V. Derivate delle funzioni di una variabile V.1 Concetto di derivata di una funzione Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] e indichiamo con x0 un punto interno a questo intervallo. Se da x0 si passa ad un altro punto qualunque x0+h, dell’intervallo [a,b], si dice che si è dato alla variabile x l’incremento (positivo o negativo) h. La differenza f(x0+h)-f(x0), tra i valori che la funzione assume quando la variabile x passa dal valore x0 al valore x0+h, si chiama incremento della funzione e può avere valore positivo, negativo o nullo [Fig. 1]. Il rapporto: f ( x0 h ) f ( x0 ) , h si chiama rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x0 e all’incremento h. Questo rapporto una volta fissato x0, varia al variare di h, cioè esso è una funzione della variabile h definita per ogni valore di h diverso da 0, purchè, s’intende, il punto x0+h non esca dall’intervallo [a,b], in cui è definita la f(x). Si dà a questo punto la seguente definizione: Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, Figura 1 se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h. La derivata si indica generalmente con le seguenti notazioni: f’(x0) o y’(x0) f '( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 ) . h ed è quindi definita dalla relazione: h0 V.2 Continuità e Derivabilità Un importante teorema mette in relazione la derivabilità di una funzione con la sua continuità affermando che: 1 Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è necessariamente continua in tale punto. Da questo teorema segue che: Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata. Si osserva, infine, che la proprietà inversa del teorema non è vera; cioè: se una funzione è continua in un punto x0, non è detto che sia derivabile in tale punto. V.3 Un esempio di calcolo della derivata di una funzione Calcoliamo nel punto x=3 la derivata della funzione f(x) = x2 - x. Si procede prima al calcolo del rapporto incrementale: f ( x 0 h) f ( x 0 ) f (3 h) f (3) [(3 h) 2 (3 h)] [(3) 2 (3)] h h h 9 6h h 2 3 h 9 3 h 2 5h h ( h 5) h 5. h h h Si calcola successivamente il limite del rapporto incrementale per h0: f '( x0 ) lim h0 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( 3 h) f ( 3) lim lim(h 5) 5. h h h0 h0 Si conclude affermando che la funzione è derivabile per x=3 e la derivata in tale punto vale 5. N.B.: Si osservi che nella pratica, si preferisce calcolare il rapporto incrementale relativamente a un generico valore della x (e non già determinato come nel caso considerato in cui ad esempio x=3) che verrà indicato ancora con x, per poi passare al limite per h0. V.4 Derivate di alcune funzioni elementari Tenendo conto di quanto affermato alla fine del precedente paragrafo, proviamo a calcolare la derivata di alcune funzioni elementari. Indicheremo con x (invece che con x0) il punto iniziale e con x+h quello variato (cioè incrementato di h). 1. La derivata di una costante, y=K, vale zero, cioè: Infatti è: k k lim 0 0. h 0 h 0 h y ' lim Prof. Metta Fabrizio k = 0 2 2. La derivata della funzione y=x vale 1, cioè: x = 1 Infatti: xhx lim 1 1. h 0 h 0 h y ' lim 3. La derivata della funzione y=x2 vale 2x, cioè: x2 = 2x Infatti: ( x h) 2 x 2 x 2 2hx h 2 x 2 h( 2 x h) lim lim lim 2 x h 2 x. h 0 h 0 h 0 h 0 h h h y ' lim 4. La derivata del prodotto di una costante k per una funzione y=f(x) è uguale alla costante per la derivata della funzione, cioè: kf(x) = kf(x) Infatti: k f ( x h) k f ( x ) k [ f ( x h) f ( x)] f ( x h) f ( x ) lim k lim k f ( x). h 0 h 0 h 0 h h h y ' lim V.5 Derivate di una somma, di un prodotto e di un quoziente Per la derivata di una funzione somma di più funzioni derivabili vale il seguente teorema: La derivata della somma di due (o più) funzioni derivabili, esiste ed è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni. Se è: y=f+g con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato: y’ = f’ + g’. Per la derivata di una funzione prodotto di due funzioni derivabili vale, invece, il seguente teorema: La derivata del prodotto di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale al prodotto della derivata del primo fattore per il secondo, più il prodotto del primo fattore per la derivata del secondo. Se è: y = fg con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato: y’ = f’g + fg’. Prof. Metta Fabrizio 3 Per la derivata di una funzione quoziente di due funzioni derivabili vale, infine, il seguente teorema: La derivata del quoziente di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale a una frazione avente al denominatore il quadrato del denominatore e al numeratore la differenza tra il prodotto del denominatore per la derivata del numeratore e il prodotto del numeratore per la derivata del denominatore. Se è: f y = --g con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato: f’g - fg’ y’= -------------g2 V.6 Tabella delle formule e regole di derivazione Per semplificare il calcolo della derivata di una funzione, è stata predisposta una tabella di facile consultazione. Si riporta a sinistra la funzione y=f(x) e, a destra, la derivata y’=f’(x) in un generico punto, dove la funzione è derivabile: y=f(x) y’=f’(x) yk y ' 0 Funzione potenza: y x y ' x 1 In particolare: yx y x yn x y Prof. Metta Fabrizio 1 x y ' 1 y' sgn x y' 1 n n x n 1 y' 1 x2 x x 4 y x y ' 1 2 x Funzioni goniometriche: y sen x y ' cos x y cos x y ' sen x y tgx y ctgx y' y' 1 1 tg 2 x cos 2 x 1 (1 ctg 2 x) 2 sen x Funzione logaritmica: y log a x y' 1 1 log a e x x ln a In particolare: y ln x y ' 1 x Funzione esponenziale: y ax y' a x ln a In particolare: y ex y' e x Inverse delle funzioni goniometriche: y arcsen x y arccos x y arctg x y arcctg x y' 1 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 Principali regole di derivazione: y k f ( x) (k costante) y f ( x) g ( x) Prof. Metta Fabrizio y ' k f ' ( x) y ' f ' ( x) g ' ( x) 5 y f ( x) g ( x) y y ' f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) f ( x) g ( x) y' y f [ g ( x)] f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) [ g ( x)]2 y ' f '[ g ( x)] g ' ( x) In particolare: y ln x y ' 1 x y [ f ( x)]n y' n[ f ( x)]n 1 f ' ( x) y a f ( x) y' a f ( x ) ln a f ' ( x) y e f ( x) y ' e f ( x ) f ' ( x) y ln f ( x) V.7 y' f ' ( x) f ( x) Teorema di De L’Hospital La conoscenza delle derivate e delle principali regole di derivazione è utile, fra l’altro, per il calcolo di certi limiti che si presentano sotto forma indeterminata quali il 0 quoziente di due funzioni che tendono simultaneamente a zero o all’infinito [si 0 legga, a tal proposito, il par. IV.7 della dispensa sui Limiti]. A tale scopo, lo strumento fondamentale è fornito dal seguente teorema: Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un’intorno H del punto c (escluso eventualmente c), con g’(x)0. Se è: lim f ( x) lim 0, x c x c oppure f e g continue con f (c) g (c) 0, oppure lim f ( x) lim . x c Se esiste il lim x c f ' ( x) f ( x) , allora esiste anche il lim , e si ha: x c g ' ( x) g ( x) lim x c Prof. Metta Fabrizio x c f ( x) f ' ( x) lim . g ( x) x c g ' ( x) 6 f ' ( x) nel punto x=c presenta di nuovo una indeterminazione del tipo g ' ( x) Se il quoziente 0 , o , e se le funzioni soddisfano le condizioni del teorema, conviene allora 0 passare alle derivate seconde, ecc. Esempio: Supponiamo di voler calcolare il valore del limite della seguente funzione: x2 5x 6 lim 2 . x 1 x x 2 Se sostituissi al posto della x il valore a cui essa tende, ossia 1, otterrei: x 2 5 x 6 (1) 2 5(1) 6 0 x 1 x 2 x 2 (1) 2 (1) 2 0 lim L’espressione 0 , come è noto, è una forma indeterminata. 0 Applichiamo il teorema di De L’Hospital. Derivando numeratore e denominatore si ha: x2 5x 6 2x 5 lim 2 x 1 x x 2 x 1 2 x 1 lim Se provo a rifare la sostituzione, stavolta, ottengo: 2 x 5 2(1) 5 7 . x 1 2 x 1 2(1) 1 3 lim V.8 Applicazioni delle Derivate 1) Equazione della tangente a una curva in un punto: Consideriamo una curva generica y=f(x). La retta tangente alla curva in un punto P0 di ascissa x0 ha come coefficiente angolare m la derivata della funzione calcolata nello stesso punto di ascissa x0, ossia f’(x0) [significato geometrico della derivata] [Fig. 2]. Quindi possiamo scrivere: m f ' ( x0 ) Figura 2 L’equazione della tangente a una curva y=f(x) in un punto P0(x0,y0), è data dalla formula [ottenuta Prof. Metta Fabrizio 7 sostituendo al posto di m, f’(x0)]: y y0 f ' ( x0 ) ( x x0 ) 2) Equazione della normale a una curva in un punto: La retta normale a una curva in un punto P0 di ascissa x0 è la retta perpendicolare alla tangente alla curva in P0. Ricordando che la condizione di perpendicolarità di due rette è: m' 1 m si ha che l’equazione della normale a una curva y=f(x) in un punto P0(x0,y0), è data dalla formula: y y0 1 ( x x0 ) . f ' ( x0 ) 3) Angolo di due curve: Si chiama angolo di due curve y=f(x) e y=g(x) in un punto P0(x0,y0) ad esse comune, l’angolo formato dalle tangenti a queste curve nel punto P0. Questo angolo si determina con la formula: tg g ' ( x0 ) f ' ( x0 ) 1 g ' ( x0 ) f ' ( x0 ) Esempio: Supponiamo di voler calcolare la retta tangente alla curva di equazione f(x)=x32x+2 nel punto di ascissa x0=2. Per far ciò è necessario, intanto, calcolare la derivata della funzione che rappresenta la curva: f(x) = x3 - 2x + 2 f’(x) = 3x2 - 2. Dopodichè, si calcola f’(x0), ossia il valore della derivata della funzione nel punto di ascissa x0=2 (basta sostituire al posto della x il valore 2): f’(x0) = f’(2) = 3(2)2 – 2 = 10. Il valore 10 rappresenta il parametro angolare m della retta tangente alla curva in questione. Basta calcolare ora il valore dell’ordinata y0 del punto di tangenza, sostituendo nella funzione di partenza l’ascissa x0 nota: y0 = f(2) = (2)3 – 2(2) + 2 = 6 Prof. Metta Fabrizio 8 e applicare la formula per determinare l’equazione della retta passante per il punto P0 e di dato parametro angolare m (essendo P0(2, 6) e m=10): y y0 m ( x x0 ) y 6 10 ( x 2) da cui: 10 x y 14 0 che rappresenta l’equazione della tangente richiesta. Prof. Metta Fabrizio 9 IV.9 Esercizi proposti Derivate di somma, prodotto e quoziente di funzioni: f ( x) x 3 7 x 3 [3x 2 7] f ( x) x 2 4 x 2 [ 2 x 4 ] f ( x) x4 x2 x 8 x3 f ( x) 2 sen x cos x f ( x) x x3 3 2 ( x 3) f ( x) 2 x 2 5 x [4 x 5] f ( x) 1 x 1 2x 2 2 ( x 1) f ( x) x 2 6 x 4 [2 x 6] f ( x) ( x 1)( x 2 x 1) [3x 2 ] f ( x) (2 x 3)( x 2 3x 1) [6 x 2 18 x 7] f ( x) 5x 2 10 x 9 [10 x 10] f ( x) ( x 2 1)(5x 2) [15x 2 4 x 5] 2 [2 cos x sen x] Calcolo di limiti con il Teorema di De L’Hospital: lim x 2 x2 x 6 x3 5 x 2 8 x 4 [] lim x 1 3x 2 x 5 lim 2 x 2 x 4 x 1 3 2 x 1 x 1 x2 2x 5 lim 3 2 x 2 x 3x 9 1 2 lim [0] 8 x3 4 x 2 9 lim 4 x3 x 2 x x 1 Tangenti alle curve nel punto di ascissa indicato: y x2 x 1 ( x 3) [15 x 16 y 9] y 2x 1 x ( x 1) [ y x] y 2x 1 3x 2 ( x 1) [7 x y 10 0] ( x 0) [ y x] y 3x 2 x Prof. Metta Fabrizio x3 4 x 2 5 x 2 x2 x 2 [0] [2]