Kangourou della Matematica 2015
Coppa a squadre Kangourou
Selezione locale – Modena - Reggio Emilia,
11 dicembre 2014
Quesiti
1. Lo scambio di cifre
20 punti
Scrivendo al computer la sua età, che è espressa da un numero di due cifre ed è inferiore a 20 anni,
Cecilia ha scambiato per errore le cifre: in questo modo ha aumentato la sua età di 27 anni. Quanti
anni ha Cecilia?
2. Triangoli isosceli
30 punti
Il triangolo ABC nella figura qui accanto ha i lati AC e BC di
uguale lunghezza e il suo angolo in C misura 40 gradi. Se anche il
triangolo BDC è isoscele, quanti gradi misura il suo angolo in D?
3. Resto 999
30 punti
Per quanti numeri interi n, compresi fra uno e un milione, il resto della divisione di n per 2000 è
999?
4. La percentuale
30 punti
Se una quantità passa da 60 a 90 subisce un incremento del 50%. Qual è la percentuale di
incremento se passa da 60 a 300?
5. Le età
40 punti
18 anni fa l'età di Sandro era il triplo di quella di Emanuela, oggi è solo il doppio. Quanti anni
aveva Sandro 18 anni fa?
6. La pesca
40 punti
A una pesca di beneficenza si pescano biglie di vari colori: il punteggio che è assegnato da una
biglia è un numero intero positivo, lo stesso per tutte le biglie che hanno lo stesso colore. Una biglia
blu assegna più punti di una biglia rossa; cinque biglie blu e due biglie rosse danno in totale 34
punti. Quanti punti danno in totale due biglie blu e cinque biglie rosse?
7. I numeri di due cifre
50 punti
Per quanti numeri interi (positivi) di due cifre accade che la somma delle due cifre è minore del loro
prodotto?
8. Numeri consecutivi
50 punti
Angelo ha scritto nove numeri interi consecutivi: la somma dei tre più piccoli è 33. Qual è la
somma dei tre più grandi?
9. Lettere e cifre
50 punti
In base ad un codice segreto, ad ogni numero intero è associata una sequenza di lettere secondo la
regola seguente: si scrive il numero e poi, al posto di ogni sua cifra, si scrive P se la cifra è pari ed è
multipla di 3, si scrive p se la cifra è pari ma non è multipla di 3, si scrive D se la cifra è dispari ed è
multipla di 3 e, infine, si scrive d se la cifra è dispari e non è multipla di 3. Ad esempio, partendo
dal numero 64579, si ottiene la sequenza di lettere PpddD. A quanti diversi numeri è associata la
sequenza DpdP?
10. La distanza
50 punti
Il triangolo ABC in figura è isoscele, ha la base AB lunga 32 cm e l’altezza
lunga 24 cm. Il triangolo ABD è rettangolo (con ipotenusa AD) e la sua area è
la metà di quella del triangolo ABC. Quanti centimetri misura la distanza tra C
e D?
11. I dadi
50 punti
Lanciando un dado (con le facce numerate da 1 a 6, non truccato) la probabilità di ottenere 3 è 1/6.
Qual è la probabilità di ottenere 3 lanciandone due e sommando i punteggi ottenuti? (Scrivete il
numeratore della frazione ridotta ai minimi termini e di seguito il denominatore; ad esempio, se la
frazione ridotta ai minimi termini fosse 1/16, dovreste rispondere 0116).
12. Piccoli ma grandi
50 punti
Due numeri interi positivi a e b hanno la proprietà che il loro prodotto è uguale al risultato della
moltiplicazione 1x2x3x4x5x6x7. Sapendo che a è minore di b, quanto può valere al massimo a?
13. Sette rettangoli per un rettangolo
60 punti
Il rettangolo ABCD in figura è composto accostando sette rettangoli uguali. Qual è il
rapporto fra la lunghezza del lato BC e quella del lato AB? (Scrivete il numeratore
della frazione ridotta ai minimi termini e di seguito il denominatore; ad esempio, se la
frazione ridotta ai minimi termini fosse 1/16, dovreste rispondere 0116).
14. Numeri in fila
60 punti
Su un'enorme lavagna Anna ha scritto i primi 2014 numeri interi positivi, uno dopo l'altro in ordine
crescente e senza saltarne alcuno. Ciò che ha scritto inizia dunque con 123456789101112… e
termina con ...20132014. Per dispetto il suo compagno Kevin ha incominciato a cancellare dal
fondo i numeri scritti da Anna: quando Anna lo ha costretto a fermarsi, sono rimaste sulla lavagna
solo le prime 2014 cifre da lei scritte. Quali sono, nell’ordine dalla quart’ultima all’ultima, le ultime
quattro cifre rimaste?
15. La griglia quadrata
70 punti
In ogni cella di una griglia quadrata 6 × 6 è inserito un numero. Sommando tutti i numeri che stanno
in una riga, oppure tutti i numeri che stanno in una colonna, si ottiene sempre lo stesso risultato.
Se i 36 numeri inseriti non sono tutti uguali fra loro, ma n di essi sono uguali fra loro, qual è il
massimo valore possibile di n?
16. I triangoli scaleni
70 punti
Un triangolo si dice scaleno se le lunghezze dei suoi lati sono tutte diverse fra loro. Considerate un
cubo: fra tutti i triangoli i vertici dei quali sono anche vertici del cubo, quanti sono quelli scaleni?
17. Le corde
70 punti
Prendiamo 2014 punti su di una circonferenza in modo che siano i vertici di un poligono regolare
(con 2014 lati). Quante corde della circonferenza si possono tracciare, al massimo, che abbiano
come estremi due di questi vertici e in modo che, comunque si scelgano due corde, o esse non
hanno punti in comune oppure esse si incontrano in uno dei vertici?
18. L'insalata
80 punti
L’orto di Pietro ha la forma del triangolo ABC in figura: la sua area
misura 192 m2. Pietro ha suddiviso il lato AB in due parti uguali, il lato
BC in quattro parti uguali e il lato AC in tre parti uguali. Utilizzando
alcuni dei punti di suddivisione, ha isolato così la porzione triangolare
PQR, quella ombreggiata in figura, che ha coltivato a insalata: ogni metro
quadrato di quella porzione gli fornirà un chilo e mezzo di insalata.
Quanti chili di insalata potrà ricavare Pietro?
A
R
Q
B
P
C
Gara a squadre per le scuole medie
Dicembre 2014
risposte
Problema 1
Lo scambio di cifre 0014
2
Triangoli isosceli 0035
3
Resto 999 0500
4
La percentuale 0400
5
Le età 0054
6
La pesca 0022
7
I numeri di due cifre 0063
8
Numeri consecutivi 0051
9
Lettere e cifre 0036
10 La distanza 0020
11 I dadi 12 Piccoli ma grandi 0118
13 Sette rettangoli per… 14 Numeri in fila 0712
15 La griglia quadrata 16 I triangoli scaleni 0032
17 Le corde 18 L’insalata 4025
0070
7077
0024
0084
