1
1
1.1
MISURA DEI SEGMENTI
MISURA DEI SEGMENTI
La classe dei segmenti
Nell’insieme S formato da tutti i segmenti contenuti in un piano introduciamo le
seguenti operazioni:
Confronto di segmenti: dati due segmenti AB e CD diremo che AB > CD se
riportando CD su AB in modo che C ≡ A il punto D risulti interno ad AB
Figura 1: Confronto di due segmenti AB e CD
Somma di segmenti Vedi la sottostante figura 2
Figura 2: Somma di due segmenti
Le due operazioni precedenti ci consentono di definire che cosa è un multiplo
e un sottomultiplo di un segmento
Definizione 1 (multiplo e sottomultiplo di un segmento) Dato un segmento AB
e un numero naturale n diremo che un segmento CD è un multiplo di AB secondo
il numero n se:
n volte
z
}|
{
CD = AB + AB + AB + · · · · · · + AB
(1)
e scriveremo CD = n · AB
Analogamente diremo che PQ è un sottomultiplo di RS secondo il numero n ,
1
e scriveremo P Q = RS se:
n
n volte
z
}|
{
RS = P Q + P Q + P Q + · · · · · · + P Q
1
(2)
1.2 Commensurabili e incommensurabili
Se
1
MISURA DEI SEGMENTI
m
è una frazione e AB è un segmento, per definizione poniamo:
n
µ
¶
m
1
AB = m
AB
n
n
(3)
I seguenti due assiomi servono a garantire l’esistenza di segmenti comunque
grandi e segmenti comunque piccoli
Assioma 1 (di Eudosso-Archimede) Dati due segmenti non nulli, esiste sempre
un multiplo dell’uno che supera l’altro
Questo assioma ci assicura che esistono segmenti comunque grandi.
Assioma 2 (della divisibilità) Ogni segmento AB è divisibile , in modo unico, in
n parti tra loro tutte uguali, qualunque sia il numero n .
Quiesto assioma ci assicura che esistono segmenti comunque piccoli
1.2
Commensurabili e incommensurabili
Definizione 2 (di segmenti commensurabili) Due segmenti si dicono commensurabili
se ammettono un sottomultiplo comune
La definizione precedente ci dice che se due segmenti AB e CD sono commensurabili esistono due numeri interi m e n ed un segmento EF tali che:
AB
CD
=
=
m · EF
n · EF
(4)
Non tutte le coppie di segmenti sono commensurabili, infatti esiste il seguente
teorema:
2
1.2 Commensurabili e incommensurabili
1
MISURA DEI SEGMENTI
Teorema 1 In un quadrato il lato e la diagonale non ammettono un sottomultiplo
comune
Dimostrazione
Figura 3: In un quadrato il lato e la diagonale non sono commensurabili
Supponiamo per assurdo che il lato l e la diagonale d siano due segmenti
commensurabili. Questo significa che esistono un segmento x e due numeri interi
positivi n e m tali che :
l
d
=
=
n·x
m·x
Indicando con x2 l2 d2 rispettivamente i quadrati di lato x , l , d, per il teorema
di Pitagora possiamo scrivere che:
l 2 + l 2 = d2
2 · l 2 = d2
Z=⇒
sostituendo si ottiene:
2
= (m · x)2
= m2 · x2
= m2
2 (n · x)
2n2 · x2
2n2
(5)
I numeri interi n e m si possono scomporre in fattori primi
=
2p · 3q · 5r · 7s · · · · · ·
m =
2t · 3v · 5w · 7z · · · · · ·
n
(6)
Dalle relazioni 5 3 6 si può dedurre che:
2
2 (2p · 3q · 5r · 7s · · · · · ·) =
¡ 2p 2q 2r 2s
¢
2 2 · 3 · 5 · 7 ······ =
22p+1 · 32q · 52r · 72s · · · · · ·
=
3
¡
2t · 3v · 5w · 7z · · · · · ·
¢2
22t · 32v · 52w · 72z · · · · · ·
22t · 32v · 52w · 72z · · · · · ·
(7)
1.3 Misura di un segmento
2
PROPORZIONALITÁ
Pertanto:
2p + 1 = 2t
questo è assurdo perchè 2p + 1 è un numero dispari, mentre 2t è un numero pari
ed un numero pari non può essere uguale a un numero dispari.
Definizione 3 Due segmenti con non sono commensurabili si diranno incommensurabili
1.3
Misura di un segmento
Tra tutti i segmenti scegliamone uno che chiameremo unità di misura 1 che indicheremo con u , sia AB un segmento commensurabile con u , allora esiste un
sottomultiplo x comune ai due segmenti AB e u . Possiamo pertanto scrivere:
AB = n · x
u = m·x
1
x =
·u
mµ
¶
1
AB = n
·u
m
n
AB =
·u
(8)
m
Definizione 4 Si chiama misura del segmento AB rispetto all’unità di misura u il
n
mumero razionale (frazione)
m
Se AB e l’unità di misura u non sono commensurabili la definizione precedente
non è più valida, si può comunque dimostrare che esistono segmenti commensurabili con u che si avvicinano ad AB di quanto vogliamo, la loro misura ci da una
misura di AB approssimata per difetto o per eccesso. Se ammettiamo l’esistenza
dei numeri irrazionali 2 , se AB e u sono incommensurabili, la misura di AB è un numero irrazionale.I numeri irrazionali vengono definiti come elemento di separazioni
tra l’insieme delle loro approssimazioni razionali 3 per difetto e l’insieme delle loro
approssimazioni razionali per eccesso.
Definizione 5 (rapporto tra segmenti) Dati due segmenti AB e CD si chiama
AB
rapporto tra AB e CD , e si scrive
, la misura di AB prendendo come unità
CD
di misura CD
É facile dimostrare questo teorema (che per questioni di tempo non dimostreremo):
Teorema 2 Se rispetto ad una unità di misura u la misura di un segmento AB è
a
AB
=
a , mentre la misura di un segmento CD è b , allora
CD
b
2
PROPORZIONALITÁ
Consideriamo due insiemi aventi per oggetti dei segmenti
1 Il
metro, l’unità
più usata, è un particolare segmento
√ di misura
√
esempio
2
3
π sono numeri irrazionali
3 Le approssimazioni sono dei numeri razionali, cioè delle frazioni che possono anche essere
espresse come numeri decimali finiti o periodici
2 Ad
4
2
PROPORZIONALITÁ
Figura 4: Classi di segmenti direttamente proporzionali
Stabiliamo una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi che al segmento
AB di I faccia corrispondere il segmento A’B’ di I’ e cosı̀ via come indicato in figura.
Questa corrispondenza ad ogni elemento di I associa uno ed un solo elemento di
I’ e, viceversa, ogni elemento di I’ è associato ad uno ed uno solo elemento di I.
Corrispondenze di questo tipo vengono chiamate corrispondenze biunivoche . A
questo punto possiamo scrivere la seguente definizione.
Definizione 6 (classi di segmenti direttamente proporzionali) Due classi 4 di
segmenti I e I’ , in corrispondenza biunivoca, si dicono direttamente proporzionali
se il rapporto tra due segmenti corrispondenti è costante:
AB
CD
EF
= 0 0 = 0 0 = ······
A0 B 0
CD
EF
(9)
In modo simile possiamo definire le classi di segmenti inversamente proporzionali
Definizione 7 (classi di segmenti inversamente proporzionali) Due classi di segmenti I e I’ , in corrispondenza biunivoca, si dicono inversamente proporzionali se
il prodotto tra le misure (rispetto a una stessa unità di misura) di due segmenti
corrispondenti è costante:
misura(AB)·misura(A’B’) = misura(CD)·misura(C’D’) = misura(EF)·misura(E’F’) = · · · · · ·
(10)
Vale il seguente teorema:
Teorema 3 (detto di Talete) Un fascio di rette parallele forma con due trasversali
due classi di segmenti direttamente proporzionali
Di questo teorema non diamo la dimostrazione, è però opportuno analizzarlo
meglio. La figura 5 di pagina 6 è la rappresentazione grafica del teorema. Il fascio di
rette parallele individua sulla trasversale t l’insieme di punti {A, B, C, D, E, F, G}
e sulla trasversale t’ l’insieme {A0 , B 0 , C 0 , D0 , E 0 , F 0 , G0 } , tra i due insiemi vi è
una ovvia corrispondenza biunivoca:
A ↔ A0
4 Classe
B ↔ B0
è sinonimo di insieme
5
C ↔ C0
······
(11)
3
A
POLIGONI SIMILI
A’
B
B’
C
C’
D
D’
E
E’
F
F’
G
G’
.t
.t’
Figura 5: Fascio di parallele tagliate da due trasversali
La corrispondenza biunivoca 11 di pagina 5 induce una analoga corrispondenza
biunivoca tra l’insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla
trasversale t e l’insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla
trasversale t’ , che possiamo cosı̀ schematizzare
AB ⇐⇒ A0 B 0
AC ⇐⇒ A0 C 0
AG ⇐⇒ A0 G0
BC ⇐⇒ B 0 C 0
BE ⇐⇒ B 0 E 0
CF ⇐⇒ C 0 F 0
· · · · · · ⇐⇒ · · · · · ·
· · · · · · ⇐⇒ · · · · · ·
(12)
Il teorema di Talete afferma che le due classi di segmenti cosı̀ individuate sono
direttamente proporzionali, cioè:
AB
AC
BC
BF
= 0 0 = 0 0 = 0 0 = ······
A0 B 0
AC
BC
BF
3
(13)
POLIGONI SIMILI
Definizione 8 (poligoni simili) Dati due poligoni, aventi lo stesso numero di vertici, si diranno simili se esiste una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due
poligoni tale che gli angoli interni dei due poligoni che hanno vertici corrispondenti
sono isometrici,e il rapporto tra due lati omologhi è costante, dove due lati, uno
del primo e l’altro del secondo poligono, si dicono omologhi se i loro estremi si
6
3
POLIGONI SIMILI
corrispondono nella corrispondenza biunivoca stabilita tra i vertici dei due poligoni.
E
A
E’
A’
D’
D
B’
B
C’
C
Figura 6: Poligoni simili
I due poligoni ABCDE ed A’B’C’D’E’ sono simili se
 ∼
= Â0
B̂ ∼
= B̂ 0
Ĉ ∼
= Ĉ 0
D̂ ∼
= D̂0
BC
CD
DE
EA
AB
= 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 =
0
0
AB
BC
CD
DE
EA
Ê ∼
= Ê 0
(14)
rapporto di similitudine
(15)
Per i triangoli la definizione precedente è abbondante, infatti si possono dimostrare i seguenti tre teoremi 5
Teorema 4 (primo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi gli
angoli ordinatamente isometrici sono simili.
A
A’
B’
B
C’
C
Figura 7: 1◦ criterio di similitudine dei triangoli
Ipotesi : Â ∼
= Â0 ; B̂ ∼
= B̂ 0
AB
BC
AC
Tesi :
=, 0 0 = 0 0
A0 B 0
BC
AC
5 Di
;
Ĉ ∼
= Ĉ 0
questi teoremi non è richiesta la dimostrazione
7
3
POLIGONI SIMILI
Teorema 5 (secondo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno isometrico un angolo e proporzionali i lati che lo comprendono, sono simili
Teorema 6 (terzo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi ordinatamente proporzionali i lati sono simili
Grazie al primo criterio di similitudine è possibile dimostrare il seguente teorema
Teorema 7 (primo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo un cateto è
medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa
Ipotesi: CAB è un triangolo rettangolo e AH è l’altezza relativa all’ipotenusa.
Tesi: BC : AB = AB : BH
Dimostrazione
C
Angolo
retto
H
.α
B
A
Figura 8: Primo teorema di Euclide
Consideriamo il triangolo CAB e il triangolo AHB (grigio), essi hanno:
• l’angolo B̂ in comune
ˆ
ˆ ∼
perchè retti
• CAB
= AHB
• α∼
= Ĉ perchè complementari dello stesso angolo Ĉ
6
I due triangoli considerati sono pertanto simili per il primo criterio di similitudine
(teorema 4 di pagina 7) con la seguente corrispondenza biunivoca tra i vertici
triangolo CAB
vertice C
⇔
triangolo ABH
vertice A
vertice A
vertice B
⇔
⇔
vertice H
vertice B
6 Infatti:
Ĉ + B̂ + retto ∼
= angolo piatto
∼ angolo retto
Ĉ + B̂ =
Ĉ + B̂ ∼
= α + B̂
analogamente
analogamente
quindi
8
α + B̂ + retto ∼
= angolo piatto
∼ angolo retto
α + B̂ =
α∼
= Ĉ
3
POLIGONI SIMILI
Possiamo pertanto scrivere:
CB
AB
=
AB
BH
Usando le proporzioni si avrà
7
(16)
CB:AB=AB:BH
Teorema 8 (secondo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
C
Angolo
retto
H
B
A
Figura 9: 2◦ teorema di Euclide
Ipotesi: CAH è un triangolo rettangolo e AH è l’altezza relativa all’ipotenusa.
Tesi: BH : AH = AH : CH
Dimostrazione
Consideriamo i due triangoli rettangoli CAH e AHB, essi hanno:
ˆ ∼
ˆ
• CHA
perchè retti
= BHA
ˆ
ˆ
• Ĉ ∼
perchè entrambi sono complemetari dell’angolo CAH
= HAB
ˆ
ˆ
• B̂ ∼
perchè entrambi sono complemetari dell’angolo BAH
= CAH
I due triangoli sono simili per il 1◦ criterio di similitudine, con la seguente corrispondenza tra i vertici:
triangolo HAB
vertice A
vertice H
⇔
⇔
triangolo ACH
vertice C
vertice H
vertice B
⇔
vertice A
Possiamo mpertanto scrivere
AH
BH
=
AH
CH
7 CB
AB
usando le proporzioni
= CB : AB
9
BH : AH = AH : CH
(17)
Indice analitico
Assioma della divisibilità, 2
Assioma di Eudosso-Archimede, 2
Classi inversamente proporzionali, 5
Classi direttamente proporzionali, 5
Confronto di segmenti, 1
Euclide, 2◦ teorema, 9
Euclide, primo teorema, 8
Frazione di un segmento, 2
Misura di un segmento, 4
Multiplo di un segmento, 1
Poligoni simili, 7
poligoni simili, 6
Primo criterio di similitudine , 7
Rapporto di similitudine, 7
Rapporto tra segmenti, 4
Secondo criterio di similitudine, 8
Segmenti commensurabili, 2
Segmenti incommensurabili, 4
Somma di segmenti, 1
Sottomultiplo di un segmento, 1
Teorema di Talete, 5
Terzo criterio di similitudine, 8
10
