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Capitolo zero:
STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA
La STATISTICA è la scienza che si occupa di fenomeni collettivi che richiedono lo studio di un
grande numero di dati.
Il termine STATISTICA deriva dalla parola STATO, già gli antichi Romani facevano “censimenti” per
contare gli abitanti e per conoscere le loro caratteristiche: età, professione,ecc.
I censimenti sono indagini statistiche che riguardano l’intera popolazione residente nello stato.
Si chiama POPOLAZIONE STATISTICA l’insieme su cui si fa l’indagine statistica. Il termine
“popolazione” si usa anche quando tale insieme non è costituito da persone, ad esempio le auto
immatricolate in Italia nel 2011 potrebbero essere oggetto di una indagine statistica e quindi
costituire la “popolazione” oggetto dell’indagine.
Per ragioni economiche spesso le indagini statistiche riguardano un CAMPIONE e non l’intera
popolazione, in tal caso è essenziale che il campione sia rappresentativo altrimenti l’indagine
statistica darebbe risultati errati.
Esempio: per stimare quante persone vanno al cinema in un mese, non bisogna rilevare i dati nelle
vicinanze di una sala cinematografica perché il campione non sarebbe rappresentativo ( alcune
persone potrebbero percorrere quella strada proprio perché vanno al cinema!).
Un grave errore in questo senso è stato commesso negli Stati Uniti quando si stava facendo una
sondaggio telefonico, pre-elettorale, per capire quale dei due candidati alla Casa Bianca avesse
maggiore probabilità di vincere. Poiché in quegli anni, solo la popolazione più ricca e istruita aveva
un telefono in casa, il campione intervistato non era rappresentativo avendo privilegiato la parte
più abbiente della popolazione che era spesso repubblicana. Il risultato del sondaggio infatti, si
rivelo’ completamente errato. ( 1936- Landon ( repubblicano), Roosevelt ( democratico), vinse
Roosevelt mentre il sondaggio aveva previsto la vittoria di Landon)
Per effettuare una INDAGINE STATISTICA bisogna:
rilevare i dati,
fare lo spoglio dei dati e correggere, se possibile, eventuali errori,
elaborare i dati con strumenti matematici adatti
interpretare i risultati ottenuti
Il nostro studio riguarda prevalentemente gli ultimi due punti dell’indagine statistica:
l’elaborazione dei dati con strumenti matematici e l’interpretazione dei risultati dell’indagine
statistica.
Si dice UNITA’ STATISTICA ogni elemento della popolazione, di ciascuna unità statistica si studia
almeno un CARATTERE:
un CARATTERE QUALITATIVO
è espresso con attributi, detti modalità del
carattere:
sesso: maschio / femmina
colore dei capelli:
castano, rosso, biondo,…
un CARATTERE QUANTITATIVO è frutto di un
conteggio o di una misura ed è espresso con
un numero intero o con un numero reale:
paghetta settimanale(euro): [10, 20), [20,30)
numero di ore di lezione al giorno: 6, 8
2
Per studiare i dati statistici si costruiscono delle tabelle dove, accanto ad ogni modalità del
carattere, si riporta la frequenza di quella modalità.
Tali tabelle si chiamano:
SERIE se vi sono caratteri qualitativi
SERIAZIONI se vi sono caratteri quantitativi.
Si dice MUTABILE X , la tabella costituita dalle modalità qualitative e dalla relative frequenze (
assolute o relative o percentuali)
X
fa
x1
f1
x2
f2
x3
f3
Si dice VARIABILE X , la tabella costituita dalle modalità quantitative e dalla relative frequenze (
assolute o relative o percentuali)
X
fa
x1
f1
x2
f2
x3
f3
Noi studieremo prevalentemente le VARIABILI STATISTICHE e le seriazioni statistiche, ma vediamo
alcune serie significative come esempio di mutabili statistiche.
Tra le serie statistiche, le più importanti e diffuse sono le serie storiche:
la serie che descrive l’andamento del costo della benzina negli ultimi dieci anni, la serie che
descrive il numero di multe date dai vigili urbani nei primi sette giorni dell’anno in corso, ecc.
Esempio: serie storica della produzione annua di olio, in quintali, e rappresentazione grafica con il
diagramma cartesiano :
Anno
2003
2004
2005
2006
Produzione
In quintali
2.508.084
2.678.201
2.458.396
1.914.535
Esempio si di serie : serie delle materie scolastiche preferite dai ragazzi e dalle ragazze e loro
rappresentazione con diagramma a colonne
Materia preferita maschi femmine
Italiano
5
3
Storia
4
7
Geografia
4
2
Matematica
2
3
Scienze
6
4
Ed. Fisica
5
5
3
LE SERIAZIONI
Esempio 1 Con uno strumento, si è rilevato, per 40 minuti consecutivi, il numero delle particelle
cosmiche al minuto:
0
4
2
4
1
4
4
2
3
3
1
5
2
5
3
1
8
1
2
2
5
4
2
4
1
2
3
3
3
3
1
3
3
3
2
3
2
3
5
2
Possiamo chiederci:
Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto?
Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto?
Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente?
Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle al minuto ?
Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto?
Ad alcune domande si può rispondere anche con i dati grezzi, ad altre no.
La variabile statistica che dobbiamo studiare la indichiamo con X.
X ha come modalità il numero di particelle cosmiche rilevate al minuto, essa può assumere i valori interi
da 0 ( il valore minore rilevato) a 8 ( il valore massimo rilevato ), con una determinata frequenza assoluta.
Il RANGE dei valori è 8-0=8
Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza assoluta fa( il numero di volte che si è ottenuto quel valore)
Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza relativa fr = fa/n , n è il numero dei dati, in questo caso
n=40.
La frequenza può anche essere espressa in modo percentuale fr*100 %
Molto interessante è la frequenza cumulata: per ogni valore della variabile X , la frequenza cumulata é la
somma delle frequenze assolute minori o uguali al valore di X considerato.
In modo analogo si può costruire la tabella delle frequenze relative cumulate o di quelle percentuali
cumulate.
X
fa
fr
f%
fa cumulata
0
1
0,025
2,5%
1
1
6
0,15
15%
7
2
10
0,25
25%
17
3
12
0,3
30%
29
4
6
0,15
15%
35
5
4
0,1
10%
39
6
0
0
0%
39
7
0
0
0%
39
8
1
0,025
2,5%
40
Totale:
40
1
100%
40
numero dati
vale sempre 1
Istogramma che rappresenta la distribuzione della
frequenza assoluta del numero di particelle al minuto.
vale sempre 100
numero dei dati
Frequenza assoluta cumulata del
numero di particelle al minuto rilevate
4
Ora che i dati sono stati ordinati e rappresentati, possiamo rispondere ad alcune domande relative al
fenomeno su cui è stata fatta l’indagine statistica.
Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto? 0 (nessuna particella)
Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto? 8 particelle
Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente? 3 particelle
Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle ? 35 minuti
Per quanti minuti sono state rilevate più di 4 particelle al minuto? 40-35= 5 minuti
Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto?
circa 3 particelle al minuto
La variabile X appena studiata è numerica e discreta perché i valori che assume sono il risultato di
un conteggio.
La variabile Y che assume come valore l’altezza dei giocatori del Novara Calcio è numerica e
continua, perché i valori sono frutto di una misura.
Talvolta è necessario suddividere l’intervallo dei valori da rappresentare in classi.
Divideremo l’intervallo in classi della stessa ampiezza, il numero delle classi può variare tra 3 e 15,
solo in casi eccezionali il numero delle classi può arrivare a 20.
Per ottenere una buona distribuzione statistica si può usare la regola seguente:
se N è il numero dei dati, si calcola
e si approssima il risultato:
se i dati sono 80, con la formula si ottiene
= 8.9 → 8 classi
Esempio 2
Gli ottanta dati seguenti indicano le emissioni giornaliere di gas inquinante da un impianto
industriale espresse nella stessa unità di misura.
Il Range dei valori è R=31.8-6.2=25.6
Poiché i dati sono 80 decidiamo di dividere l’intervallo [6.2 , 31.8] in 7 parti uguali dette classi.
L’ampiezza di ciascuna classe è
a=(32-6.2)/7=3,7
NB: il valore maggiore è stato arrotondato per eccesso. A volte, prima di suddividere le classi si
aggiunge uno, per essere certi di avere tutti i dati distribuiti nelle 7 classi.
Quando la distribuzione statistica è suddivisa in classi, bisogna calcolare il valore centrale di ogni classe: classe [c,d[
5
Il valore centrale è (c+d)/2
Classe
Valore centrale
Fa
8.05
7
11.75
10
15.45
12
19.15
23
22.85
16
26.55
8
30.25
4
totale
80
Istogramma delle frequenze assolute :
i valori sull’asse x sono quelli centrali di ogni
classe
Fr
0.0875
0.125
0.15
0.2875
0.2
0.1
0.05
1
F%
8.75
12.5
15
28.75
20
10
5
100
F cumulata
7
17
29
52
68
76
80
80
Grafico delle frequenze cumulate, detto
anche “ogiva”
Sull’asse x vanno riportati i valori massimi di ogni
classe e sull’asse y la frequenza cumulativa della
rispettiva classe
Qual è il valor medio della distribuzione?
18,73
Indici di posizione centrale di una distribuzione di frequenze: valori medi
MODA: il dato, o la classe di dati, che ha maggiore frequenza. La moda si calcola sia con caratteri
qualitativi che con caratteri quantitativi.
La moda può non esistere (se tutti i dati o tutte le classi hanno la stessa frequenza) o non
essere unica ( se ci sono più dati o più classi con la massima frequenza)
la moda può essere molto lontana dal centro della distribuzione
la MODA è utile quando è importante conoscere quale sia il valore che si ottiene con maggiore
frequenza e si usa se, il dato o la classe, hanno una frequenza notevolmente superiore agli altri
dati o classi.
ESEMPIO: In una città l’orario dei negozi di alimentari è libero. Uno straniero appena giunto in città
chiede quale sia l’orario di apertura dei negozi di alimentari. Conviene rispondere indicando la
MODA cioè l’orario rispettato dalla maggior parte dei negozi di alimentari.
6
MEDIANA: è un valore che divide a metà i dati, ordinati in maniera crescente o decrescente. La
mediana si calcola con i caratteri quantitativi o con quelli qualitativi ordinabili ( ad esempio la
modalità titolo di studio è ordinabile, la modalità colore degli occhi non è ordinabile).
La MEDIANA non risente dei valori estremi perché si determina indicando il valore centrale
se la distribuzione ha un numero dispari di dati, oppure indicando la media aritmetica tra i
due valori centrali se la distribuzione ha un numero pari di dati.
La MEDIANA è l’indice centrale da considerare quando c’è molta variabilità tra i dati.
La MEDIANA
è il valore che divide a metà l’intervallo della distribuzione statistica e
corrisponde al cinquantesimo percentile e anche al secondo quartile. I quartili sono dei punti
che dividono l’intervallo dei dati in quattro parti, ognuna delle quali contiene il 25% dei dati.
ATTENZIONE: se la distribuzione e divisa in classi, si stima come mediana il valore centrale
della classe in cui cade il dato centrale ( o la media dei due dati centrali)
Valore
classe
centrale
fa fC
[155-160[
157,5
3
3
[160-165[
162,5
4
7
[165-170[
167,5
4
11
[170-175[
172,5
3
14
[175-180[
177,5
6
20
[180-185[
182,5
4
24
totale
24
Mediana= (x13+x12)/2 = (172,5+172,5)/2= 172,5
La MEDIA ARITMETICA è quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzioni lascia
invariata la somma. La media si calcola solo se i caratteri sono quantitativi.
La MEDIA ARITMETICA risente dei valori estremi della distribuzione e non conviene
utilizzarla quando c’è molta variabilità tra i dati .
LA MEDIA PESATA è la media aritmetica calcolata considerando i pesi ( la frequenza ) di
ogni xi
dove xi è il dato di indice i e pi il suo peso
Nel caso in cui i dati siano raggruppati in classi si usa il valore centrale di ogni classe:
xi è il valore centrale della classe i-esima ed fi la frequenza della classe i-esima
7
Indici di variabilità di una distribuzione di frequenze
IL RANGE o CAMPO DI VARIAZIONE: la differenza tra il massimo valore dei dati e il minimo valore
dei dati oppure la differenza tra l’estremo superiore dell’ultima classe e l’estremo inferiore della
prima classe se i dati sono suddivisi in classi. NB: se tutti i dati sono uguali RANGE=0
Lo SCARTO è la differenza tra ogni valore della distribuzione e la media aritmetica xi - .
Lo SCARTO SEMPLICE MEDIO è la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti
S=
La VARIANZA è il valor medio degli scarti al quadrato
o
Se i dati sono raggruppati in classi si considera come xi il valore centrale di ogni classe
o
Lo SCARTO QUADRATICO MEDIO o DEVIAZIONE STANDARD è la radice quadrata della varianza
Quando i dati sono suddivisi in classi, si utilizza come xi il valore centrale di ogni classe
Il COEFFICIENTE DI VARIABILITA’ ( che si può calcolare solo se la media non è nulla) è il rapporto
tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica in valore assoluto σ/|μ| e viene espresso in
percentuale. E’ un numero puro che permette di confrontare tra loro la variabilità di diverse
distribuzioni statistiche.
Esempio:
Giacomo ha preso questi voti: 5,7,6,8,9,7 il coeff. di variabilità è σ/|μ|=1,29/7=0,18=18%
Luca ha preso questi voti: 4,5,6,5,6 il coeff. di variabilità è σ/|μ|=0,75/5,2=0,14=14%
Marco ha preso questi voti : 7,7,7,7,7,7,7 il coeff. di variabilità è σ/|μ|=0/7=0
TABELLE CONSIGLIATE PER CALCOLARE LO SCARTO SEMPLICE MEDIO E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO
X
…
…
Scarto Valore assoluto
(xi-μ) dello scarto
|xi - μ |
-8,5
…….
0
Scarti al
quadrato
(xi-μ)2
CLASSI
fi
Xi valore
centrale
della
classe
xi*fi
| xi – μ |*fi
(xi-μ)2*fi
8,5
72,75
0-4
5
2
………….
………….
4-8
7
6
Tot.
27
189,5
tot
SCARTO SEMPLICE MEDIO : S= | x1 - μ |+………………| xn - μ | = 27/6 =4,5 (6 è il numero dei dati)
N
8
=
SCARTO QUADRATICO MEDIO :
= 5,6
DISTRIBUZIONE SEMPLICE: un esempio
Si rileva la temperatura alle ore 12 ( mezzogiorno) in una certa località, per sette giorni consecutivi
giorni
Temperature in °C
lunedì
-3
Media μ=(-3+1+0-1+2-2+3)/7=0
Mediana: (dispongo i dati in ordine crescente: martedì
1
3,-2,-1,0,1,2,3) = 0
mercoledì
0
Range: 3-(-3)=6
giovedì
-1
S=(3+1+0+1+2+2+3)/7=1,71
venerdì
2
σ 2=(9+1+0+1+4+4+9)/7=4
sabato
-2
σ = 2 σ/|μ| non si può calcolare, media nulla
domenica
3
DISTRIBUZIONE PONDERATA: un esempio
Costruire la tabella statistica e determinare la media, la mediana,la moda, il range, lo scarto
semplice medio, la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variabilità relativi alla
rilevazione statistica: su un campione di 100 famiglie si studia il numero di automobili di proprietà
n. auto di
proprietà
fa
fr
f%
fc
scarto
0
1
2
3
Tot.
15
48
29
8
100
0.15
0.48
0.29
0.8
1
15%
48%
29%
8%
100
15
63
92
100
-1.3
-0.3
0.7
1.7
Moda: 1 auto
Media: μ=(0*15+1*48+2*29+3*8)/ 100 =1.3
Mediana: è la media tra il 50esimo e il 51esimo dato
(1+1)/2=1
Range: min 0 , max 3 R=3-0=3
S=[|-1.3|*15+|-0.3|*48+|0.7|*29+|1.7|*8]/100=0,678
Varianza:
σ2=[(-1.3)2*15+(0.3)2*48+(0.7)2*29+(1.7)2*8]/100=0.67
Scarto quadratico medio σ=√0.67=0.82 ; σ/|μ|=0.82/1.3=0,63=63%
DISTRIBUZIONE PER CLASSI: un esempio
Costruire la tabella statistica delle altezze, suddivise in classi, degli alunni di una classe
secondaria e calcolare: la media, la moda , la mediana, il range, la varianza,lo scarto
quadratico medio
Classi di
altezza
[135-140[
[140-145[
[145-150[
[150-155[
tot
v.c.
137,5
fa
4
142,5 12
147,5 9
152,5 3
28
fr
f%
fc
Scarto *fa
0.14
0.43
0.32
0.11
1
14
43
32
11
100
4
16
25
28
-6,96*4
-1.96*12
3.04*9
8.04*3
circa 0
Moda: la classe [140-145[
Media: 137,5*4+142,5*12+147,5*9+152,5*3=144,46
Range : R= 155-135=20
σ2=[(6.96)2*4+(1.96)2*12+(3,04)2*9+(8,04)2*3]/28
=18.46
σ= √18.46=4.2 ; σ/|μ|=4.29/144.46=0,03%
Mediana= 142,5
9
10
19) I voti riportati in un compito di matematica sono:
2 4 7 5 4 3 7 5 3 5 7 7
5 5 4 6 6 5
6 8 6 6 5 4
6 6 7 8 8 6
Costruire una tabella con le frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate.
20) I dati relativi al numero di componenti per un campione di famiglie sono riportati in tabella:
N. componenti
1
2
3
4
5
6
7
totale
N. famiglie
160
257
381
478
127
61
37
1501
Calcola la frequenza relativa, la frequenza cumulata e la
frequenza percentuale, la deviazione standard e il coefficiente di
variabilità.
Quante famiglie sono formate da più di 4 persone?
Qual è la percentuale di famiglie formate da più di 4 persone?
21 )All’esame di stato 45 studenti hanno conseguito i voti seguenti:
62
83
92
100
92
100
92
90
84
86
Costruire una tabella con le
92
82
77
84
88
frequenza assolute e relative
96
86
83
88
92
riportando:
82
84
86
90
83
a) i dati divisi in 5 classi
81
88
79
76
91
b) i dati divisi in 9 classi
96
100
92
90
86
82
78
93
65
69
82
78
93
66
69
22) Si considerino li dati relativi alle altezze di 28 studenti :
163 163 175 170 175 171
158 171 162 173 164 180
150 163 177 149 183 183
168 168 178 181 147 164 174 180 158 171
Dopo aver raggruppato i dati in classi di frequenza pari a 10cm ( 140-149…) costruire i grafici delle
frequenze assolute, relative e cumulate.
Si chiede inoltre :
a. Quanti studenti sono alti meno di 160cm?
b. Quale classe contiene il maggior numero di dati?
[a. 5; b. 170-179]
23) I dati relativi al peso corporeo di 28 studenti di una classe sono i seguenti:
67 52 74 51 84 52 77
62 52 82 58 88 59 79
48 74 47 61 49 54 81
45 59 50 77 51 60 48
Dopo aver raggruppato in classi di ampiezza pari a 5Kg , calcolare:
a)Frequenza assoluta, b)Frequenza relativa c)Frequenza percentuale d)Frequenza cumulata
11
e) range, f) scarto semplice medio g) varianza h) deviazione standard i) coefficiente di
variabilità
24) Nella corsa dei 200m , 30 ragazzi hanno fatto registrare i tempi misurati sino ai decimi di
secondo:
29,3
31,2
28,5
37,6
30,9
26,0
38,0
37,0 22,8 35,2
35,8 37,7
29,6
26,9
36,9
39,6
29,9
30,0
36,6
34,1 38,2 35,0
28,8
32,4
31,8
38,1
34,0
36,0
37,8
36,1
Costruire una tabella raggruppando i dati in 5 classi : determinare frequenza, frequenza relativa e
frequenza percentuale, media, moda , mediana, range, scarto semplice medio, varianza,deviazione
standard, coefficiente di variabilità . Disegnare il diagramma delle frequenze. Determinare quale
percentuale dei ragazzi ha corso i 200 m in meno di 29 secondi.
25) Le temperature massime in gradi Celsius registrate in una località sono
Tracciare l’istogramma, il poligono delle
frequenze, il poligono delle frequenze
cumulate. Determinare moda, media,
mediana, deviazione standard
ESERCIZIO 1-Un entomologo sta studiando un bruco divoratore di foglie; esaminando 300 foglie ha trovato
dei bruchi secondo i numeri riportati in tabella
n° dei bruchi
0
1
2
3
n° delle foglie 167 98
30
5
Calcolare il numero medio di bruchi per foglia e la relativa deviazione standard.
[ media=173/300 = 4%, σ2=(263/300)-(173/300)2 ; σ= radq(48971/90000)= 0,74]
ESERCIZIO 2- Si consideri il numero di giorni che un unguento impiega per far guarire di una dermatite:
n° giorni
1 2 3 4
5
6
frequenza
2
7 9 27 11 5
Determina la media e la varianza. [media= 236/61=3,87; σ 2=998/61-(3,87)2=1,38]
ESERCIZIO 3- Due ditte pubblicizzano le loro pile “ministilo “ a 4,5 Volt e entrambe dicono che le pile hanno
una carica di 1,25 A/h. Si scelgono due campioni di 50 pile da ciascuna ditta e si compila la tabella delle
frequenze assolute con cui sono stati osservati i valori di carica: carica in A/h 1,15
1,20
1,25 1,30
Prima ditta
1
16
25
8
Seconda ditta
17
0
9
24
Stabilire per quale ditta il valore medio di carica è più attendibile.
[prima ditta media=1,24 A/h, σ2=0,065/50=0,0013, σ=0,036---- seconda ditta media=1,24 A/h, σ2= 0,045,σ=0,067]
