Matrici - Andrea Asta

> Definizione di matrice <
Dati due numeri naturali m e n
si definisce matrice di tipo (m,n)
l’insieme di m•n numeri reali
disposti ordinatamente su
m righe orizzontali e n colonne verticali
Se m = n si ha una
matrice quadrata di ordine m
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ a31
⎢
⎢ ...
⎢⎣ am1
a12
a22
...
...
a32
...
...
am 2
...
...
a1n ⎤
a2 n ⎥⎥
a3n ⎥
⎥
... ⎥
amn ⎥⎦
> Elementi di una matrice <
Tutti i numeri della matrice sono detti elementi e sono caratterizzati da una
coppia di indici: il primo indica la riga
e il secondo indica la colonna.
La numerazione degli indici
inizia in alto a sinistra.
Per una generica matrice A si scrive
A = [aik ] 1 <= i <= m 1 <= k <= n
> Matrici particolari <
MATRICE RIGA
MATRICE COLONNA
MATRICE NULLA
A(1,n)
A(m,1)
Z = [zik], zik = 0
> Elementi corrispondenti <
a xy ∈ A ∧ bwz ∈ B
a xy corrispond ente bwz ↔ x = w ∧ y = z
> Relazione tra matrici <
MATRICI UGUALI
MATRICI SIMILI
MATRICE OPPOSTA
TRASPOSTA
Scambio ordinato
di righe e colonne
A( m , n ) = B ( m , n ) ↔ aik = bik
A( m , n ) ≈ B ( r , s ) ↔ m = r ∧ n = s
A = [aik ] ↔ − A = [− aik ]
A = [aik ] ↔ AT = [a ' ki ]
1
> Matrici quadrate <
DIAGONALI
Principale: Insieme di tutti gli elementi che hanno i due indici uguali
Secondaria: Insieme di tutti gli elementi i cui indici hanno somma n+1
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢a31
⎢
⎣a41
a12
a22
a13
a23
a32
a42
a33
a43
a14 ⎤
a24 ⎥⎥
a34 ⎥
⎥
a44 ⎦
MATRICE DIAGONALE
Tutti gli elementi che non fanno parte della diagonale principale sono nulli.
i ≠ k → aik = 0
MATRICE UNITA’ O IDENTICA (In)
Matrice diagonale in cui gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1.
Il numero di Kronecker riassume i possibili valori di questa matrice:
⎧i = k → 1
⎩i ≠ k → 0
δ ik = ⎨
MATRICE TRIANGOLARE
Matrice in cui gli elementi che si trovano al di sopra o al di sotto della
diagonale principale sono nulli. Nel primo caso la matrice è triangolare
inferiore, nel secondo triangolare superiore.
i > k → aik = 0
Triangolare superiore
i < k → aik = 0
Triangolare inferiore
MATRICE SIMMETRICA
Matrice in cui gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono
uguali.
aik = aki
MATRICE EMISIMMETRICA
Matrice in cui gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono
uguali e opposti.
aik = − aki
2
> Algebra delle matrici <
Il calcolo matriciale definisce alcune operazioni eseguibili
sulle matrici e le loro proprietà. Le principali operazioni tra matrici sono
somma, differenza, prodotto e potenza.
> Somma di matrici <
CONFORMABILITA’
I due operandi sono matrici simili.
DEFINIZIONE
Date due matrici A e B di tipo (m,n), si definisce somma di A e B (A+B) la
matrice di tipo (m,n) i cui elementi sono la somma algebrica degli elementi
corrispondenti di A e B.
S = A + B = [aik + bik ]
PROPRIETA’
Commutativa
Associativa
Elemento neutro
Somma con l’opposto
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
Matrice nulla (Z)
A + (-A) = (-A) + A = Z
> Differenza di matrici <
DEFINIZIONE
La differenza tra due matrici A e B è uguale alla somma di una con l’opposta
dell’altra.
D = A − B = A + (− B) = [aik + (−bik )] = [aik − bik ]
> Prodotto matrice - scalare <
CONFORMABILITA’
Il prodotto di una matrice per uno scalare è sempre possibile.
DEFINIZIONE
Il prodotto di una matrice A per uno scalare β è la matrice dello stesso tipo di
A, in cui ogni elemento è moltiplicato per la costante β.
P = β ⋅ A = A ⋅ β = [ β ⋅ aik ]
PROPRIETA’
Distributiva
β (A + B) = βA + βB
α ( A + B) = α ([aij ] + [bij ]) = α ([aij + bij ]) = [α (aij + bij )] = [αaij + αbij ] = [αaij ] + [αbij ] =
= αΑ + αΒ
Associativa
Elemento neutro
Inversione
(γβ)A = γ(βA)
1●A=A
(-1) ● A = -A
3
> Prodotto riga-colonna <
CONFORMABILITA’
Righe matrice colonna = Colonne matrice riga A(1,s) ● B (s,1)
DEFINIZIONE
Il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna dà come risultato un
numero reale, quindi uno scalare o una matrice di tipo (1,1).
⎡ s
⎤
P = A ⋅ B = [a11b11 + a12 b21 + ... + a1s bs1 ] = ⎢∑ a1 j b j1 ⎥
⎣ j =1
⎦
> Prodotto tra matrici <
CONFORMABILITA’
A è di tipo (m,s) e B è di tipo (s,n), ossia se il numero di colonne di A equivale
al numero di righe di B.
DEFINIZIONE
Date le matrici A(m,s) e B(s,n), si definisce prodotto tra A e B la matrice del
tipo (m,n) il cui generico punto pik si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A
per la k-esima colonna di B.
PROPRIETA’
Distributiva a destra
Distributiva a sinistra
Associativa
Trasposta
A (B + C) = AB + AC
(A + B) C = AC + BC
(AB)C = A(BC)
(AB)T = AT + BT
PROPRIETA’ NON VALIDE
Commutativa
Annullamento del prodotto
AB ≠ BA
Non solo 0●A o A●0 danno come risultato Z
ELEMENTO NEUTRO
L’elemento neutro del prodotto di matrici è la matrice unità del tipo opportuno.
A(m,n)In = A
InA(n,m) = A
Dimostrazione
Si prenda a caso un generico elemento cik del prodotto, esso sarà uguale a
cik = ai1δ1k + ai 2δ 2 k + ... + aik δ kk + ... + ainδ nk
Ricordando la definizione di δ, risultano nulli tutti gli elementi tranne quello
contenente δkk che risulta essere uguale ad aik, ossia l’elemento originale di A.
> Potenza di una matrice <
La potenza di una matrice A si sviluppa come prodotto ripetuto.
Condizione necessaria e sufficiente per l’eseguibilità dell’operazione
l’esponente maggiore o uguale a 2.
è
4
> Determinanti <
DEFINIZIONE
Il determinante è un valore numerico assegnato ad ogni matrice quadrata.
Esso viene indicato in questi modi
det A = A =
a11
a12
...
a1n
a21
...
a22
...
...
...
a2 n
...
an1
an 2
...
ann
ORDINE
L’ordine del determinante indica l’ordine della matrice quadrata al quale si
riferisce.
> Determinanti di 1° ordine <
Il determinante di 1° ordine è, per definizione, equivalente all’unico elemento
della matrice.
A = [a11 ] → det A = A = a11 = a11
> Minore complementare <
Valore numerico assegnato ad ogni elemento di una matrice.
Il minore complementare è definito come il determinante che assume la
matrice sopprimendo la riga e la colonna nella quale si trova l’elemento.
> Complemento algebrico <
Il complemento algebrico di un elemento di una matrice è definito come il
minore complementare dell’elemento preceduto da un segno più se la somma
degli indici dell’elemento è pari, o da un segno meno se questa somma è
dispari.
Ad esempio l’elemento x11 ha complemento algebrico positivo perché 1+1 = 2
che è pari, mentre l’elemento x12 ha complemento algebrico negativo perché 1
+ 2 = 3 che è dispari.
Per ricordare il segno dei complementi algebrici si utilizza la cosiddetta regola
della scacchiera: i complementi algebrici seguono infatti questo schema:
⎛+
⎜
⎜−
⎜+
⎜
⎜ ...
⎝
−
+
+
−
−
+
...
...
... ⎞
⎟
... ⎟
... ⎟
⎟
... ⎟⎠
5
> Determinanti di n-esimo ordine <
Il determinante generico di ordine N si ottiene come somma dei prodotti degli
elementi di una linea (riga o colonna) qualsiasi per i rispettivi complementi
algebrici.
Si può verificare sperimentalmente che la scelta della linea non influenza il
risultato del determinante.
i= n
det A(n, n) = ∑ a xi Axi
1≤ x ≤ n
i =1
i=n
det A(n, n) = ∑ aix Aix
1≤ x ≤ n
i =1
> Casi particolari <
I determinanti di 2° e 3° ordine sono casi particolari della regola generale.
SECONDO ORDINE
Ecco lo sviluppo del determinante di una generica matrice di ordine 2 rispetto
alla prima riga
a11
a21
a12
= a11 A11 − a12 A21 = a11a22 − a12a21
a22
Si nota che un determinante di ordine 2 è uguale alla differenza tra il
prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto di quelli della
diagonale secondaria.
TERZO ORDINE
Il calcolo del determinante di terzo ordine è semplificato dalla regola di
Sarrus: a destra della matrice si ricopiano le prima e seconda colonna. Il
determinante si ottiene come somma del prodotto degli elementi della
diagonale principale e delle sue due parallele, a cui si sottrae la somma del
prodotto degli elementi della diagonale secondaria e delle sue parallele
a11
a12
a13 a11 a12
a 21
a31
a 22
a32
a 23 a 21 a 22 =
a33 a31 a32
= a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a13 a 22 a31 − a11 a 23 a32 − a12 a 21 a33
Si può verificare che questa formula è corretta calcolando il determinante nel
modo generico.
6
> Proprietà dei determinanti <
Le proprietà dei determinanti consentono di semplificare notevolmente i calcoli.
DETERMINANTE DELLA TRASPOSTA
Il determinante di una matrice equivale a quello della propria trasposta.
det A = det AT
1. LINEA NULLA
Se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è nullo.
2. MATRICE UNITA’
Il determinante della matrice unità, di qualsiasi ordine, è 1.
3. PRODOTTO CON SCALARE
Moltiplicando una linea di per uno scalare α, anche il determinante è
moltiplicato per α.
αa11
αa12
a21
a22
...
...
an1
an 2
...
...
αa1n
...
...
...
a2 n
= αa11 A11 + αa12 A12 + .... + αa1n A1n =
ann
= α ( a11 A11 + a12 A12 + .... + a1n A1n ) = α
a11
a12
...
a1n
a21
...
a22
...
...
...
a2 n
...
an1
an 2
...
ann
4. SOMMA DI MATRICI RIGA O COLONNA
Se in una matrice quadrata una riga (o una colonna) è la somma di due matrici
riga (o colonna), il suo determinante è la somma dei due determinanti che si
ottengono sostituendo a quella riga (o colonna), rispettivamente le matrici
riga (o colonna) di cui è somma.
det[ A1 ,..., Ai + B,..., An ] = det[ A1 ,..., Ai ,..., An ] + det[ A1 ,..., B,..., An ]
5. LINEE CONTIGUE UGUALI
Se una matrice ha due linee contigue uguali, il suo determinante è nullo.
6. SCAMBIO DI LINEA
Se si scambiano tra loro due righe (o due colonne), il determinante cambia di
segno.
7. LINEE PROPORZIONALI
Se due linee parallele sono uguali o proporzionali, il determinante è nullo.
Questa è una conseguenza delle proprietà 3,5,6.
7
8. SOMMA DI UNA LINEA AD UN’ALTRA
Se agli elementi di una riga (o colonna) si sommano quelli corrispondenti di
un’altra riga (o colonna), tutti moltiplicati per una stessa costante, il
determinante non cambia.
det[..., Ai ,..., Ak ,...] =det[..., Ai + α Ak ,..., Ak ,...]
Per dimostrare questa proprietà si parte dalla tesi e si utilizza la proprietà 4,
quindi la proprietà 7 che annulla uno degli addendi e porta come risultato
l’ipotesi della dimostrazione.
9. COMBINAZIONE LINEARE
Se una linea è in combinazione lineare di due o più altre linee parallele, il
determinante è nullo.
Con combinazione lineare si intende una relazione che intercorre tra gli
elementi.
1
2
−1
2+ 5
4+ 2
π −2
5
2
π
Relazione
A = 2A1 + A3
2
10. TEOREMA DI BINET
Il determinante del prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine è
uguale al prodotto dei determinanti delle matrici.
A⋅ B = A ⋅ B
11. MATRICI QUADRATE E TRIANGOLARI
Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli
elementi della diagonale principale.
Stesso discorso vale per le matrici diagonali, che sono matrici triangolari
particolari.
8
> Matrice inversa <
Si definisce matrice inversa di una matrice quadrata A di ordine n, una
matrice che, se esiste, è quadrata, dello stesso ordine di A, si indica con A-1 e
soddisfa la condizione
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n
UNICITA’
La matrice inversa, se esiste, è unica per una matrice.
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo che A’ e A’’ siano matrici diverse ed entrambe inverse di A.
A ⋅ A' = I n
A ⋅ A '' = I n
A ⋅ A ' = A ⋅ A ''
A ' = A ''
che è in contraddizione con l’ipotesi.
MATRICI INVERTIBILI
Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia invertibile è che il
suo determinante sia diverso da zero.
Dimostrazione della condizione necessaria
Sapendo che la matrici A●A-1 e In sono equivalenti, anche i loro determinanti
lo saranno. Ricordando che il determinante della matrice unità è 1 e utilizzando
il teorema di Binet, si ottiene che
A ⋅ A −1 = I n
A ⋅ A −1 = 1
A ⋅ A −1 = 1
A −1 =
1
A
Il risultato dell’espressione perde di
significato se il determinante di A è
uguale a zero.
Pertanto si può dire che una condizione
necessaria perché esista l’inversa di una
matrice è che il suo determinante sia
diverso da zero.
9
DETERMINAZIONE DELL’INVERSA
Data una matrice A, si indica con A* la matrice formata dai complementi
algebrici degli elementi di A.
La trasposta di questa matrice gode di questa proprietà:
⎡ a11
⎢a
*
A ⋅ AT = ⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣an1
a12
...
a22
...
...
an 2
...
...
a1n ⎤ ⎡ A11
a2 n ⎥⎥ ⎢⎢ A12
⋅
... ⎥ ⎢ ...
⎥ ⎢
ann ⎦ ⎣ A1n
A21
...
A22
...
...
A2 n
...
...
An1 ⎤ ⎡ A
⎢
An 2 ⎥⎥ ⎢ 0
=
... ⎥ ⎢ ...
⎥ ⎢
Ann ⎦ ⎣⎢ 0
0
A
...
...
...
...
0
...
0⎤
⎥
0⎥
... ⎥
⎥
A ⎦⎥
Possiamo esprimere questo risultato come una matrice unità di ordine n
moltiplicata per uno scalare |A|.
⎡A
⎢
⎢0
⎢ ...
⎢
⎢⎣ 0
0
A
...
...
...
...
0
...
0⎤
⎥
0⎥
= A ⋅ In
... ⎥
⎥
A ⎥⎦
Possiamo pertanto scrivere che
A ⋅ AT* = AT* ⋅ A = A ⋅ I n
Definiamo ora una nuova matrice, ottenuta dividendo ogni elemento della
trasposta di A* per il determinante di A.
1 *
⋅ AT
A
Supponiamo che questa matrice sia esattamente l’inversa di A.
Proviamo quindi a confermare la tesi moltiplicandola per A: se il risultato è
quello atteso, otterremo una matrice unità.
⎞
⎛ 1
⎜ ⋅ AT* ⎟ ⋅ A = 1 ( AT* ⋅ A) = 1 ⋅ A ⋅ I n = I n
⎟
⎜ A
A
A
⎠
⎝
Ricordando che il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa,
proviamo a verificare che anche il secondo fattore per il primo ci fornisce la
matrice inversa.
⎛ 1
⎞ 1
1
*
⎜
A⎜ ⋅ AT ⎟⎟ = ( A ⋅ AT* ) = ⋅ A ⋅ I n = I n
A
⎝ A
⎠ A
Si nota quindi che la nostra ipotesi è corretta, possiamo affermare che l’inversa
di una matrice A è, se |A| è diverso da 0, la matrice
1 *
⋅ AT
A
10
CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA
Schema riassuntivo per il calcolo dell’inversa di una generica matrice quadrata
A di ordine n.
CALCOLO DELL’INVERSA
INIZIO
CALCOLO DI
|A|
|A| = 0
Sì
A-1
non esiste
No
CALCOLO DI
A*
CALCOLO DELLA
TRASPOSTA di A*
DIVISIONE DI
OGNI ELEMENTO
DI A*T PER |A|
FINE
11
> Sottomatrici <
Data una matrice A di tipo (m,n), possiamo creare una sottomatrice di A
scegliendo arbitrariamente p righe e q colonne.
Se la matrice estratta è quadrata (formata quindi da p righe e p colonne), il
suo determinante è detto minore di ordine p di A.
Se A è di tipo (m,n) è ovvio che il massimo ordine che un minore potrà
raggiungere è il minimo tra m ed n.
Esempio: da una matrice di tipo (5,8) si possono estrarre minori fino all’ordine
5, visto che non è possibile creare una sottomatrice con più righe.
> Rango di una matrice <
Data una matrice A, il suo rango o caratteristica è il massimo ordine dei
minori non nulli che si possono estrarre da A.
ORLARE UNA MATRICE
Orlare una matrice significa aggiungergli una riga e una colonna in una
posizione qualsiasi.
Se A è di tipo (m,n) e A’ p un suo minore di ordine p possiamo orlare la
sottomatrice con le righe non “ereditate” dalla matrice base.
Avremo quindi
m–p
righe da aggiungere
n–p
colonne da aggiungere
Ci sono quindi (m-p)(n-p) modi di orlare A’ con linee di A.
TEOREMA DI KRONECKER
Il rango di una matrice A è r se e solo se:
1. Esiste un minore di A di ordine r non nullo
2. Tutti i minori di ordine r+1, ottenute orlando in tutti i modi possibili il
minore di ordine r con linee di A, sono nulli.
PASSAGGI DA ESEGUIRE
1. Se non esistono minori di ordine 1, il rango è 0
2. Si orla il minore di ordine 1 in tutti i modi possibili, ottenendo sempre
minori di ordine 2, fino a quando se ne incontra uno non nullo
3. Si procede analogamente fino a quando si incontra un ordine y in cui
tutti i minori possibili sono nulli.
4. Il rango della matrice è y – 1.
12
13