Probabilità classica

Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Storia della Probabilità
Il calcolo delle probabilità nasce nel Seicento (1654) per risolvere alcuni problemi sui giochi d‛azzardo (dadi)
posti da un giocatore, il cavaliere de Méré, al matematico e filosofo B. Pascal, del quale rimane, sull‛argomento,
un confronto teorico con il matematico P. Fermat.
Blaise Pascal
Fermat
Laplace
Uno dei primi trattati di calcolo delle probabilità risale a J. Bernoulli con la "Legge dei grandi numeri", ma la
prima impostazione sistematica della concezione classica, è opera di P. S. Laplace che nel 1812 diede la prima
definizione di probabilità classica: "Di definisce probabilità matematica il rapporto tra casi favorevoli e casi
possibili" P(E) = f/n.
Nell‛Ottocento si delineano altre concezioni della probabilità. La prima concezione molto importante è la
frequentista basata sull‛esperimento e sull‛osservazione di prove ripetute del fenomeno che è oggetto di studio
ed è dovuta a Venn, Cournot e altri.
La frequenza, calcolata in un gran numero di prove, permette di prevedere i risultati di prove future eseguite
nelle stesse condizioni. Il campo di applicazione della concezione frequentista è molto vasto: ad esempio, si
potranno calcolare, per una data popolazione, la probabilità di morte o di sopravvivenza degli individui o la
probabilità di nascita di maschi o di femmine. Si hanno pure importanti applicazioni nella medicina, nella
psicologia, nell‛economia, nella meccanica quantistica e, in generale, in tutte le scienze per le quali si possono
utilizzare metodi statistici.
Sempre nell‛Ottocento, con sviluppo nel Novecento con il matematico Finetti, sorge una nuova concezione, la
soggettiva, che valuta la probabilità di un evento in base al grado di fiducia che un individuo attribuisce,
secondo le sue informazioni, al verificarsi di un evento. Questa concezione può essere applicata a qualunque
evento tanto che le decisioni, di maggiore o minore importanza, che prendiamo ogni giorno, sono fondate su
valutazioni soggettive di probabilità (a livello conscio o inconscio).
• Qual è la probabilità per uno studente di trovare impiego subito dopo il conseguimento del diploma?
La valutazione dipende da molti fattori, come, ad esempio, la sua preparazione professionale, le sue doti
intellettuali, la sua capacità di rapporti interpersonali. La valutazione della probabilità è puramente soggettiva e
persone diverse possono assegnare a uno stesso giovane probabilità diverse. Ad esempio, una persona pessimista
può valutare che la probabilità di trovare lavoro sia del 25%, un‛ottimista, invece, può assegnare la probabilità
del 70%. Entrambe le valutazioni, pur così diverse, devono essere accettate, purché siano coerenti.
• Domenica prossima si svolgerà un‛importante partita di calcio tra Juventus e Inter. Quale probabilità hanno le
squadre di vincere?
La probabilità che una squadra vinca una gara dipende da vari fattori, quali le condizioni di forma o la presenza
di atleti di maggiore capacità. Anche in questo caso in base alle informazioni e alle opinioni, le valutazioni della
probabilità di vittoria sono generalmente diverse secondo lo sportivo o il giornalista che lo formula.
• Qual è la probabilità che un nuovo modello di automobile ha d'incontrare il favore del pubblico?
Anche per quanto si riferisce al successo di un prodotto nuovo presso gli acquirenti, le opinioni dipendono dai
gusti di chi compie la valutazione e anche dalla sua stima per la Casa produttrice.
Infine, nel nostro secolo, si ha un'impostazione astratta, l‛impostazione assiomatica, dovuta a A. N.
Kolmogorov e altri, che sviluppano tutta la teoria della probabilità partendo da due concetti primitivi: evento e
probabilità, e assegnando alcuni assiomi. Questa concezione ha avuto molta importanza e ha permesso di
raggiungere notevoli risultati da un punto di vista generale, applicabili ai settori più svariati: dalla fisica
all‛economia, dalla statistica alla psicologia. Nonostante queste numerose concezioni, il campo di studio è aperto
a nuove visioni del concetto di probabilità.
Osserviamo che il concetto di evento è assunto come concetto primitivo per indicare <<qualcosa che può
accadere>>.
L‛evento è espresso da una proposizione che risulterà vera se l‛evento si sarà verificato, falsa se l‛evento non si
sarà verificato.
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 1
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Probabilità: Cos'è?
Obiettivi:
• Capire il concetto di probabilità
• Essere in grado di dare una stima degli eventi
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 2
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Obiettivi:
• Capire il concetto di probabilità
• Essere in grado di dare una stima degli eventi
Alcune parole usate nel linguaggio della probabilità:
possibile, probabile, impossibile,
equiprobabile, evento certo, frequenza
assoluta, frequenza relativa, eventi
compatibili, incompatibili, dipendenti,
indipendenti, complementari
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 3
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Obiettivi:
• Capire il concetto di probabilità
• Essere in grado di dare una stima degli eventi
s
po
im
l
sib
e
probabile
0
to
r
ce
1
Gli eventi probabili sono compresi tra 0 e 1
0<p(r)<1
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 4
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Esempi di eventi:
Nel lancio di un dado.....
Evento impossibile: "...esce il numero 8"
Calcolo: p(E) = 0/6 =0
Un evento si dice impossibile se la probabilità che si verifichi è 0
p(E) = 0
Evento probabile: "...esce il numero 4"
Calcolo p(E) = 1/6 = 16%
Un evento si dice probabile se la probabilità che si
verifichi è un numero compreso tra 0 e 1
Evento certo: "Lanciando un dado esce un numero da 1 a 6 compresi"
Calcolo: P(E)= 6/6 = 1
Un evento si dice certo se la probabilità che esso si verifichi è 1
p(E) = 1
Evento equiprobabile: "Lanciando un dado esce un numero 4"
Calcolo: P(E1)= 1/6 = 16%
"Lanciando un dado esce un numero 5"
Calcolo: P(E2)= 1/6 = 16%
P(E1)=P(E2)= 1/6 = 16%
Un evento si dice equiprobabile se la probabilità che esso si verifichi è
uguale
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 5
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
Riconosci eventi impossibili, certi e probabili:
Stasera
sarà buio
Oggi nevica!
Oggi mangio
qualcosa!
Un giorno
andrò sulla luna
Stesera
guarderò la TV
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello Un giorno sarò
famosa!
6
Probabilità classica ­ Nozioni e storia
7/01/2010
La probabilità matematica è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili:
p(E) = f/n
Applicazione ed esempi:
1) In quest'urna ci sono 5 biglie gialle e 3 rosse:
Calcola la probabilità di estrarre:
­ una biglia gialla 5/8 = 62,5%
­ una biglia rossa 3/8 = 37,5%
­ una biglia gialla "o" rossa 5/8+3/8 = 8/8 =1
2) Nel lancio di un dado:
calcola la probabilità che:
­ esca un numero pari P(E1) = 3/6 = 50%
­ esca un numero primo P(E2) = 3/6 = 50%
­ esca un numero dispari P(E3) = 3/6 = 50%
­ esca il numero 10 P(E4) = 0/6 = 0%
­ esca un numero compreso tra 1 e 5 compresi= 5/6=
83%
Rispondi:
Quale evento secondo te è più probabile?
Ci sono eventi equiprobabili?
Ci sono eventi impossibili
3) In un mazzo di carte da poker (52 carte):
Calcola la probabilità di estrarre:
­ un asso di cuori
­ un asso
­ un re
­ una figura
­ un re di quadri "o" un re di cuori
­ un asso di cuori "o" uno di picche
4) Nel lancio di una moneta:
Calcola la probabilità di estrarre:
­ testa
­ croce
­ testa "o"croce
Su 10 lanci successivi, quante volte esce testa e quante volte croce?
5) Considera il lancio di due monete. Costruisci un grafo ad albero con le possibilità di uscita:
T C
C T C T Le combinazioni possibili sono: CC ­ CT ­ TC ­ TT
Calcola la probabilità di avere: CC, TT, CT
U. D. Classe 3A ­ Prof.ssa D. Rita Fazzello 7