Le Derivate

V.
Derivate delle funzioni di una variabile
V.1
Concetto di derivata di una funzione
Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] e indichiamo con x0 un punto
interno a questo intervallo. Se da x0 si passa ad un altro punto qualunque x0+h,
dell’intervallo [a,b], si dice che si è dato alla variabile x l’incremento (positivo o negativo)
h.
La differenza f(x0+h)-f(x0), tra i valori che la funzione assume quando la variabile x
passa dal valore x0 al valore x0+h, si chiama incremento della funzione e può avere
valore positivo, negativo o nullo [Fig. 1].
Il rapporto:
f ( x0  h )  f ( x0 )
,
h
si chiama rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x0 e
all’incremento h. Questo rapporto una volta fissato
x0, varia al variare di h, cioè esso è una funzione
della variabile h definita per ogni valore di h diverso
da 0, purchè, s’intende, il punto x0+h non esca
dall’intervallo [a,b], in cui è definita la f(x).
Si dà a questo punto la seguente definizione:
Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il
limite,
Figura 1
se
esiste
ed
è
finito,
del
rapporto
incrementale al tendere a zero dell’incremento h.
La derivata si indica generalmente con le seguenti notazioni:
f’(x0)
o
y’(x0)
f '( x0 )  lim
f ( x0  h)  f ( x0 )
.
h
ed è quindi definita dalla relazione:
h0
V.2
Continuità e Derivabilità
Un importante teorema mette in relazione la derivabilità di una funzione con la sua
continuità affermando che:
1
Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è necessariamente continua in tale
punto.
Da questo teorema segue che:
Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata.
Si osserva, infine, che la proprietà inversa del teorema non è vera; cioè: se una
funzione è continua in un punto x0, non è detto che sia derivabile in tale punto.
V.3
Un esempio di calcolo della derivata di una funzione
Calcoliamo nel punto x=3 la derivata della funzione f(x) = x2 - x.
Si procede prima al calcolo del rapporto incrementale:
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f (3  h)  f (3)
[(3  h) 2  (3  h)]  [(3) 2  (3)]



h
h
h
9  6h  h 2  3  h  9  3
h 2  5h
h ( h  5)



 h  5.
h
h
h
Si calcola successivamente il limite del rapporto incrementale per h0:
f '( x0 )  lim
h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( 3  h)  f ( 3)
 lim
 lim(h  5)  5.
h
h
h0
h0
Si conclude affermando che la funzione è derivabile per x=3 e la derivata in tale
punto vale 5.
N.B.: Si osservi che nella pratica, si preferisce calcolare il rapporto incrementale
relativamente a un generico valore della x (e non già determinato come nel caso
considerato in cui ad esempio x=3) che verrà indicato ancora con x, per poi passare al
limite per h0.
V.4
Derivate di alcune funzioni elementari
Tenendo conto di quanto affermato alla fine del precedente paragrafo, proviamo a
calcolare la derivata di alcune funzioni elementari.
Indicheremo con x (invece che con x0) il punto iniziale e con x+h quello variato (cioè
incrementato di h).
1.
La derivata di una costante, y=K, vale zero, cioè:
Infatti è:
k k
 lim 0  0.
h 0
h 0
h
y '  lim
Prof. Metta Fabrizio
k = 0
2
2.
La derivata della funzione y=x vale 1, cioè:
x = 1
Infatti:
xhx
 lim 1  1.
h 0
h 0
h
y '  lim
3.
La derivata della funzione y=x2 vale 2x, cioè:
x2 = 2x
Infatti:
( x  h) 2  x 2
x 2  2hx  h 2  x 2
h( 2 x  h)
 lim
 lim
 lim 2 x  h  2 x.
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
y '  lim
4.
La derivata del prodotto di una costante k per una funzione y=f(x) è uguale alla
costante per la derivata della funzione, cioè:
kf(x) = kf(x)
Infatti:
k  f ( x  h)  k  f ( x )
k  [ f ( x  h)  f ( x)]
f ( x  h)  f ( x )
 lim
 k  lim
 k  f ( x).
h 0
h 0
h 0
h
h
h
y '  lim
V.5
Derivate di una somma, di un prodotto e di un quoziente
Per la derivata di una funzione somma di più funzioni derivabili vale il seguente
teorema:
La derivata della somma di due (o più) funzioni derivabili, esiste ed è uguale alla
somma delle derivate delle singole funzioni.
Se è:
y=f+g
con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato:
y’ = f’ + g’.
Per la derivata di una funzione prodotto di due funzioni derivabili vale, invece, il
seguente teorema:
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale al prodotto
della derivata del primo fattore per il secondo, più il prodotto del primo fattore per la
derivata del secondo.
Se è:
y = fg
con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato:
y’ = f’g + fg’.
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3
Per la derivata di una funzione quoziente di due funzioni derivabili vale, infine, il
seguente teorema:
La derivata del quoziente di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale a una
frazione avente al denominatore il quadrato del denominatore e al numeratore la
differenza tra il prodotto del denominatore per la derivata del numeratore e il prodotto del
numeratore per la derivata del denominatore.
Se è:
f
y = --g
con f e g funzioni derivabili in x, sarà per il teorema enunciato:
f’g - fg’
y’= -------------g2
V.6
Tabella delle formule e regole di derivazione
Per semplificare il calcolo della derivata di una funzione, è stata predisposta una
tabella di facile consultazione. Si riporta a sinistra la funzione y=f(x) e, a destra, la derivata
y’=f’(x) in un generico punto, dove la funzione è derivabile:
y=f(x)
y’=f’(x)
yk
y ' 0
Funzione potenza:
y  x
y '  x 1
In particolare:
yx
y x
yn x
y
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1
x
y ' 1
y'  sgn x 
y' 
1
n n x n 1
y'  
1
x2
x
x
4
y
x
y '
1
2 x
Funzioni goniometriche:
y  sen x
y ' cos x
y  cos x
y '   sen x
y  tgx
y  ctgx
y' 
y'  
1
 1  tg 2 x
cos 2 x
1
 (1  ctg 2 x)
2
sen x
Funzione logaritmica:
y  log a x
y' 
1
1
log a e 
x
x ln a
In particolare:
y  ln x
y '
1
x
Funzione esponenziale:
y  ax
y' a x ln a
In particolare:
y  ex
y'  e x
Inverse delle funzioni goniometriche:
y  arcsen x
y  arccos x
y  arctg x
y  arcctg x
y' 
1
1  x2
1

1  x2
1
1  x2

1
1  x2
Principali regole di derivazione:
y  k  f ( x)
(k  costante)
y  f ( x)  g ( x)
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y '  k  f ' ( x)
y '  f ' ( x)  g ' ( x)
5
y  f ( x)  g ( x)
y
y '  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
f ( x)
g ( x)
y' 
y  f [ g ( x)]
f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
[ g ( x)]2
y '  f '[ g ( x)]  g ' ( x)
In particolare:
y  ln x
y '
1
x
y  [ f ( x)]n
y'  n[ f ( x)]n 1  f ' ( x)
y  a f ( x)
y'  a f ( x )  ln a  f ' ( x)
y  e f ( x)
y '  e f ( x )  f ' ( x)
y  ln f ( x)
V.7
y' 
f ' ( x)
f ( x)
Teorema di De L’Hospital
La conoscenza delle derivate e delle principali regole di derivazione è utile, fra
l’altro, per il calcolo di certi limiti che si presentano sotto forma indeterminata quali il
0

quoziente di due funzioni che tendono simultaneamente a zero   o all’infinito   [si
0

legga, a tal proposito, il par. IV.7 della dispensa sui Limiti].
A tale scopo, lo strumento fondamentale è fornito dal seguente teorema:
Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un’intorno H del punto c (escluso
eventualmente c), con g’(x)0.
Se è:
lim f ( x)  lim  0,
x c
x c
oppure f e g continue con f (c)  g (c)  0,
oppure
lim f ( x)  lim  .
x c
Se esiste il lim
x c
f ' ( x)
f ( x)
, allora esiste anche il lim
, e si ha:
x
c
g ' ( x)
g ( x)
lim
x c
Prof. Metta Fabrizio
x c
f ( x)
f ' ( x)
 lim
.
g ( x) x  c g ' ( x)
6
f ' ( x)
nel punto x=c presenta di nuovo una indeterminazione del tipo
g ' ( x)
Se il quoziente
0

  , o   , e se le funzioni soddisfano le condizioni del teorema, conviene allora
0

passare alle derivate seconde, ecc.
Esempio:
Supponiamo di voler calcolare il valore del limite della seguente funzione:
x2  5x  6
lim 2
.
x 1 x  x  2
Se sostituissi al posto della x il valore a cui essa tende, ossia 1, otterrei:
x 2  5 x  6 (1) 2  5(1)  6 0


x 1 x 2  x  2
(1) 2  (1)  2 0
lim
L’espressione
0
, come è noto, è una forma indeterminata.
0
Applichiamo il teorema di De L’Hospital. Derivando numeratore e denominatore si
ha:
x2  5x  6
2x  5
 lim
2
x 1 x  x  2
x 1 2 x  1
lim
Se provo a rifare la sostituzione, stavolta, ottengo:
2 x  5 2(1)  5 7

 .
x 1 2 x  1
2(1)  1 3
lim
V.8
Applicazioni delle Derivate
1) Equazione della tangente a una curva in un punto:
Consideriamo una curva generica y=f(x). La retta tangente alla curva in un punto P0 di
ascissa x0 ha come coefficiente angolare m la
derivata della funzione calcolata nello stesso punto
di ascissa x0, ossia f’(x0) [significato geometrico
della derivata] [Fig. 2].
Quindi possiamo scrivere:
m  f ' ( x0 )
Figura 2
L’equazione della tangente a una curva y=f(x) in
un punto P0(x0,y0), è data dalla formula [ottenuta
Prof. Metta Fabrizio
7
sostituendo al posto di m, f’(x0)]:
y  y0  f ' ( x0 )  ( x  x0 )
2) Equazione della normale a una curva in un punto:
La retta normale a una curva in un punto P0 di ascissa x0 è la retta perpendicolare
alla tangente alla curva in P0. Ricordando che la condizione di perpendicolarità di due rette
è:
m'  
1
m
si ha che l’equazione della normale a una curva y=f(x) in un punto P0(x0,y0), è data
dalla formula:
y  y0  
1
 ( x  x0 ) .
f ' ( x0 )
3) Angolo di due curve:
Si chiama angolo di due curve y=f(x) e y=g(x) in un punto P0(x0,y0) ad esse
comune, l’angolo formato dalle tangenti a queste curve nel punto P0. Questo angolo  si
determina con la formula:
tg 
g ' ( x0 )  f ' ( x0 )
1  g ' ( x0 )  f ' ( x0 )
Esempio:
Supponiamo di voler calcolare la retta tangente alla curva di equazione f(x)=x32x+2 nel punto di ascissa x0=2.
Per far ciò è necessario, intanto, calcolare la derivata della funzione che
rappresenta la curva:
f(x) = x3 - 2x + 2
f’(x) = 3x2 - 2.
Dopodichè, si calcola f’(x0), ossia il valore della derivata della funzione nel punto di
ascissa x0=2 (basta sostituire al posto della x il valore 2):
f’(x0) = f’(2) = 3(2)2 – 2 = 10.
Il valore 10 rappresenta il parametro angolare m della retta tangente alla curva in
questione. Basta calcolare ora il valore dell’ordinata y0 del punto di tangenza, sostituendo
nella funzione di partenza l’ascissa x0 nota:
y0 = f(2) = (2)3 – 2(2) + 2 = 6
Prof. Metta Fabrizio
8
e applicare la formula per determinare l’equazione della retta passante per il punto
P0 e di dato parametro angolare m (essendo P0(2, 6) e m=10):
y  y0  m  ( x  x0 )

y  6  10  ( x  2)
da cui:
10 x  y  14  0
che rappresenta l’equazione della tangente richiesta.
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9
IV.9
Esercizi proposti
Derivate di somma, prodotto e quoziente di funzioni:
f ( x)  x 3  7 x  3
[3x 2  7]
f ( x)   x 2  4 x  2
[ 2 x  4 ]
f ( x) 
x4
x2
 x  8
 x3 


f ( x)  2 sen x  cos x
f ( x) 
x
x3
 3 

2
 ( x  3) 
f ( x)  2 x 2  5 x
[4 x  5]
f ( x) 
1
x 1
  2x 
 2
2
 ( x  1) 
f ( x)  x 2  6 x  4
[2 x  6]
f ( x)  ( x  1)( x 2  x  1)
[3x 2 ]
f ( x)  (2 x  3)( x 2  3x  1)
[6 x 2  18 x  7]
f ( x)  5x 2  10 x  9
[10 x  10]
f ( x)  ( x 2  1)(5x  2)
[15x 2  4 x  5]
2
[2 cos x  sen x]
Calcolo di limiti con il Teorema di De L’Hospital:
lim
x  2
x2  x  6
x3  5 x 2  8 x  4
[]
lim
x 1
3x 2  x  5
lim
2
x  2 x  4 x  1
3
2
 
x 1
x 1
x2  2x  5
lim
3
2
x  2 x  3x  9
1
2
 
lim
[0]
8 x3  4 x 2  9
lim
4 x3  x  2
x 
x  1
Tangenti alle curve nel punto di ascissa indicato:
y
x2
x 1
( x  3)
[15 x  16 y  9]
y
2x  1
x
( x  1)
[ y  x]
y
2x  1
3x  2
( x  1)
[7 x  y  10  0]
( x  0)
[ y   x]
y  3x 2  x
Prof. Metta Fabrizio
x3  4 x 2  5 x  2
x2  x  2
[0]
[2]