7. SINGOLARITA` E RESIDUI. 7.1 Punti Singolari Isolati.

7. SINGOLARITA’ E RESIDUI.
7.1 Punti Singolari Isolati.
Definizione 55: Si dice che a ∈ C é un punto singolare isolato per una funzione f (z), se essa non é
olomorfa in a, ma esiste δ > 0 tale che essa sia olomorfa in Bδ (a) \ {a}.
Un esempio ovvio é il punto 0 per f (z) = 1/z. Se a é un p. singolare isolato per f (z), e Bδ é come
nella Definizione 55, allora f puó essere sviluppata in serie di Laurent nella corona Bδ (a)\{a}. Questa
serie si chiama la serie di Laurent di f (z) nel punto singolare a.
7.1.1
Singolarita’ eliminabili.
Teorema 46: Sia a un punto singolare isolato per la funzione f (z). Le affermazioni seguenti sono
equivalenti:
(1) esiste il limite di f (z) per z → a;
(2) f é limitata in un intorno di a; ossia, esistono η > 0 e M > 0 in modo che |f (z)| < M , ∀z ∈
Bη (a) \ {a};
(3) la sviluppo di Laurent di f (z) nel punto a é privo della parte singolare .
Dim.: Dimostremo che (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).
(1) ⇒ (2): se si pone l = lim f (z) allora, per definizione di limite ( Def. 15), si puó trovare una palla
z→a
Bη (a) in modo che l’immagine per f di Bη (a) \ {a} sia contenuta in B1 (l), e quindi (2) é vera con
M = 1 + |l|.
(2) ⇒ (3): grazie a (6.26) per ogni n intero positivo si puó scrivere
Z
1
dz f (z) (z − a)n−1 ,
c−n =
2πi γη0
dove γη0 é un cammino (chiuso, semplice , regolare) su un cerchio di centro a e raggio η 0 arbitrario in
(0, η). La maggiorazione di Darboux allora fornisce:
|c−n | ≤
1
`(γη0 ) M (η 0 )n−1 = M (η 0 )n ,
2π
dunque c−n = 0 perché n é positivo, e η 0 é arbitrariam. piccolo.
3)⇒ (1): se la parte singolare dello sviluppo di Laurent é assente, allora, in un intorno di a, la f (z)
é data dalla somma di una serie di potenze convergente, di centro a, che é la parte regolare dello
sviluppo di Laurent. La somma di una serie convergente é una funzione olomorfa, dunque continua,
in ogni punto nel cerchio di convergenza, e pertanto ammette limite per z → a.
7. Singolarita’ e Residui.
60
Definizione 56: Si dice che il punto singolare a é una singolaritá eliminabile per la funzione f (z),
se una, e dunque tutte, delle (1),(2),(3) nel Teor. 46 é verificata.
La ragione di questa denominazione é la seguente:
Teorema 47: Sia a una singolaritá eliminabile per f (z), olomorfa in Bδ \ {a}. Definendo: f˜(z) = f (z)
per z ∈ Bδ (a) \ {a}, e f˜(a) = l = limz→a f (z), la funzione f˜(z) risulta olomorfa in Bδ (a) senza
eccezioni.
Dim.: la funzione f˜ é precisamente la somma della parte regolare della serie di Laurent. Esercizio 41: Provare che la funzione definita in D = {z |0 < |z| < 1} da
f (z) =
1
1
−
ln(1 + z) z
con la determinazione principale del logaritmo, ha una singolaritá eliminabile in z = 0. (Soluzione:
1
1
f (z) =
−1
(7.1)
z ψ(z)
dove ψ(z) = z −1 ln(1 + z). Ricordando la serie logaritmica,
∞
ψ(z) =
ln(1 + z) X (−1)n n
=
z ,
z
n+1
n=0
in D. Quindi ψ(z) ha una singolaritá eliminabile in z = 0, e definendo ψ(0) = 1 risulta olomorfa
anche nello 0. Dato che ψ(0) = 1, la (7.1) assieme alla definizione di derivata mostrano che il limite
di f (z) in 0 esiste, se esiste la derivata di 1/ψ(z) in z = 0. Essendo ψ(z) olomorfa nell’intorno di 0,
e ψ(0) = 1 6= 0, 1/ψ(z) é per l’appunto olomorfa in 0, e la sua derivata in 0 vale −ψ 0 (0)/ψ(0)2 = 1/2.
Questo ’e dunque il limite di f (z) in 0.)
7.1.2
Singolarita’ Polari.
Teorema 48: Sia a un punto singolare isolato di f (z). Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) lim f (z) = ∞ ,
z→a
(2) la parte singolare della serie di Laurent di f (z) nel punto a contiene un numero finito di termini
non nulli, e cioé é un polinomio nella variabile 1/(z − a)
(3) esiste un intero N > 0 tale che il limite l = lim (z − a)N f (z) esiste, diverso da 0 e da ∞.
z→a
Dim.: Sia δ > 0 tale che f sia olomorfa in Bδ (a) \ {a}. Se vale (1) allora si pu0́ trovare δ1 ≤ δ in modo
che |f (z)| > 1 per z ∈ Bδ1 (a) \ {a}, e quindi la funzione ψ(z) ≡ 1/f (z) é olomorfa in z ∈ Bδ1 (a) \ {a};
inoltre, grazie a (1), il limite di ψ(z) in a esiste e vale 0. Dunque, a é una singolaritá eliminabile per
ψ(z), che perció é sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno di 0:
ψ(z) =
∞
X
n=0
bn (z − a)n ,
7. Singolarita’ e Residui.
61
per 0 ≤ |z − a| < δ2 per δ2 > 0 opportuno. Siccome il limite di ψ in zero é nullo, bisogna che b0 = 0.
Sia allora N il minimo intero per cui bN 6= 0. Questo é un numero finito, o altrimenti ψ sarebbe nulla
in tutto un intorno di a, contro la definizione ψ = 1/f . Dunque, in 0 < |z − a| < δ00 vale:
N
ψ(z) = (z − a)
∞
X
n=0
bn+N (z − a)n
con bN 6= 0. La somma della serie di potenze al secondo membro é una funzione ϕ(z) olomorfa in
0 ≤ |z − a| < δ2 , e ϕ(a) = bN 6= 0. Dunque, dato che ϕ, essendo olomorfa, é continua, vale ϕ(z) 6= 0
per ogni z in Bδ3 (a) per un opportuno δ3 ≤ δ2 . Allora la funzione 1/ϕ(z) é olomorfa in Bδ3 (a); quindi
si sviluppa in serie di Taylor,
∞
X
1
cn (z − a)n
=
ϕ(z)
n=0
e inoltre c0 6= 0. Ne segue che, in Bδ3 (a),
f (z) =
∞
∞
X
X
1
1
n
cn (z − a)n−N .
c
(z
−
a)
=
=
n
ψ(z)
(z − a)N
n=0
(7.2)
n=0
L’ultima serie nel 2ndo membro é evidentemente lo sviluppo di Laurent di f (z) in a, e la sua parte
singolare contiene non piú di N termini. Dunque, (1)⇒(2).
Se vale (2) allora lo sviluppo di Laurent ha la forma (7.2) per un certo N > 0 con bN 6= 0. Allora
limz→a (z − a)N f (z) = bN . Quindi (2)⇒ (3). Infine, se vale (3), allora esiste δ > 0 in modo che
|(z − a)N f (z)| > l/2, e quindi |f (z)| > l|z − a|−N /2, per ogni z ∈ Bδ (a) \ {a}; e quindi deve valere (1)
perché limz→a |z − a|−N = ∞ visto che N > 0. Definizione 57: Un punto singolare isolato a per una funzione f (z) si dice Polo, se vale una, e quindi
tutte, delle (1),(2), (3) nel teorema 48. L’intero N si dice ordine del polo.
7.1.3
Singolarita’ Essenziali.
Definizione 58: Se un punto singolare isolato a di una funzione f (z) non é né un polo, né una singolaritá
eliminabile, allora si chiama una singolaritá essenziale.
Conseguenza immediata della definizione é che , se a é una sing. essenziale, allora limz→a f (z) non
esiste, né finito, né infinito. Ció suggerisce un comportamento complicato per f (z) nell’intorno di un
punto di singolaritá essenziale.
Esercizio 42: Mostrare che z = 0 é una singolaritá essenziale per la funzione f (z) = exp(1/z),
scrivendone la serie di Laurent.
Esercizio 43: Mostrare che, in un intorno arbitrariamente piccolo di z = 0 , la funzione f (z) = exp(1/z)
assume infinite volte ogni valore complesso c 6= 0. (Risolvere direttam. l’eq. exp(1/z) = c, per c 6= 0
assegnato, nell’incognita z.)
Queste particolaritá della funzione esponenziale sono condivise da tutte le funzioni che presentano
singolaritá essenziali. Infatti vale il:
Teorema 49: (Teor. di Picard) Se a é una singolaritá essenziale per f (z) allora in ogni intorno di a
la funzione f (z) assume infinite volte ogni valore complesso, con l’eccezione, al piú, di uno solo.
Dim.: omessa.
7. Singolarita’ e Residui.
7.1.4
62
Singolarita’ all’ Infinito.
Se si puó trovare una palla , in modo che una data funzione f (z) sia olomorfa in ogni punto ad essa
esterno, allora si dice che il punto ∞ é una singolaritá isolata per la funzione f (z). In questo caso
f (z) é olomorfa in una corona C(0, R, +∞) per R opportuno, dunque, in questa corona, si sviluppa
in serie di Laurent (v. la sezione 6.2.6):
f (z) =
+∞
X
cn z n ,
(7.3)
n=−∞
e questo si chiama lo sviluppo di Laurent di f (z) all’ ∞. La parte regolare dello sviluppo a ∞ é quella
che contiene le potenze z n a esponente n ≤ 0, e la parte singolare é quella che contiene le potenze z n
a esponente n > 0. Il tipo di singolaritá a ∞ si decide nello stesso modo che per le singolaritá isolate
ordinarie, e cioé: ∞ é una singolaritá apparente, se la parte singolare é assente. E’ una singolaritá
polare, se la parte singolare consiste di un numero finito di termini, e quindi é un polinomio nella
variabile z; il grado del polinomio si chiama l’ordie del polo a ∞. E’ una singolaritá essenziale, in tutti
gli altri casi. Nel piano complesso esteso, la trasformazione z → 1/z scambia i punti 0 e ∞; il modo
appena descritto di classificare la singolaritá a ∞ di una funzione f (z) é equivalente a identificare
il comportamento a ∞ della f (z) con il comportamento nello 0 della funzione f (1/z). Servendosi di
questa osservazione, é facile verificare che tutte le proprietá che sono state provate per i punti singolari
”al finito” si trasferiscono inalterate al punto ∞.
Esercizio 44: Quanto vale il limz→∞ exp(−z 2 )?
Esercizio 45: Mostrare che sin(z) ha una singolaritá essenziale a ∞.
Esercizio 46: Trovare lo sviluppo di Laurent in z = 0 di exp(w(z − 1/z)/2), essendo w un arbitrario
parametro complesso. Soluzione: per ogni z 6= 0,
ew(z−1/z)/2
=
=
=
ewz/2 e−w/(2z)
∞
∞ X
w k 1 k X w n (−1)n −n
z
z
2
k!
2
n!
k=0
+∞
X
n=0
z m Jm (w)
(7.4)
m=−∞
Per ogni intero m, il coefficiente Jm (w) si trova moltiplicando il termine n−mo della seconda delle
due serie esponenziali per il termine (n + m)-mo della prima, e sommando i risultati su n. Si ottiene,
per m ≥ 0,
∞
w m+2n
X
(−1)n
.
(7.5)
Jm (w) =
n!(n + m)! 2
n=0
Osservando che lo scambio z → 1/z accompagnato dal cambiamento di segno di w lasciano il 1 membro
di (7.4) invariato, si trova che, per m < 0,
J−m (w) = Jm (−w) = (−1)m Jm (w) .
7. Singolarita’ e Residui.
63
Esercizio 47: Mostrare che la a serie di potenze della variabile w nel secondo membro di (7.5) ha raggio
di convergenza ∞, e pertanto, come funzione della variabile w, ciascuna delle Jm (w) é una funzione
analitica intera.
Definizione 59: La funzione analitica intera della variabile complessa w definita dalla (7.5) si chiama
la funzione di Bessel di prima specie, e ordine intero m.
Esercizio 48: Mostrare che per ogni m ∈ Z e per ogni w ∈ C vale:
Z 2π
1
dt e−imt eiw sin(t) .
Jm (w) =
2π 0
( Si usino le eq. (6.26), scegliendo γ(t) = eit .)
7.2 Teorema dei Residui.
Definizione 60: Se a é un punto singolare isolato per la funzione f (z), si dice residuo di f in a il
coefficiente c−1 dello sviluppo di Laurent di f (z) in a. Esso verrá denotato Res(f, a).
Proposizione 14: Sia δ > 0 tale che f sia olomorfa in Bδ (a) \ {a}. Allora:
Z
1
dz f (z) ,
Res(f, a) =
2πi γ
dove γ é una qualunque curva chiusa, semplice, e regolare in Bδ (a), tale che a ∈ Int(γ).
Dim.: direttamente dalla equazione (6.26). Teorema 50: Sia D ⊆ C un dominio, in cui una funzione f (z) é olomorfa, salvo per punti singolari
(poli, o singolaritá essenziali) isolati. Sia γ una curva chiusa, semplice, e regolare in D, tale che
nessuna delle singolaritá di f (z) giaccia in γ. Allora l’integrale di f (z) su γ é eguale a 2πi moltiplicato
per la somma dei residui di f (z) in ciascuno dei punti singolari contenuti in Int(γ).
Dim.: Int(γ) essendo un insieme limitato, contiene al piú un numero finito di punti singolari di f ; se
cosi’ non fosse, infatti, i punti singolari avrebbero un punto limite in Int(γ); e questo sarebbe un punto
singolare non-isolato di f , contro le ipotesi. Siano a1 , . . . an qusti punti. Per ogni aj si puó trovare un
cammino circolare γj di centro aj , la cui traccia é contenuta in Int(γ). Le curve γ, γ1 , . . . γn delimitano
un dominio standard (n + 1)-volte connesso e quindi:
Z
dz f (z) =
γ
n Z
X
j=1
γj
dz f (z) = 2πi
n
X
Res(f, aj ) .
(7.6)
j=1
La prima eguaglianza dal Corollario 7 al Teor. di Cauchy, e la seconda dalla Prop. 14. Un’altra versione del Teorema dei Residui prende in considerazione i punti singolari esterni al cammino
di integrazione:
7. Singolarita’ e Residui.
64
Teorema 51: Sia γ una curva chiusa, semplice, e regolare, e sia f una funzione olomorfa in un dominio
D, che contiene il dominio esterno a γ. Se ∞ é una singolaritá isolata per f , allora
Z
n
X
Res(f, aj ) + 2πi Res(f, ∞) , .
(7.7)
dz f (z) = 2πi
−γ
j=1
dove a1 , . . . an sono i punti singolari di f nel dominio esterno, e il Residuo all’infinito: Res(f, ∞) é
dato da −c−1 , essendo c−1 il coefficiente di 1/z nello sviluppo di Laurent di f all’∞.
Dim: si tracci un cammino circolare ΓR di centro 0, e raggio R tanto grande, da contenere tutti i punti
singolari ”al finito” di f . Ció si puó fare, perché per assunzione ∞ é una singolaritá isolata. Intorno
ad ognuno dei aj si tracci un cammino circolare γj , di raggio tanto piccolo, da essere interamente
contenuto nel dominio 2-volte connesso delimitato da ΓR e da γ. In tal modo si sará costruito un
dominio standard (n + 2)-volte connesso, e dal teorema di Cauchy 7 discende:
Z
Z
n Z
X
dz f (z) ,
dz f (z) −
dz f (z) =
−γ
j=1
ΓR
γj
che dimostra l’enunciato, perché l’ultimo integrale vale precisamente −2πic−1 grazie alle formula
generale (6.26) applicata, in questo caso, allo sviluppo di Laurent all’∞ (7.3).
Nota 16: La versioni ”esterna” 51 ed ”interna” 50 del Teorema dei Residui sono perfettamente simmetriche e si sintetizzano in l’integrale di f sul cammino γ (chiuso, sempl., regolare) é eguale a 2πi
moltiplicato per la somma dei residui di f nei suoi punti singolari, contenuti nel dominio piano che
viene lasciato a sinistra dal verso di γ; restando inteso, che fra i punti singolari si deve annoverare
anche ∞. Questa simmetria é peró ottenuta definendo il residuo a ∞ in modo fortemente asimmetrico
rispetto alle singolaritá ”al finito”. Infatti, mentre nel caso di un punto singolare ”al finito” il residuo
é uno dei coefficienti della parte singolare dello sviluppo di Laurent, nel caso del punto ∞ il residuo
é uno dei coefficienti della parte regolare! Per cui, si puó avere un residuo non nullo a ∞, anche in
casi in cui ∞ non é una singolaritá (o meglio: é una singolaritá eliminabile). Ad es., la funzione 1/z
ha una singolaritá eliminabile a ∞, ma il suo residuo a ∞ vale −1. Il residuo a ∞ di una funzione
f (z) non é dato dal residuo della funzione f (1/z) nello 0, ma bensi’ dal residuo nello 0 della funzione
−f (1/z)/z 2 .
7.2.1
Calcolo del Residuo in una Singolarita’ Polare.
Se a é un polo di ordine N per la funzione f (z), allora la funzione (z − a)N f (z) ha una singolaritá
eliminabile in z = a grazie al Teor 48(3). Dunque, in un intorno di z = a, essa ha lo sviluppo di
Taylor:
∞
X
cn−N (z − a)n
(z − a)N f (z) =
n=0
dove i cm sono i coefficienti dello sviluppo di Laurent di f (z). Ne consegue:
Res(f, a) = c−1 =
dN −1
1
(z − a)N f (z) |z=a .
(N − 1)! dz N −1
(7.8)
In particolare, nel caso di un polo del 1 ordine,
Res(f, a) = lim (z − a) f (z) .
z→a
(7.9)
7. Singolarita’ e Residui.
65
R
Esercizio 49: Calcolare γ dz(1 + z 4 )−1 dove γ(t) = 5e2πit per 0 ≤ t ≤ 1, usando il Teor. dei Residui
in tutte e due le versioni 50 e 51.Risposta: 0.
7.2.2
Applicazioni.
Integrali di Funzioni Razionali di Seno e Coseno.
Per 0 < < 1 sia
I =
Z
2π
dx
0
1
.
1 + cos(x)
Questo integrale appartiene alla classe di integrali dichiarata nel titolo di questa sottosezione. Questi
integrali si possono calcolare con metodi di routine, p. es. utilizzando le ”formule parametriche” della
Trigonometria. Essi si prestano tuttavia ad una svelta illustrazione dell’idea generale che sovrintende
alle molteplici applicazioni del Teor. dei Residui al calcolo di integrali. Consideriamo il cammino
γ(x) = eix per 0 ≤ x ≤ 2π, che é un cammino semplice regolare descritto sul cerchio unitario in C.
Notando che γ̇(x) = iγ(x) e che 2 cos(x) = γ(x) + 1/γ(x), possiamo scrivere:
Z 2π
2
1
dx γ̇(x)
I =
i 0
γ(x)2 + 2γ(x) + Z
2
1
=
dz 2
.
(7.10)
i γ
z + 2z + La funzione f (z) = (z 2 + 2z + )−1 ha due punti singolari isolati:
√
−1 ± 1 − 2
,
z1,2 =
e scrivendo
f (z) =
si riconosce che
1
(z − z1 )(z − z2 )
lim (z − z1,2 ) f (z) =
z→z1,2
(7.11)
1
,
(z1,2 − z2,1 )
che é finito, e 6= 0. Dunque z1 e z2 sono poli del 1 ordine, e Res(f, z1,2 ) é precisamente dato dall’ultima
espressione scritta. Dei due poli, si riconosce facilmente che solo z1 (corrispondente al segno + in
(7.11)) é interno a γ. Allora il teor. dei Residui dá :
I =
2π
2
2πi Res(f, z1 ) =
.
i
1 − 2
Integrali Impropri.
R +∞
Il Teorema dei Residui permette il calcolo di molti integrali impropri del tipo −∞ f (x)dx. Il caso piú
comune si presenta quando la funzione f (x) é la restrizione all’asse reale di una funzione f (z), che in
almeno uno dei due semipiani: {=z ≥ 0} e {=(z) ≤ 0} é analitica, salvo per un numero finito di punti
singolari isolati a1 , a2 , . . . , nessuno dei quali si trova sull’asse reale. Supponiamo, per fissare le idee,
che questa situazione si presenti nel semipiano superiore; nel caso essa si presentasse nel semipiano
7. Singolarita’ e Residui.
66
Im
a
+ 2
a1
+
−R
Re
+R
+
Fig. 7.1: Cammino per il calcolo di Integrali Impropri.
inferiore, il procedimento che segue andrebbe modificato in modo del tutto ovvio. Usando il cammino
illustrato in Fig. 7.1, dal Teorema dei Residui si ottiene:
Z
+R
dx f (x) +
Z
dz; f (z) = 2πi
γR
−R
X
Res(f, aj ) ,
(7.12)
dove γR é la curva semicircolare di centro 0 e raggio R, e la somma é sui punti singolari contenuti nel
dominio a mezzaluna. Se avviene che:
Z
dz f (z) = 0,
(7.13)
lim
R→∞ γR
allora
lim
Z
+R
R→∞ −R
dx f (x) = 2πi
X
Res(f, aj ) ,
(7.14)
j
dove la somma é su tutti i punti singolari nel piano superiore.
limite a sinistra nella (7.15) si chiama la parte principale dell’integrale, e si denota spesso con
R Il
+∞
P −∞ dxf (x). Se f (x) é integrabile nel senso improprio, o generalizzato, fra −∞ e +∞, allora
P
Z
+∞
dx f (x) = lim
Z
+R
R→∞ −R
−∞
dx f (x) =
Z
+∞
dx f (x) ;
(7.15)
−∞
Tuttavia puó accadere che una funzione f (x) non sia integrabile, e cio’ nonostante il limite nel membro
sin. esista. Per esempio, ció si verifica per f (x) = x. Dunque (7.14) fornisce un modo per calcolare,
se non l’integrale improprio (che potrebbe non esistere), almeno la sua parte principale.
La (7.13) é sempre verificata, quando f (z) é una funzione razionale, tale che limz→∞ zf (z) = 0. Infatti
allora
Z
≤ πR max{|f (z)| | z ∈ γ R } → 0
dz
f
(z)
γr
7. Singolarita’ e Residui.
67
per R → ∞. La scelta del semipiano superiore o di quello inferiore é, in questi casi, arbitraria.
L’esempio piú facile é f (x) = (1 + x2 )−1 . Scegliendo il semipiano superiore, ivi la funzione ha un polo
del 1 ordine nel punto z = i:
1
,
Res(f, i) = lim(z − i)f (z) =
z→i
2i
che inserito nella (7.14) dá il notorio risultato I = π.
Una situazione meno ovvia, in cui (7.14) é verificata, é la seguente:
Teorema 52: (Lemma di Jordan): Sia f (z) = g(z) exp(itz) con t reale, e sia g(z) una funzione,
tale che: lim |g(Reiθ )| = 0 uniformemente in 0 ≤ θ ≤ π (cioé nel semipiano superiore) oppure in
R→+∞
−π ≤ θ ≤ 0 (cioé nel semipiano inferiore). Nel primo caso, (7.13) vale con γR tracciato nel semipiano
superiore e t > 0, e nel secondo con γR tracciato nel semipiano inferiore, e t < 0.
Dim.: supponiamo che l’ipotesi sia verificata nel semipiano superiore. Allora, scrivendo γR (θ) = Reiθ
per 0 ≤ θ ≤ π,
Z π
Z
iθ
itR
cos(θ)−tR
sin(θ)
itz
dθ f (Re ) e
dz e f (z) = R 0
γR
Z π/2
iθ
dθ e−Rt sin(θ) .
(7.16)
≤ 2R max{|f (Re )| | 0 ≤ θ ≤ π}
0
assumendo t > 0, e notando che sin(θ) ≥ 2θ/π per 0 ≤ θ ≤ π/2 (cfr. il calcolo dell’integrale di
Fresnel):
Z π/2
Z π/2
π
−Rt sin(θ)
dθ e−2Rtθ/π ≤
dθ e
≤ 2R
2R
,
2t
0
0
che rimane limitato quando R → ∞, mentre invece max{|f (Reiθ )}| tende per ipotesi a 0. Dunque
(7.13) é verificata. Se l’ipotesi del Lemma fosse invece verificata nel semipiano inferiore, il procedimento
sarebbe simile, a patto di tracciare γR nel semipiano inferiore, e assumere stavolta t < 0. Il seguente esempio é di larga applicazione:
Z +∞
1
dx 2
I(t) =
eitx .
a + x2
−∞
con a > 0. La ipotesi del Lemma di Jordan é verificata tanto nel semipiano superiore, che in quello
inferiore. La funzione eitz /(a2 + z 2 ) ha punti singolari isolati nei punti z± = ±ia, e
lim (z − z± )
z→z±
eitz±
eitz
=
±
a2 + z 2
z+ − z−
cosicché i due punti sono poli del 1 ordine, con residui rispettivi
Res(±ia) = ±
e∓ta
.
2ia
Se t > 0 si traccia γR nel semipiano superiore, e da (7.14) segue I(t) = πa exp(−ta). Se t < 0 la
si traccia nel semipiano inferiore; tenendo presente che stavolta la direzione positiva del cammino
percorre l’asse reale nel verso negativo, si trova: I(t) = πa exp(ta). I due risultati per t > 0 e per
t < 0 si sintetizzano in:
I(t) = πa e−a|t| .
8. PROLUNGAMENTO ANALITICO.
8.1 Teorema Fondamentale.
Per zero di una funzione, nel seguito si intende un punto a del suo dominio, nel quale la funzione si
annulla: f (a) = 0.
Lemma 1: Sia f : D → C una funzione analitica, e sia a ∈ D uno zero di f . Allora é vera una delle
seguenti alternative: (1) a é uno zero isolato, cioé: ∃δ > 0 tale che a é l’unico zero di f in Bδ (a), (2)
f é identicamente nulla in tutto un intorno di a.
P
n
Dim.: sia ∞
0 cn (z − a) lo sviluppo di Taylor di f (z) in a. Dato che a é uno zero di f (z), almeno
il primo coefficiente di Taylor c0 é nullo. Se tutti i coefficienti di Taylor si annullano, allora f (z) = 0
in tutto un intorno di a, cioé vale la alternativa (2). Se si esclude questa alternativa, allora esistono
coefficienti non nulli; sia cN il primo di essi. Allora lo sviluppo di Taylor in a si puó scrivere:
f (z) = (z − a)N
∞
X
n=0
cn+N (z − a)n .
Sia g(z) la somma della serie a secondo membro. Essa é una funzione analitica in un intorno di a, e
g(a) = cN 6= 0. Essendo g(z) continua, esiste δ > 0 tale che g(z) 6= 0 in Bδ (a). In questa palla, f (z)
si annulla solo nel centro a. Questo Lemma esclude che la f (z) possa presentare una linea nodale, cioé che essa si annulli in tutti i
punti di una linea passante per a. Proprio questo sarebbe il comportamento generico per una funzione
reale, ma é escluso nel caso di una funzione olomorfa. La ragione si capisce bene, ricordando le
proprietá delle rappresentazioni conformi.
Teorema 53: (Teor. Fondamentale del Prolungamento Analitico): Sia f analitica nel dominio
D. Se f (z) é identicam. nulla in un sottoinsieme aperto e non vuoto A di D, allora f (z) é identicam.
nulla in tutto D.
Dim.: fissiamo un punto a ∈ A e un altro punto z ∈ D \ A ad arbitrio. Dimostreremo che f (z) = 0.
Dato che D é un dominio, é connesso per archi, e quindi si puó trovare un cammino γ : [0, 1] → D
tale che γ(0) = a e γ(1) = z. Supponiamo f (z) 6= 0: allora l’insieme C ≡ {t ∈ [0, 1] : f (γ(t)) 6= 0}
non é vuoto. Denotiamo t0 il suo estremo inferiore, e notiamo che, per ragioni di continuitá, γ(t0 )
deve essere uno zero di f . Di coseguenza, t0 é strettamente minore di 1. Esso é anche strettam.
maggiore di 0. Infatti, γ é un mappa continua (per definizione di cammino) e A é un insieme aperto,
e quindi A0 ≡ γ −1 (A) = {t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ A} deve essere un insieme aperto in [0, 1]; perció, essendo
γ(0) = a ∈ A0 , deve esistere δ > 0 in modo che γ(t) ∈ A per 0 ≤ t < δ, e t0 non puó essere
minore di questo δ. Per definizione di t0 , tutti i punti γ(t) con t < t0 sono zeri di f , e poiché essi
8. Prolungamento Analitico.
69
sono arbitrariamente vicini a γ(t0 ), quest’ultimo non é uno zero isolato. Allora, grazie al Teorema
precedente, esiste un intorno di γ(t0 ), in cui f é identicamente nulla. Per la continuitá di γ, γ(t) deve
appartenere a questo intorno, anche per ogni t in un intorno destro di t0 . Per ogni tale t > t0 vale
f (γ(t)) = 0, contro la definizione di t0 . Corollario 13: Se f : D → C e g : D → C sono analitiche in un dominio comune D, e se f (z) = g(z)
per ogni z in un sottoinsieme aperto di D, allora f e g coincidono in tutto il dominio D.
Definizione 61: Sia f (z) una funzione analitica assegnata in un dominio G. Se F (z) é una funzione
analitica in un dominio D ⊃ G, tale che F (z) = f (z), per ogni z ∈ G, allora si dice che F (z) é il
Prolungamento Analitico della funzione f (z) al, o nel, dominio D.
La scelta dell’articolo ”il” nella dizione ”il Prolungam. Analitico...” é giustificata dal Corollario
precedente, il quale assicura che se una funzione F (z) con le proprieta’ descritte esiste, allora essa é
unica.
8.2 Prolungamento Analitico.
8.2.1
Ricostruzione di una funzione analitica, dal suo sviluppo di Taylor locale.
Sia data una funzione f (z), analitica nel dominio illustrato in Figura 8.1. Il suo sviluppo di Taylor
nel punto a0 converge nel cerchio B0 illustrato, il quale, come si é visto nella sez. 6.2.4, raggiunge
la frontiera del dominio di analiticitá di f (z). Immaginiamo ora di non conoscere la funzione f (z),
ma solo il suo sviluppo di Taylor in a0 ; e proponiamoci di ricostruire la funzione f (z) in tutto il
dominio, servendosi di questa informazione. Ció ha senso grazie al Corollario 13, il quale assicura che
lo sviluppo in a0 individua univocamente la funzione f (z) in tutto il dominio; infatti ogni funzione
g(z) analitica nel dominio, che condivida con f (z) lo sviluppo di Taylor in a0 , e quindi coincida con
f (z) nel cerchio B0 , deve coincidere con f (z) in tutto il dominio. Si puó procedere nel modo seguente.
Prendiamo un cammino con il primo estremo in a0 e muovendoci su di esso prendiamo un punto a1 ,
interno al cerchio B0 . In questo punto la funzione f0 (z) é analitica e quindi si sviluppa in serie di
Taylor di potenze di z − a1 . Questa serie altro non é che lo sviluppo di Taylor di f (z) in z = a1 , e
quindi converge in tutto il cerchio B1 di centro a1 illustrato; quindi converge anche in punti esterni
al cerchio di partenza B0 , nei quali la somma f0 (z) della serie originale non é definita, poiché quella
serie ivi non converge. La somma f1 (z) di questa nuova serie coincide con f0 (z) nell’intersezione di
B0 e B1 , e riproduce la funzione f (z) in tutto il cerchio B1 . Il procedimento puó ora essere iterato,
muovendosi lungo il cammino fino ad un nuovo punto a2 nel cerchio B1 . E’ chiaro che con questo
genere di procedimento, scegliendo opportunamente il cammino, e i punti a1 , a2 , . . . su di esso, si potrá
raggiungere qualunque punto del dominio grande, e quindi ricostruire completamente la funzione f (z).
8.2.2
Prolungamento Analitico lungo un cammino.
Formalizziamo ora il procedimento descritto nella Sezione precedente. Chiamiamo elemento analitico di centro a ∈ C una coppia E ≡ (B, s(z)) dove s(z) é una serie di potenze di centro a, e B é il suo
cerchio di convergenza.
Sia dato un cammino semplice γ : [0, 1] → C, e per ogni t ∈ [0, 1] sia dato un elemento analitico
Et = (Bt , st (z)) in modo che:
8. Prolungamento Analitico.
70
• ∀t ∈ [0, 1], il centro dell’elemento Et é il punto γ(t);
• ∀t ∈ [0, 1], si puó trovare δ > 0 in modo che se s ∈ [0, 1] e |s − t| < δ allora γ(s) ∈ Bt ; e inoltre,
• ss (z) é lo sviluppo di Taylor della somma della serie st (z) nel punto γ(s).
Si noti che la seconda condizione é sempre soddisfatta, perché ognuno dei cerchi Bt é aperto, e il
cammino é una funzione continua da [0, 1] in C.
Definizione 62: La famiglia di elementi analitici {Et }0≤t≤1 si dice un Prolungamento Analitico
lungo il cammino γ. Si dice anche che l’elemento E1 , il cui centro é il secondo estremo del cammino,
e’ ottenuto prolungando analiticamente lungo il cammino γ l’elemento E0 , il cui centro é il primo
estremo del cammino. Gli elementi E0 e E1 si dicono rispettivamente l’elemento iniziale e l’elemento
finale del proulngamento lungo γ.
Si verificherá facilmente, usando il Teorema Fondamentale, e il suo corollario, che
Proposizione 15: Se {Et }0≤t≤1 e {E 0 t }0≤t≤1 sono due prolungamenti analitici lungo lo stesso cammino
γ, e E0 = E00 , allora Et = Et0 , per ogni t ∈ [0, 1].
La seguente affermazione é invece data senza dimostrazione.
Proposizione 16: Sia {Et }0≤t≤1 un prolungamento analitico lungo un cammino γ; e per ogni t ∈ [0, 1]
sia R(t) il raggio di Bt . Allora R(t) é una funzione continua di t, oppure R(t) = ∞ per ogni t ∈ [0, 1].
8.2.3
Problema generale del Prolungamento Analitico.
Poniamoci ora il seguente problema: dato un elemento analitico E, determinare una funzione f (z), e
un dominio D ⊃ B, in modo che f (z) sia analitica in D, e il suo sviluppo di Taylor nel punto a sia
la serie data s(z).
Siccome la somma della serie s(z) é una funzione analitica in B, una risposta banale a questo problema
esiste sempre, se ci si accontenta di D = B; ma é inteso, che si vorrebbe determinare f (z) analitica in
un dominio D che sia ”piú grande possibile”.
Nella Sezione 8.2.1 si é descritto un procedimento che permette di risolvere questo problema, se si
assume che la funzione f (z) esista, e il suo dominio sia noto. Nel linguaggio della Sez. 8.2.2, questo
procedimento consiste nel costruire prolungamenti analitici dell’elemento analitico iniziale E lungo i
cammini γ che hanno il primo estremo nel centro a di E. Si puó pensare di affrontare il problema
nello stesso modo anche nel caso generale, in cui non é a priori noto, che il dato elemento analitico
é lo sviluppo di Taylor di una funzione analitica in un dominio piú grande. Peró, se si rinuncia a
quella informazione ”a priori”, non é piú a scontata la risposta alle seguenti due domande, che quindi
assumono importanza critica:
1. esistono cammini γ col primo estremo in a, e il secondo in punti b esterni a B, lungo i quali
l’elemento E puó essere prolungato analiticamente?
2. supponendo che E possa essere prolungato lungo due cammini distinti, che hanno il secondo
estremo in uno stesso punto b esterno a B ; gli elementi finali dei due prolungamenti coincidono?
8. Prolungamento Analitico.
71
A commento della prima domanda, si segnala che esistono serie di potenze, le cui somme non possono
essere prolungate analiticamente
P∞ n! fuori dal loro cerchio di convergenza. Queste serie sono cosi’ dette,
Un esempio é la serie
0 z , il cui raggio di convergenza é 1. Queste sono situazioni piuttosto
estreme; invece, é assolutamente generico é il caso in cui un elemento assegnato puó essere prolungato
lungo certi cammini, ma non lungo altri. Un esempio elementare si incontra con l’elemento analitico
fornito dalla serie geometrica nel cerchio unitario. Essendo noto che nel cerchio unitario la somma di
tale serie é la funzione (1 − z)−1 , il problema del prolungamento analitico é immediatamente risolto
dalla constatazione che questa funzione é analitica non solo in B ma anche in tutto C \ {1}, ed é
quindi il prol. analitico cercato. Non é dunque necessario ricorrere al prolungamento lungo cammini;
tuttavia, e’ istruttivo esaminare quali ne sarebbero le caratteristiche ( Fig. 8.1). Se si sceglie il
cammino superiore, oppure l’inferiore, allora, in ogni punto lungo il cammino, il raggio di convergenza
della serie di Taylor é eguale alla distanza dal punto scelto al punto 1, perché questo punto, da solo,
costituisce la frontiera del dominio di analiticitá di (1−z)−1 . Il PA é dunque possibile lungo qualunque
cammino, con l’eccezione di quelli che passano per il punto 1. Quel che accade se si cerca di prolungare
l’elemento lungo un cammino attraverso il punto 1 é illustrato nella parte destra della Fig. 8.1.
I due cammini, superiore e inferiore, illustrati nella parte sinistra, hanno lo stesso secondo estremo a,
e non cé dubbio che i PA lungo questi due cammini distinti definiscono la stessa funzione in questo
punto...poiché questa funzione ci é giá nota. Tuttavia questa evenienza non é assolutamente scontata,
come mostra l’ulteriore esempio seguente. Riferiamoci alla stessa Figura, ma consideriamo stavolta
l’elemento definito nel cerchio iniziale dalla serie di potenze
∞
X
1
(−1)n z n
1 1
− 1 ...
−n+1
,
1 +
2 2
2
n!
n=1
nella quale si ravvisa subito la serie Binomiale (6.24) con α = 1/2, e −z al posto di z. La somma di
questa serie nel cerchio unitario iniziale é la funzione (1 − z)1/2 , la branca della radice essendo quella
che restituisce il valore 1 per z = 0. Come nel caso della serie geometrica, il PA é possibile lungo
qualunque cammino, che non passi per il punto z = 1 (che é singolare per qualunque branca della
radice), e il PA lungo un cammino come quello illustrato nella parte destra non é possibile. Pero’
stavolta i PA lungo i cammini superiore e inferiore definiscono, nell’intorno del punto finale a, due
funzioni distinte, le quali nel punto a restituiscono i due valori della radice quadrata di 1 − a.
8.2.4
Teorema di Uniformitá.
E’ difficile dare risposte generali alla prima domanda formulata nella sezione precedente, e su questo
aspetto non si dirá altro. In questa sezione si danno, senza dimostrazione, i due risultati principali
riguardo la seconda domanda.
Definizione 63: Un elemento analitico E = (B, s(z)) si dice incondizionatamente prolungabile in
un dominio D con D ⊃ B, se é possibile prolungarlo analiticamente lungo qualunque cammino in D
che abbia il suo centro come primo estremo.
Teorema 54: Teorema di Uniformitá: Se E é incondizionatamente prolungabile in un dominio D,
e γ1 , γ2 sono due cammini in D, omotopi ad estremi fissi, (cfr. Def. 42), allora i PA dei E lungo γ1 e
γ2 producono lo stesso elemento finale.
8. Prolungamento Analitico.
72
Corollario 14: Sia E = (B, s(z)) un elemento analitico incondizionatamente prolungabile in un dominio
D semplicemente connesso. Allora esiste una ed una sola funzione f (z), analitica in tutto D, il cui
sviluppo di Taylor nel centro di B é la serie s(z).
In tutti e due gli esempi proposti nella sezione precedente, servendosi rispettivam. della serie Geometrica, e della serie Binomiale, l’elemento analitico nel centro unitario é incondizionatamente prolungabile
in D ≡ C \ {1}, che non é un dominio semplicem. connesso; quindi il Corollario ora enunciato non
é utilizzabile. Difatti, come sappiamo, nel secondo caso (serie Binomiale) non é possibile trovare una
funzione analitica in D il cui sviluppo di Taylor in z = 0 sia la serie Binomiale. Nondimeno, nel caso
della serie Geometrica una tale funzione esiste. Ció mostra che la ipotesi del Corollario fornisce una
condizione sufficiente, ma non necessaria.