un numero pari} = {2, 4, 6}
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Lancio di una moneta
• S = spazio campionario = {testa,croce}
• eventi elementari = {testa}, {croce}
• eventi = Ø, {testa}, {croce}, S
Operazioni con gli eventi
• La somma logica (o unione) di due eventi A e B
è l’evento che si verifica quando si verifica
almeno uno degli eventi A o B, cioè
A∪ B
• Il prodotto logico (o intersezione) di due eventi A
e B è l’evento che si verifica se si verificano
entrambi gli eventi A e B, cioè
A∩ B
• L’ evento contrario dell’evento A è l’evento che si
verifica se e solo se non si verifica A, cioè A è il
sottoinsieme complementare di A rispetto a S.
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Operazioni con gli eventi
• Due eventi A e B si dicono incompatibili (o
mutuamente esclusivi) se non hanno
eventi elementari in comune, cioè se il
realizzarsi di uno dei due esclude la
realizzazione dell’altro.
• In altre parole se
A∩ B = ∅
Definizione formale (assiomatica)
della probabilità
• Sia S uno spazio campionario
• Sia P una funzione a valori reali definita
sui sottoinsiemi di S (eventi) a valori reali
tale che:
– 0 ≤ P(E) ≤ 1
– P(S)=1
– Per ogni coppia di eventi E1 ed E2
incompatibili si ha
P(E1 U E2) = P(E1)+P(E2)
P(E) si dice probabilità dell’evento E
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Commenti
Se interpretiamo la probabilità come grado di fiducia:
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
Misuriamo la fiducia con valori che vanno da 0
(nessuna fiducia) a 1 (completa fiducia). (1=100%)
• P(S)=1
L’evento S è certo (contiene tutti i possibili risultati
dell’esperimento)
• E1∩E2 =Ø implica P(E1 U E2)= P(E1)+P(E2)
Se due eventi sono incompatibili la probabilità che si
verifichi uno dei due è la somma delle probabilità
Se S contiene infiniti elementi
La terza condizione diventa
• Per successioni di eventi E1, E2, … a due a due
incompatibili, cioè t. c. Ei ∩ Ej = Ø se i ≠ j si ha
∞  ∞
P U Ei  = ∑ P (Ei )
 i =1  i =1
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La definizione classica
• Se S è uno spazio campionario formato da
n elementi che riteniamo equiprobabili, per
ogni un evento elementare {e},
P({e}) = 1/n
• Dato un qualunque evento E, la sua
probabilità è la somma delle probabilità
degli eventi elementari che contiene
P(E) = # elementi di E / n
= # casi favorevoli / # casi possibili
Relazioni elementari
• Probabilità del complementare
E ed E sono eventi incompatibili
1 = P( S ) = P( E ∪ E ) = P( E ) + P( E )
S
()
P E = 1 − P (E )
E
E
• Monotonia
Se E2 ⊂ E1 , P ( E1 ) = P ( E2 ) + P ( E1 − E2 )
P( E1 ) ≥ P( E2 )
E1\E2
E1
E2
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Relazioni elementari
E1
E1 ∩ E2
E2
P(E1)= P(E1 - E2) + P(E1 ∩ E2)
P(E2) = P (E2 - E1) + P (E1 ∩ E2)
+
-
P(E1UE2)=P (E1 - E2)+P(E1∩E2)+P (E2-E1)
=
P(E1) + P (E2) - P(E1UE2) = P(E1∩E2)
Quindi
P(E1) + P (E2) - P(E1UE2) = P(E1∩E2)
ovvero
P(E1UE2) = P(E1) + P (E2) - P(E1∩E2)
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