I modulo - Matematica e Informatica

Corso di Laurea in Matematica per
l’Informatica e la Comunicazione Scientifica
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Esame di profitto di Matematica Discreta 1 - I modulo
del 21 luglio 2005.
Esercizio 1. Quante permutazioni di periodo 3 ci sono nel gruppo simmetrico
S6 su 6 oggetti?
(a) 80;
(b) 60;
(c) 40;
(d) 20.
Soluzione. Le permutazioni di periodo 3 di S6 possono essere solo di due tipi:
quelle di tipo [13 31 ] e quelle di tipo [32 ]. Dunque vi sono in S6 c1 + c2 permutazioni di periodo 3, se indichiamo con c1 il numero di permutazioni di S6 di tipo
[13 31 ] e con c2 il numero di permutazioni di S6 di tipo [32 ]. Dalla teoria allora
segue:
c1 =
6!
= 40
13 × 31 × 3! × 1!
e
c2 =
6!
= 40,
32 × 2!
e si vede che la risposta corretta è la (a).
Esercizio 2. Qual è il resto della divisione di 559 per 29?
(a) 8;
(b) 9;
(c) 16;
(d) 24.
Soluzione. L’esercizio è un’applicazione del Teorema di Fermat: infatti 29 è
un numero primo e M.C.D.(5, 29) = 1, per cui 528 ≡ 1 (mod 29). Essendo
59 = 2 × 28 + 3, si ha
559 = 52×28+3 = (528 )2 × 53 ≡ 12 × 53 = 125 ≡ 9
(mod 29),
ove si tenga conto che 125 = 4 × 29 + 9.
Esercizio 3. In Z16 si consideri la famiglia F delle quaterne non ordinate di
elementi di Z16 . Indicare, tra le seguenti, l’affermazione corretta:
(a) (Z16 , F) è un disegno con un numero di blocchi pari al numero dei punti;
(b) (Z16 , F) è un 2-disegno di parametri (16, 4, 91);
(c) (Z16 , F) è un 3-disegno e vi è esattamente un blocco che contiene tre dati
punti distinti;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. Fissati tre punti distinti in Z16 , per ottenere un blocco occorre aggiungere esattamente un punto che va scelto tra i rimanenti 16 − 3 punti di Z16 .
Ci sono quindi precisamente 13 blocchi distinti che contengono i tre punti fissati,
cioè (Z16 , F) è un 3-disegno di parametri (16, 4, r3 ) con r3 = 13.
Ne consegue che (Z16 , F) è anche un 2-disegno di parametri (16, 4, r2 ) e un
1-disegno di parametri (16, 4, r1 ), con
r2 = r3 ×
e
r1 = r2 ×
16 − 2
= 91
4−2
16 − 1
= 455.
4−1
Il numero di blocchi è allora
b=
¡ ¢
16 × 455
= 1820 = 16
4 .
4
Esercizio 4. Tra le seguenti affermazioni riguardanti la funzione di Eulero φ
e la funzione di Möbius µ indicare l’unica non corretta:
P
P
(a) sia n ∈ N∗ e si ponga f (n) = d|n d; allora d|n µ(d)f ( nd ) = n;
(b) sia n ∈ N∗ il prodotto di tre primi distinti p, q, r; allora
φ(n) = n − (pq + pr + qr) + (p + q + r) − 1;
(c) per ogni numero primo p si ha
Pt
k=0
µ(pk ) = 0;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. La formula (a) è la formula d’inversione di Möbius applicata alla
funzione identità g(n) = n ∀n ∈ N.
P
La (b) è la formula φ(n) = d|n µ(d) nd applicata al caso in cui n = pqr.
P
La (c) è la formula d|n µ(d) = 0 applicata al caso in cui n = pt .
Esercizio 5. Il polinomio 3x2 + mx + 2 in Z13 [x]:
(a) È riducibile per ogni m ∈ Z13 ;
(b) È riducibile per ogni m quadrato di Z13 ;
(c) È irriducibile per esattamente 7 valori di m ∈ Z13 ;
(d) È irriducibile per ogni m quadrato di Z13 .
Soluzione. Il polinomio 3x2 +mx+2 è riducibile se e solo se l’equazione 3x2 +mx+
2 = 0 ammette radici. Questa equazione ha soluzioni se e solo se il discriminante
m2 − 24 (≡ m2 + 2 mod 13) è un quadrato in Z13 . I sette quadrati di Z13 sono
quelli dell’insieme R = {0, ±1, ±3, ±4}, visto che 3 ≡ 16 = 42 (mod 13) e che
−1 è un quadrato essendo 13 ≡ 1 (mod 4): dunque m2 deve essere un numero
della forma r − 2 con r ∈ R. Poiché i valori di r per cui r − 2 è un quadrato sono
i tre valori r = ±1, 3, vi sono esattamente sei
√ valori√di m per cui il polinomio
dato è riducibile, e precisamente m = ±1, ± −1, ± −3: per i rimanenti sette
valori il polinomio è conseguentemente irriducibile. Ciò ci dice che (a) e (b) sono
false; ma anche la (d) è falsa perché si è già osservato che il polinomio dato è
riducibile quando m è uno dei due quadrati ±1 .
Esercizio 6. Si hanno a disposizione 12 colori distinti e si devono preparare
delle vernici utilizzando solo 6 dei dodici colori. Per ottenere una vernice si
procede cosı̀: ci sono 8 misurini di uguale capacità ed ognuno viene riempito con
uno dei colori; il tutto viene poi mescolato. Quante vernici di colore diverso si
possono fare in questo modo?
µ
¶
µ
¶ µ
¶
13
12
13
(a) 126 ×
;
(b)
×
;
8
6
8
µ
(c)
12
6
¶
µ
× 68 ;
(d)
12
6
¶
× 86 .
Soluzione. Si tratta di calcolare il numero di combinazioni con ripetizioni
¡6+8−1 ¢ di
lunghezza
8
che
si
possono
realizzare
utilizzando
6
oggetti,
che
è
=
8
¡12 ¢
¡13 ¢
dei
modi
in
cui
si
possono
.
Tale
numero
va
moltiplicato
per
il
numero
6
8
scegliere le 6 vernici da utilizzare tra le 12 disponibili.