Il calcolo dei limiti

IL CALCOLO DEI LIMITI
• Le operazioni sui limiti
• Le forme indeterminate
• le funzioni continue
• Gli asintoti
• Il grafico probabile di una funzione
Prof. Giovanni Ianne
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LE OPERAZIONI SUI LIMITI
Teorema sul limite della somma, differenza, prodotto e quoziente
Siano date due funzioni: f : X1  R g : X 2  R . Sia X  X1  X 2  
Sia x0 un punto d' accumulazi one per X.
 Ipotesi : Se esistono



 lim f x   l

1
x  x
con l1 , l2  R  
0






lim
g
x

l
2


x

x
0


 Tesi : esistono



 lim  f ( x)  g ( x)  l  l

1
2
x  x

0


 lim  f ( x)  g ( x)  l  l

1
2


x

x
0




f
(
x
)
l
 lim
 1 con l 2  0 


g ( x ) l2
x  x

0


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Secondo teorema sul limite di un quoziente
l
f ( x)
si presenti sotto la forma
con l  R - 0
g ( x)
0
x  x0
Supponiamo che il lim
allora si hanno tre casi:
f(x)





il
lim

l




1. I ( x0 ) / x  I ( x0 )  x0 : g ( x)  0  


g(x)
x  x0


f(x)


 l    
2. I ( x0 ) / x  I ( x0 )  x0 : g ( x)  0    il lim
g(x)


x  x0


f(x)

Non
esiste
il
lim
3. I ( x0 )x1 , x2  I ( x0 )  x0 / g ( x1 )  0, g ( x2 )  0  
g(x)

x  x0

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



Teorema sul limite del prodotto di una funzione per una costante
Sia K  R  0 e sia f : X  R
 Ipotesi : se esiste 
 Tesi : esiste 




 lim f ( x)  l  R   

limKf(x)

Kl
x  x

x  x

0


0


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Teorema sul limite della radice di una funzione
Sia
f :X R
 Tesi : esiste
 Ipotesi : se esiste 



 lim f ( x)  l  0    n
lim f ( x)  n
n
lim
f(x)

x  x

x  x0

0


x  x
0

Osservazione: se



l


l < 0 il teorema vale solo se n è dispari.
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Teorema sul limite della potenza di una funzione
Sia f : X  R
 Ipotesi : se esiste 


 lim f ( x)  l  R 
x  x

0


 Tesi : esiste





n

lim f(x) n  lim f ( x)  l n con n intero positivo 
 x  x0 


 x  x0



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Teorema sul limite di una funzione esponenziale con esponente
una funzione
Sia K  R  con K  1 e sia f : X  R
 Tesi : esiste



 Ipotesi : se esiste 



 lim f ( x ) 
 lim f ( x)  l  R   
 x  x0 
f(x)
l
x  x


limK
K
K
0


x  x

0


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Teorema sul limite del logaritmo di una funzione
Sia f : X  R
 Ipotesi : se esiste 


 lim f ( x)  l  0 
x  x

0


 Tesi : esiste





 limlog f ( x)  log lim f ( x)  log l


x

x


0




 x  x0

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LE FORME INDETERMINATE
• Le forme indeterminate o di indecisione che si possono incontrare nel
calcolo dei limiti sono sette:
0   0 0
   ,   0, , , 1 , 0 , 
0 
0
 
 
• Le forme indeterminate che studieremo sono del tipo:
 0  e   
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FUNZIONI CONTINUE
STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI
Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1.
Il valore del limite è l = 2.
Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 :
Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.
La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.
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f(x0) = l.
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LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
Funzione continua in un punto
Siano f(x) una funzione definita in un
intervallo [a; b] e x0 un punto interno
all’intervallo. La funzione f(x) si dice
continua nel punto x0 quando esiste il
limite di f(x) per
e tale limite è
uguale al valore f(x0) della funzione
calcolata in x0 :
.
  0 I ( x0 ) / x  I ( x0 ) : f ( x)  f ( x0 )  
ossia f(x 0 )    f ( x)  f ( x0 ) 
La funzione è continua nel punto x0 quando:
• esiste il valore della funzione nel punto x0
• esiste ed è finito il limite della funzione per x  x0
• il limite coincide con il valore della funzione nel punto
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x0
l 
f (x0 
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LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
f(x) è continua a destra in x0, se f(x0)
coincide con il limite destro di f(x)
per x che tende a x0 :
Funzione continua in un
intervallo
Una funzione definita in [a; b] si
dice continua nell’intervallo [a; b]
se è continua in ogni punto
dell’intervallo.
.
DEFINIZIONE
f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0)
coincide con il limite sinistro di f(x)
per x che tende a x0 :
.
Una funzione può essere definita
continua anche negli estremi
dell’intervallo di definizione [a; b].
ESEMPIO
La funzione
non è continua in x0 = 1,
non è continua nell’intervallo [0;1],
ma è continua nell’intervallo [1;2].
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GLI ASINTOTI
Un asintoto di una funzione è una retta la cui distanza dal grafico della
funzione tende a zero man mano che un generico punto P sul grafico si
allontana all’ infinito.
y
y
y
0
Asintoto verticale
x
0
x
Asintoto orizzontale
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0
x
Asintoto obliquo
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ASINTOTI VERTICALI
Definizione
Sia f : X  R  R
Sia x 0 d' accumulazi one a destra per X
 La retta di equazione x  x 0 
 è asintoto verticale a sinistra  
 per il grafico della funzione 


Sia f : X  R  R
 Se esiste il limf(x)   



x

x
0


Sia x 0 d' accumulazi one a sinistra per X
 La retta di equazione x  x 0 
 è asintoto verticale a destra  
 per il grafico della funzione 


 Se esiste il limf(x)   



x

x
0


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ASINTOTI ORIZZONTALI
Definizione
Sia f : X  R
X non limitato superiorme nte
 La retta di equazione y  q
 è asintoto orizzontal e a destra
 per il grafico della funzione

Sia f : X  R

   Se esiste il
 
 
limf(x)  q  R 

x  

X non limitato inferiorme nte
 La retta di equazione y  q
 è asintoto orizzontal e a sinistra
 per il grafico della funzione


   Se esiste il




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limf(x)  q  R 

x  

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ASINTOTI OBLIQUI
Definizione
Sia f : X  R
X non limitato superiorme nte
 La retta di equazione y  mx  q,
 m  0 è asintoto obliquo a destra
 per il grafico della funzione

Sia f : X  R

   Se esiste il limf(x)   f ( x)  mx  q   0 



x





X non limitato inferiorme nte
 La retta di equazione y  mx  q,
 m  0 è asintoto obliquo a sinistra
 per il grafico della funzione

  Se esiste il limf(x)   f ( x)  mx  q   0 
 

x  
 


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LA RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI
TEOREMA
Sia f : X  R
X non limitato superiorme nte
Sia f : X  R
X non limitato inferiorme nte
 Se esistono finiti : 


f(x)
m0
 1. lim
 La retta di equazione y  mx  q, 
x
 m  0 è asintoto obliquo a destra   

x


 per il grafico della funzione







 2. lim f(x) - mx   q 
 x  

 Se esistono finiti :



f(x)
 La retta di equazione y  mx  q, 
m0
 m  0 è asintoto obliquo a sinistra    1. lim
x


 per il grafico della funzione

x










2
.
lim
f(x)
mx

q


 x  

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CONSIDERAZIONI FINALI SUGLI ASINTOTI
Poiché gli asintoti si ottengono dalle soluzioni di limiti, si può
affermare che:
• le funzioni razionali intere non hanno asintoti
• le funzioni razionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli
zeri del denominatore
• le funzioni irrazionali possono avere solo asintoti verticali
• le funzioni trigonometriche possono avere solo asintoti verticali
• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a destra esclude l’ esistenza di
quello obliquo a destra
• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a sinistra esclude l’ esistenza di
quello obliquo a sinistra
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IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
Per rappresentare il grafico probabile di una funzione occorre:
• determinare il dominio
• studiare eventuali simmetrie
• determinare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani
• studiare il segno
• calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di
discontinuità
• determinare gli asintoti
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