Problemi di geometria
1. Risolvere il triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che cateto AC, è lungo 2 m e che l'altezza AH,
relativa all'ipotenusa, è lunga 1,4 m.
Triangolo (ABC) β=90°-γ
Triangolo (ACH)
AH=1,4m AC=2m
HC =
AC 2 − AH 2
AH
sin γ =
AC
AH
γ = arcsin(
)
AC
T. Pitagora
BC =
AC
cos γ
AB = BC 2 − AC 2 T. Pitagora
2. Per risolvere il triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che le proiezioni e dei cateti sull’ ipotenusa
sono: CH uguale a 10 cm e HB uguale 40 cm.
Triangolo (ABC)
Triangolo (ABC)
CH=10cm HB=40m
BC=BH+HC
AH2= BH HC
β=90°-γ
2° T. Euclide
AB = BC 2 − AC 2
Triangolo (ACH)
tan γ =
AH
HC
γ = arctan(
AH
)
HC
3. In un triangolo rettangolo ABC la bisettrice A H dell'angolo retto divide l’ipotenusa in due parti, tali
CH 5
che
= . Risolvere il triangolo.
HB 4
Teorema della bisettrice
T. Talete
BA:AK = BH:HC
Triangolo (ABC)
Il triangolo (AKC) è isoscele AK = AC
tan γ =
BA/AC = BH/HC
AB
AC
γ = arctan(
AB
)
AC
β=90°-γ
BA/AC=4/5
BC =
AC 2 + AB 2
4. Risolvere il triangolo ABC, rettangolo in A, di cui si conosce l'angolo beta uguale 40° e l'area S=
900 m².
Triangolo (ABC)
noto AB
β=40°; S= 900 m²
AC = AB tan β
AC
tan β =
AB
Area
formula inversa AC = AB tan β
sin β =
S=ACAB/2
AB tan β ⋅ AB = 2S
AB 2 =
2S
tan γ
AB =
γ =90°-β
L’ipotenusa BC
2S
tan γ
AC
BC
formula inversa BC = AC
sin β
Oppure T. Pitagora (ABC)
BC =
AB 2 + AC 2
5. Risolvere il triangolo ABC, rettangolo in A, che ha l'area di 600 m², sapendo che il cateto AB è
triplo del cateto AC.
se AB=3AC possiamo ricavare il cateto AC
Triangolo (ABC)
AB=3AC; S= 600 m²
se AB=3AC
2S
2S AB=3AC
AC3AC/2=S
AC 2 =
AC =
AC
AC
1
3
3
=
=
AB 3 AC 3
AC allora
AC
1 quindi γ =90°-β
β = arctan(
) = arctan
AC
1 tan β =
β = arctan(
) = arctan
AB
AB
3
AB
3 L’ipotenusa BC
AC
AC
Oppure T. Pitagora (ABC)
cos β =
BC =
vedi problema n°5
BC
cos β
tan β =
oppure
BC =
AB 2 + AC 2
6. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, risulta beta uguale 50° e AB uguale 10. BM è la mediana del
cateto AC e BK è la bisettrice dell'angolo beta. Quanto sono lunghi AK e AM?
β=50° AB=10
Risolto il triangolo (ABC)
Per ricavare BK si osserva che risulta
AC=ABtanβ
essere l’ipotenusa del triangolo
(ABK) in cui l’angolo adiacente al
Per ricavare BM si osserva che risulta essere cateto AB risulta essere la metà
l’ipotenusa del triangolo (ABM) in cui il
dell’angolo β essendo BK bisettrice.
AB
cateto AM e metà del cateto AC essendo
BK =
β
BM mediana.
cos
2
AM=AC/2
BM =
.
AB 2 + AM 2
7. Le tangenti condotte a un cerchio di centro O dal punto esterno T formano un angolo di 40° . Il
cerchio di centro ha e raggio. Siano R e T i punti di tangenza delle rete. Calcolare la distanza TO e
l’aria del quadrilatero RTSO.
angolo in T 40° OR=5 I triangoli (ORT) e (OST) sono rettangoli
L’area del quadrilatero (RTSO)
rispettivamente in R ed S perché la tangente risulta essere il doppio dell’area del
alla circonferenza risulta perpendicolare al triangolo (ORT).
raggio nel punto di tangenza e OT risulta
L’area del triangolo (ORT) è uguale
bisettrice dell’angolo T. Poniamo l’angolo al semiprodotto dei due cateti:
in T uguale a 2β quindi β=20°
ST=½OR·RT
OR
OR è noto
OT =
sin β
RT=ORtan(90°-β)
8. Calcolare l'angolo formato dalle tangenti condotte ad un cerchio di raggio r da un punto T esterno e
distante dal centro 3r.
r
OT=3r raggio r
tangente = OTcos(β)
sin β =
3r
1
3
β = arcsin( )
9. Calcolare l’altezza di un triangolo isoscele circoscritto ad un cerchio di raggio r ed avente l’angolo
alla vertice di 30°.
Angolo in A 30° raggio r
10. In una semicirconferenza di diametro AB =2r è data una corda AT, tale che l’angolo TÂB=15°.
Condurre la tangente in T; questa interseca il prolungamento di AB in C. Calcolare il perimetro del
triangolo ATC.
Se α=15° l’angolo esterno in O del Il triangolo (OTC) è rettangolo in
triangolo (AOT) risulta essere la
T quindi l’angolo in C (γ) risulta
essere uguale di 60° il
somma degli angoli interni non
adiacenti quindi 2α=30° essendo complementare di 30°.
OT
il triangolo (AOT ) è isoscele
OC =
sin
γ
(OA=OT raggi).
TC=½OC
2p=AB+
11. Determinare l'ampiezza dell'angolo alfa che La diagonale di un cubo forma con la diagonale e di una
delle sue facce.
12. Determinare l'angolo alfa, formato dallo spigolo l del tetraedro regolare con l'altezza h.
13. Un parallelepipedo rettangolo alla diagonale d lunga 2 ⋅ 3 ; questa forma con la diagonale b della
base un angolo di 30°, mentre b forma con il lato l della base un angolo di 75°. Determinare l'area
della superficie totale è il volume del solido.
14. Un cono circolare retto, indicare con r il raggio, con h l'altezza e con alfa l'angolo di semi apertura.
Risolvere i seguenti problemi:
a) Calcolare l'angolo di semi apertura e la superficie laterale sapendo che il raggio è uguale a 10
l'altezza uguale a15 scrivere la formula generale che esprime la superficie laterale in funzione di R. è
H.
b) Calcolare è H. è la superficie totale conoscendo alfa uguale 20° e terre uguale 50. Scrivere la
formula generale che esprime la superficie totale in funzione di R. e di alfa
c) Calcolare R., la superficie totale e il volume sapendo che alfa uguale 40° e H. uguale 30 scrivere le
formule generali che esprimono la superficie totale e il volume in funzione di AC ed alfa
