ricavo, utile - matematicallegra.it

L’ECONOMIA E LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE
(RICAVO E PROFITTO)
Prof.ssa Angela Donatiello
1
LA FUNZIONE DEL RICAVO
Chiamiamo RICAVO TOTALE il prodotto della quantità venduta per il prezzo unitario di
vendita.
RICAVO TOTALE
MERCATO DI MONOPOLIO:
In un mercato di monopolio il singolo
MERCATO LIBERO:
produttore che detiene il monopolio
In un mercato libero nessun produttore o
può fissare il prezzo a sua discrezione,
consumatore può influenzare il prezzo.
tenendo conto del fatto che un
Esso è stabilito dal mercato, ossia
aumento di prezzo comporterà una
dall’incontro tra domanda e offerta.
diminuzione della domanda e una
diminuzione di prezzo comporterà un
p = prezzo di equilibrio tra domanda e
aumento della domanda.
offerta
p = funzione di vendita = funzione
Il prezzo è dunque un valore fisso.
inversa della domanda
R(q) = p q
Il prezzo è variabile, in quanto
funzione della quantità domandata
R(q) = p(q) q
Prof.ssa Angela Donatiello
2
Esempio:
Ricavo in regime di concorrenza perfetta
Se la domanda di un certo bene è data dalla funzione : d(p) = 5000 – 2p e la sua offerta è
data dalla funzione h(p) = 2p – 20, il prezzo di equilibrio si avrà quando l domanda è
uguale all’offerta. In tal caso:
5000 – 2p = 2p – 20
- 4p = -5000 – 20
4p = 5020
p = 5020/4 = 1255
Il ricavo pertanto sarà R(q) = p q = 1255q
Ricavo in regime di monopolio
Se un monopolista decide che il prezzo di vendita della sua merce è p = 1000 – 25 q, allora
il ricavo sarà dato da R(q) = (1000 – 25q) q = 1000q – 25 q2
Quest’ultima funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso.
Il massimo ricavo si ha pertanto nel vertice con q = 20.
Prof.ssa Angela Donatiello
3
RICAVO MEDIO E MARGINALE
Allo stesso modo di come si è visto per i costi, anche nel caso del ricavo è possibile
calcolare il ricavo medio, ossia il ricavo unitario.
Rm =
!(!)
!
rapporto tra la funzione ricavo e la quantità di merce venduta
Nel caso di mercato libero, il ricavo medio coinciderà con il prezzo unitario, nel caso di
monopolio, coinciderà invece con la funzione di vendita o funzione del prezzo.
Esempio:
R(q) = 450 q allora Rm =
!(!)
!
Prof.ssa Angela Donatiello
=
!"#!
!
= 450
4
Il ricavo marginale indica invece l’incremento di ricavo per la vendita di una unità
infinitesimale, si determina pertanto con la derivata della funzione ricavo.
Rma = R’
Nel caso discreto e nel caso di funzioni non derivabili, si parla di ricavo marginale
unitario, ossia la variazione di ricavo con un incremento di 1 unità in più venduta.
Rma = R(q + 1) – R(q)
Prof.ssa Angela Donatiello
5
LA FUNZIONE DEL PROFITTO
Qualunque azienda produce beni
perché vuole ricavarne profitto dalla
lorovendita.
L’obiettivo principale di un’impresa
è sempre stabilire quale quantità di
bene è opportuno produrre per
raggiungere il massimo profitto,
minimizzandoicosti.
Anche in questo caso verranno analizzati dei modelli matematici che ben rappresentano la
situazionereale,pursesemplificati.
Ilprofittodiun’azienda,semplificandolecose,dipendedallaquantitàdimercevenduta,dal
prezzoapplicatoedaicostisostenutiperlaproduzione.
Prof.ssa Angela Donatiello
6
Si definisce PROFITTO o UTILE di un’impresa, e lo indicheremo con la lettera U, la
differenza tra il ricavo totale e il costo totale.
U(q) = R(q) – C(q)
Esempio:
Supponiamo che un’impresa per fabbricare ombrelli sostenga costi fissi mensili di € 2000
e costi variabili pari a € 1,20 per ogni ombrello prodotto. Supponiamo poi che la sua
capacità produttiva sia di 2500 ombrelli alla settimana e che riesca a vendere sul mercato
l’intera produzione al prezzo unitario di € 6.
Quale guadagno avrà l’impresa?
Costo totale: C(q) = Cv + CF = 1,20q + 2000
Ricavo totale: R(q) = 6q
Utile: U(q) = R(q) – C(q) = 6q – 1,20q – 2000 = 4,80q – 2000
Rappresentiamo su due diagrammi cartesiano la retta dell’utile e poi le rette di costi e
ricavi e analizziamoli.
Prof.ssa Angela Donatiello
7
La retta interseca l’asse x
nel punto q = 416. Per
0 ≤ 𝑞 ≤ 416 il profitto è
negativo, per cui
l’impresa sarà in perdita.
Per 416 ≤ 𝑞 ≤ 2500 il
profitto è positivo, per
cui l’impresa avrà un
utile. In corrispondenza
di q = 2500 (produzione
massima consentita dai
vincoli tecnici) si avrà il
massimo utile.
Prof.ssa Angela Donatiello
8
E’ possibile analizzare la stessa situazione e pervenire ai medesimi risultati anche
mediante un diagramma che confronti la retta dei costi e quella dei ricavi. Un simile
diagramma prende il nome di diagramma di redditività.
Quando i costi supero i
ricavi si ha una zona di
perdita, quando invece i
ricavi superano i costi si ha
una zona di utile. Il punto
di incontro tra costi e
ricavi, ossia il punto in cui
l’impresa passa da una
zona di perdita ad una di
utile, viene detto break –
even point o punto di
equilibrio tra costi e ricavi.
Prof.ssa Angela Donatiello
9
RICERCA DEL MASSIMO PROFITTO
Nel caso dell’esempio precedente in cui costi, ricavi e profitti sono tutti rappresentati da
rette, il massimo profitto si avrà necessariamente in corrispondenza della massima
produzione consentita.
In alcuni casi, però, i costi o il ricavo possono essere rappresentati da modelli parabolici,
pertanto il massimo profitto si determinerà con i metodi dell’analisi matematica.
Esempio: Supponiamo che un’azienda sostenga costi di produzione espressi dalla
seguente relazione C(q) = q2 – 106q +3190, dove q è la quantità prodotta e venduta. Se il
prezzo di vendita sul mercato è p = 20, in corrispondenza di quale quantità prodotta si
avrà il massimo utile?
Costo totale: C(q) = q2 – 106q +3190
Ricavo totale: R(q) = 20q
Utile: U(q) = R(q) – C(q) = 20q - q2 + 106q – 3190 = - q2 + 126q – 3190
Troviamo innanzitutto i valori di q per cui i costi uguagliano i ricavi, ossia i punti di
equilibrio (break - even point)
Prof.ssa Angela Donatiello
10
C(q) = R(q)
q2 – 106q +3190 = 20q
per q = 35 e q = 91.
Break – even point: q = 35 e q = 91
quindi
q2 – 126q +3190 = 0 che ha soluzione
quando C(q) = R(q)
Se C(q) > R(q) allora q2 – 106q +3190 > 20q ossia q2 – 126q +3190 > 0
Tale disequazione è verificata per q < 35 v q > 91 , pertanto in corrispondenza di questi
valori si avrà un perdita, mentre per valori interni si avrà un utile.
Ricapitolando:
C(q) = R(q) con q = 35 e q = 91
C(q) > R(q) con q < 35 v q > 91
C(q) < R(q) con 35 < q < 91
break – even point
zona di perdita
zona di utile
Prof.ssa Angela Donatiello
11
Prof.ssa Angela Donatiello
12
Il massimo profitto si cerca determinando la derivata della funzione dell’utile:
U’ = – 2q + 126
Ponendo la derivata uguale a zero si determinano i punti stazionari: U’ = 0
– 2q + 126 = 0 quindi q = 63
Si studia infine la positività:
U’ > 0
63
– 2q + 126 > 0 per q < 63
Per q = 63 si ha il massimo utile. Il valore del massimo utile è: U(q) = - q2 + 126q – 3190 =
= - (63)2 + 126(63) – 3190 = 779
Prof.ssa Angela Donatiello
13
Esercizi:
Una torrefazione vende caffè a €3,50 il kg. Il caffè, allo stato originale, ha un costo di €2,90
il kg, cui vanno aggiunte spese fisse giornaliere di €180. Tenendo conto che la quantità
massima che si può tostare è di 500 kg al giorno, determina:
- la funzione del costo e la funzione ricavo;
- il break – even point
- i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l’impresa sarà in perdita;
- la quantità giornaliera da produrre per consentire alla torrefazione di ottenere il
massimo utile e l’ammontare di tale utile.
Una segheria può lavorare fino a 500 quinatli di truciolato di legname in una settimana,
sostenendo spese fisse pari a € 750 settimanali e spese quantificabili in € 5 per ogni
quinatle lavorato. Il prezzo di vendita è così stabilito: € 40 al quintale diminuito, in euro,
del 10% del numero dei quintali prodotti e pronti per la vendita. Determina:
- la funzione costo e la funzione ricavo;
- il punto di equilibrio tra costi e ricavi;
- i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l’impresa sarà in perdita;
- la quantità di legname che deve essere prodotta per consentire alla segheria di ottenere
il massimo utile e l’ammontare di tale utile.
Prof.ssa Angela Donatiello
14
Bibliografia:
Re Fraschini, Grazzi, Spezia, Matematica per l’economia, ATLAS, 2007
Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.rosso, Zanichelli, 2013
Prof. Pasca Di Magliano, Lezioni di Economia Politica, 2015
Prof. Luigi Bosco, Il Mercato di Concorrenza perfetta, Lezioni di Microeconomia,
Università degli Studi di Siena
• Il Mercato, ITC Calamandrei:
http://www.itccalamandrei.it/attachments/145_domanda-e-offerta.pdf
•
•
•
•
Prof.ssa Angela Donatiello
15