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1.1 Introduzione alla geometria
Mappa dell'Unità
Il nome “geometria” deriva dal greco, e significa “misura della terra”. Ciò non significa che la geometria abbia avuto
origine con gli antichi greci, in quanto molti altri popoli avevano avuto la necessità di misurare le distanze o le aree sulla
superficie terrestre. Secondo le antiche testimonianze di Erodoto (V secolo a.c.) e Proclo (V secolo d.c.) la geometria
nacque in Egitto, in quanto esisteva la necessità di restituire ai contadini, dopo le piene del Nilo che spesso
cancellavano i confini degli appezzamenti di terra, dei terreni di grandezza equivalente a quelli posseduti prima delle
inondazioni.
E’ difficile credere che altri popoli prima degli antichi egizi non abbiano mai utilizzato degli strumenti di geometria che
permettessero di rappresentare il mondo che ci circonda in una maniera schematica. Gli antichi babilonesi utilizzavano
nella loro algebra dei termini che presupponevano una conoscenza empirica della geometria. L’incognita era indicata
con il termine lato, di quadrato o di rettangolo. Quando i babilonesi si riferivano a due incognite esse venivano chiamate
lunghezza e larghezza, e la terza eventuale incognita prendeva il nome di altezza. L’area del cerchio veniva calcolata
assegnando a p un valore di 3.125, ed è certo che essi conoscessero e utilizzassero il teorema di Pitagora e la
similitudine dei triangoli per la risoluzione di problemi geometrici già nel 1700 a.c! Il teorema di Pitagora era altresì noto
in Cina ancora prima della nascita di Pitagora.
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Queste antiche geometrie sono nate comunque per scopi essenzialmente pratici, proprio per risolvere effettivi problemi
del mondo reale. Al contrario la geometria greca si fonderà sull’astrazione, creando così un potentissimo strumento
logico che è ancora oggi utilizzato praticamente (per la risoluzione di problemi) e didatticamente (per insegnare agli
studenti i meccanismi propri del ragionamento). Nel periodo pre-euclideo la geometria era ancora orientata alla
risoluzione di problemi, e non ci sono vere e proprie dimostrazioni, piuttosto emerge il metodo operativo che viene
utilizzato, talvolta anche con tentativi ed errori, fino a giungere alla soluzione richiesta.
Nel Menone di Platone è presente un importante brano (380 a.c. circa) che è una delle più antiche testimonianze della
matematica pre-euclidea. In questo brano Socrate chiede a un giovane servo di determinare un quadrato di area doppia
di quella di un quadrato dato. Tale dialogo è particolarmente importante perché ci informa su quali fossero i problemi
tipici della matematica greca e su come essi venissero affrontati e risolti dai matematici del tempo. Per esporre tale
problema (nonché quelli che seguiranno) si utilizzerà il linguaggio matematico moderno, in modo da rendere il
ragionamento più fruibile senza dovere porre l’accento sulle differenze stilistiche di esposizione.
Presentazione del problema
Socrate traccia un quadrato dicendo al servitore che esso ha un lato di due piedi (e quindi di area quattro piedi quadrati)
e gli chiede di determinare un quadrato che abbia area doppia, ossia otto piedi quadrati. Gli dice inoltre che se ciò fosse
troppo difficile gli basta che egli sia in grado di determinare il lato del quadrato avente area doppia.
Tentativi ed errori
Il servitore crede che per costruire un quadrato di area doppia si debba raddoppiarne la base, ma così facendo la base
diventa di quattro piedi, e l’area di sedici piedi quadrati, e Socrate gli fa notare l’errore, in quanto si cercava un quadrato
avente area otto piedi quadrati.
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Il servitore capisce quindi che questo quadrato ha un lato troppo grande, e allora propone un quadrato che abbia lato tre
piedi, ma anche in questo caso Socrate gli fa notare che l’area sarebbe troppo grande: nove piedi quadrati. Socrate, per
far notare l’errore al servitore, utilizza l’esempio pratico di disegnare tali quadrati, rispettivamente di quattro e tre piedi di
lato, in modo da rendere evidente l’errore contando i quadratini all’interno del quadrato stesso.
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Soluzione
Socrate prende allora quattro quadrati di quattro piedi di lato ciascuno e costruisce un quadrato avente otto piedi di lato.
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Traccia a questo punto dei segmenti che uniscano i punti medi di lati adiacenti.
Il quadrato avente area di otto piedi quadrati è dunque quello che nella figura precedente risulta colorato internamente.
Esso ha infatti l’area che è la metà del quadrato di lato 4, come è ovvio notando che per ognuno dei quattro quadrati di
lato due piedi che lo compongono metà stia dentro il quadrato grande e metà stia fuori.
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Il lato del quadrato di area doppia è dunque la diagonale del quadrato di lato due piedi.
Si noti che
- Si opera in un caso specifico: il alto del quadrato di partenza è due piedi. Non si opera, come succederà
successivamente, su un caso generale.
- Socrate nel dialogo richiama all’inizio alcune proprietà generali del quadrato, che vengono assunte quindi come
ipotesi. Il fatto che alcune proprietà siano ricordate prima di procedere alla dimostrazione mostra come esista una certa
generalizzazione (le proprietà valgono infatti per tutti i quadrati) e come sia necessario utilizzare le proprietà conosciute
per raggiungere una soluzione corretta.
- Il problema della ricerca del quadrato è ricondotto alla ricerca del suo lato. Ciò presuppone la conoscenza (implicita) di
una ulteriore proprietà dei quadrati, ossia la relazione tra area di un quadrato e il suo lato. Del resto questo è anche un
metodo di ridurre il problema a uno più semplice (anziché trovare il quadrato basta trovarne il lato).
- La soluzione utilizza le figure e le costruzioni geometriche. Il metodo operativo è essenziale nella geometria
pre-euclidea, così come l’approccio visivo alle figure, come mostreremo nel paragrafo successivo.
- Si procede per tentativi ed errori. Socrate mostra la soluzione al servitore dopo che sono state scartate le soluzioni
errate. Questo è in realtà il metodo per cui ancora oggi si procede nella ricerca matematica. Nelle spiegazioni dei
docenti vengono presentate le dimostrazioni come fossero perfette e immutabili, ma i matematici che fanno ricerca
sanno che la situazione reale non è così rosea. Spesso i problemi matematici vengono affrontati per tentativi, e solo
dopo che la soluzione è stata trovata si cerca di esporre la dimostrazione nella maniera più lineare possibile.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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