Algebra e topologia

Appendice A
Algebra e topologia
In questa appendice richiamiamo alcuni concetti di algebra e di topologia che dovrebbero essere familiari a tutti. Questa è solo una breve lista
di definizioni—per una trattazione esauriente di questi argomenti il lettore
può consultare [Hun80, Lan02] per l’algebra e [Kur92, CTV76] per la
topologia.
1. Algebra
Un semigruppo è un insieme S 6= ; dotato di un’operazione binaria ⇤ che
è associativa, cioè (a ⇤ b) ⇤ c = a ⇤ (b ⇤ c). Se esiste un elemento e 2 S tale che
8a 2 S (a ⇤ e = e ⇤ a = a) diremo che è un monoide. L’elemento e è unico e
si dice elemento neutro. Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento ha un
inverso, cioè 8x 2 S 9y 2 S (x ⇤ y = y ⇤ x = e) . L’inverso di x è unico e lo si
denota con x 1 . Un gruppo si dice commutativo o abeliano se l’operazione
è commutativa, cioè 8x, y 2 S (x ⇤ y = y ⇤ x). Spesso l’operazione nei gruppi
abeliani la si indica con + e l’elemento neutro con 0. Un anello è un insieme
R 6= ; dotato di due operazioni + e · tali che
• (R, +) è un gruppo abeliano in cui 0 denota l’elemento neutro,
• (R, ·) è un semigruppo,
• vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, cioè
(x + y) · z = x · z + y · z,
z · (x + y) = z · x + z · y.
Se c’è un elemento e 2 R tale che x · e = e · x = x, per tutti gli x 2 R,
diremo che l’anello è unitario e l’elemento e viene denotato con 1 = 1R . Un
anello si dice commutativo se l’operazione · è commutativa. Un dominio
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A. Algebra e topologia
di integrità è un anello commutativo in cui non ci sono divisori dello 0, cioè
x · y = 0 ) x = 0 _ y = 0. Un corpo1 è un anello unitario R in cui 0 6= 1 e
ogni elemento non nullo ha un inverso, cioè
8x 2 R \ {0} 9y 2 R \ {0} (x · y = y · x = 1) .
Un corpo commutativo si dice campo. Il tipico esempio di corpo non commutativo sono i quaternioni H, mentre, per un teorema di Wedderburn, ogni
corpo finito è un campo [Wei95]. La caratteristica di un campo è il più piccolo intero p > 0 tale che 1 + · · · + 1 = 0 — se questo intero p esiste allora
| {z }
p volte
è un numero primo, se non esiste, diremo che il campo ha caratteristica 0.
Se R è un anello R[X] è l’anello dei polinomi a coefficienti in R. Un
campo k si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio non nullo in
k[X] ha una soluzione in k. Un numero complesso si dice algebrico se è
soluzione di un polinomio di Q[X] — equivalentemente, se è soluzione di
un polinomio di Z[X]. Un numero complesso che non sia algebrico si dice
trascendente. L’insieme dei numeri algebrici forma un campo algebricamente
chiuso Q ed è il più piccolo campo algebricamente chiuso di caratteristica 0.
Uno spazio vettoriale su un campo k è un gruppo abeliano hV, +, 0i
con una funzione k ⇥ V ! V , (r, v) 7! rv detta prodotto per scalare, che
soddisfa le seguenti identità, per ogni r, s 2 k e ogni u, v 2 V :
r(u + v) = ru + rv
(r + s)u = ru + su
(r · s)u = r(su)
1k u = u.
Gli elementi di V si dicono vettori, gli elementi di k si dicono scalari.
Un insieme X ✓ V si dice linearmente dipendente se esistono v1 , . . . , vn 2
X ed esistono scalari r1 , . . . , rn 2 k tali che
• (r1 , . . . , rn ) 6= (0k , . . . , 0k ) e
Pn
•
i=1 ri vi = 0.
Se X non è linearmente dipendente, diremo che è linearmente indipendente.
Un X ✓ V è un insieme di generatori
Pn di V , se ogni v 2 V può essere espresso
come combinazione lineare v =
i=1 ri vi , per qualche v1 , . . . , vn 2 X e
r1 , . . . , rn 2 k. Uno spazio vettoriale si dice finitamente generato se ha
un insieme finito di generatori. Una base di uno spazio vettoriale V è un
insieme linearmente indipendente di generatori di V . Spesso nel caso degli
spazi non finitamente generati si parla di basi di Hamel.
1In inglese skew-field o division ring
2. Topologia
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2. Topologia
Uno spazio topologico è un insieme X dotato di una famiglia T ✓ P(X)
tale che
(1) ;, X 2 T,
(2) se A, B 2 T allora A \ B 2 T,
S
(3) se {Ai | i 2 I} ✓ T allora i2I Ai 2 T.
La famiglia T si dice topologia e i suoi elementi si dicono aperti. Quando
la topologia T è chiara dal contesto diremo, con abuso di linguaggio, che X
è uno spazio topologico.
Se x 2 V ✓ X e se esiste U aperto tale che x 2 U ✓ V diremo che
V è un intorno del punto x. Se possiamo prendere U = V , cioè se V è
aperto, parleremo di intorno aperto. Uno spazio si dice primo-numerabile
ovvero che soddisfa al primo assioma di numerabilità se per ogni x 2 X
esiste un insieme {Vn | n 2 !} di intorni di x tale che ogni intorno di x
contiene uno dei Vn . Un x 2 X si dice punto isolato se {x} è un aperto.
Il complementare di un insieme aperto di dice chiuso. Un insieme che sia
simultaneamente chiuso ed aperto si dice chiuso-aperto. Gli spazi X in
cui gli unici insiemi chiusi-aperti sono ; e X si dicono connessi. In caso
contrario si dicono sconnessi.
Se Y ✓ X l’interno di Y e la chiusura di Y sono, rispettivamente, il
più grande aperto contenuto in Y e il più piccolo chiuso contenente Y , cioè
[
Int(Y ) = {U ✓ Y | U 2 T}
\
Cl(Y ) = {C ◆ Y | X \ C 2 T}.
La frontiera di Y è Fr(Y ) = Cl(Y ) \ Int(Y ).
Se Y ✓ X, la topologia indotta da X su Y è
{Y \ U | U 2 T}
e diremo che Y , con questa topologia, è un sottospazio di X. Una funzione
tra due spazi topologici si dice continua se la controimmagine di un aperto è
un aperto — la funzione di inclusione tra un sottospazio e lo spazio ambiente
è continua.
Un sottoinsieme Y si dice denso in X se Cl(Y ) = X. Uno spazio che
abbia un sotto-insieme denso e numerabile si dice separabile.
2.A. Basi. Una base per una topologia su X è una B ✓ P(X) chiusa
per intersezioni finite e tale che 8x 2 X 9B 2 B (x 2 B) . La topologia
generata da B è
S
B̂ = { i2I Bi | {Bi | i 2 I} ✓ B}.
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A. Algebra e topologia
Diremo che B è una base per la topologia T se B̂ = T. Se uno spazio
topologico ha una base numerabile diremo che è secondo numerabile ovvero che soddisfa al secondo assioma di numerabilità. Per l’assioma
delle scelte numerabili, uno spazio secondo-numerabile è anche separabile
(Esercizio 27.31). Per ogni S ✓ P(X) la famiglia
{A1 \ · · · \ An | A1 , . . . , An 2 S} [ {X}
è una base per una topologia T su X e diremo che S è una sottobase per
questa topologia.
Data una famiglia di spazi topologici (Yi , Ti ) (i 2 I) , un insieme X
e delle funzioni Fi : X ! Yi , la topologia indotta su X dalle Fi è quella
generata dagli insiemi Fi 1 [Ui ], con U 2 Ti e i 2 I. Una sottobase per
questa topologia è
{Fi 1 [Ui ] | Ui 2 Ti , i 2 I}
e quindi un aperto di base è della forma
Fi 1 [Ui ] | Ui 2 Ti , i 2 J, J ✓ I finito .
Questa topologia T rende ogni Fi continua ed è la minima topologia siffatta,
nel senso che ogni topologia su X che rende tutte le Fi continue deve contenere T. Se prendiamo come X = "i2I Yi il prodotto cartesiano degli spazi
Yi e Fi : X ! Yi è la funzione valutazione f 7! f (i), si ottiene la topologia
prodotto o topologia di Tychonoff i cui aperti di base sono della forma
N(Ui0 , . . . , Uin ) = {f 2 "i2I Yi | f (ik ) 2 Uik , k = 0, . . . , n}
= "j2{i0 ,...,in } Uj ⇥ "i2I\{i0 ,...,in } Yi
dove {i0 , . . . , in } ✓ I e Uik è aperto in Yik .
2.B. Assiomi di separazione. Gli spazi topologici possono essere classificati in base alla loro abilità di distinguere punti mediante aperti. Uno spazio
topologico (X, T) si dice
T0 se punti distinti hanno famiglie degli intorni distinte,
x 6= y ) 9U 2 T ((x 2 U ^ y 2
/ U ) _ (y 2 U ^ x 2
/ U ))
T1 se punti distinti sono distinguibili mediante aperti,
x 6= y ) 9U, V 2 T (x 2 U ^ y 2
/ U ^y 2V ^x2
/ V ).
Equivalentemente: X è T1 se {x} è un chiuso, per ogni x 2 X.
T2 o di Hausdorff se punti distinti sono separabili mediante aperti,
x 6= y ) 9U, V 2 T (x 2 U ^ y 2 V ^ U \ V = ;)
2. Topologia
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T3 o regolare se è possibile separare un punto x da un chiuso C mediante
aperti, cioè
x2
/ C ) 9U, V 2 T (x 2 U ^ C ✓ V ^ U \ V = ;) .
Equivalentemente: X è T3 se per ogni aperto U e ogni x 2 U , è possibile
trovare un aperto V tale che x 2 V ✓ Cl(V ) ✓ U . Se X è T0 , allora
T3 implica T2 .
2.C. Compattezza. Sia X uno spazio topologico e sia K un suo sottospazio. Un ricoprimento S
aperto di K è una famiglia {Ai | i 2 I} di aperti che
ricoprono K, cioè K ✓ i2I Ai . Diremo che K è compatto se da ogni ricoprimento aperto {Ai | i 2 I} possiamo estrarre
S un sotto-ricoprimento finito,
cioè se esiste I0 ✓ I finito tale che K ✓ i2I0 Ai . In generale diremo che
uno spazio topologico è compatto se lo è come sottospazio di sé stesso. Uno
spazio è compatto se ogni famiglia C di chiusi ha la proprietàTdell’intersezione finita: se 8C1 , . . . , Cn 2 C (C1 \ · · · \ Cn 6= ;), allora C2C C 6= ;.
Un chiuso di un compatto è compatto. Uno spazio compatto è T3 : se x 2
/C
e C è chiuso (e quindi compatto), scegliamo aperti Uy e Vy disgiunti con
x 2 Uy e y 2 Vy . Poiché {Vy | y 2 C} ricopre C possiamo estrarre un
sotto-ricoprimento finito {Vy1 , . . . , Vyn }. Allora x 2 Uy1 \ · · · \ Uyn = U ,
C ✓ Vy1 [ · · · [ Vyn = V e U \ V = ;.
Uno spazio topologico si dice localmente compatto se è T2 e ogni
punto ha un intorno la cui chiusura è compatta. Equivalentemente: se U è
aperto e x 2 U allora 9V aperto tale che x 2 V ✓ Cl(V ) ✓ U e Cl(V ) è
compatto.
2.D. Spazi metrici. Uno spazio metrico è un insieme X dotato di una
metrica d : X ⇥ X ! [0; +1) che soddisfa alle tre proprietà:
• d(x, y) = 0 se e solo se x = y,
• d(x, y) = d(y, x), per ogni x, y 2 X,
• d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), per ogni x, y, z 2 X.
La palla aperta di centro x 2 X e raggio r > 0 è l’insieme
def
B(x; r) = B(X,d) (x; r) = {y 2 X | d(x, y) < r}
mentre la palla chiusa B(x; r)cl ha la medesima definizione, con  al posto
di <. Il diamtero di un insieme A ✓ X è
diam(A) = sup{d(x, y) | x, y 2 A}.
Un insieme si dice limitato se il suo diametro è < 1.
Uno spazio metrico è anche uno spazio topologico, prendendo come sottobase la famiglia delle palle aperte. Inoltre la topologia così ottenuta è T0 e T3
e soddisfa al primo assioma di numerabilità. Uno spazio metrico separabile è
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A. Algebra e topologia
anche secondo-numerabile: se D è un sottoinsieme denso e numerabile basta
prendere come base {B(x; q) | x 2 D ^ q 2 Q+ }.
Una successione (xn )n in uno spazio metrico (X, d) converge ad un x 2 X
se 8" > 0 9N 8n > N (d(xn , x) < "). Una successione si dice di Cauchy se
8" > 0 9N 8n, m > N d(xn , xm ) < ".
Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge
in X. In questo caso la metrica si dirà completa.