Università di Modena e Reggio E.
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
cl. A034 VI ciclo
MODULO: Circuiti elettrici in corrente
alternata
Unità d’apprendimento 3:
Rappresentazione di grandezze sinusoidali mediante numeri
complessi, trasformata di Steinmez.
Unità d’apprendimento 4:
Circuiti in c.a. regime sinusoidale e transitorio (applicazioni di segnali
cisoidali)
Prampolini Katia
Michelini Alberto
a.a. 2004/2005
1
Grandezze elettriche alternate
Una grandezza elettrica alternata è una grandezza variabile e periodica, ossia che dopo un intervallo
di tempo T (detto periodo) riassume il valore iniziale.
T
V(t0 +T) = V(t0) ;
T
Figura 1
Oppure si può anche dire che una grandezza è alternata se nell’unità di tempo si “ripete” con una
frequenza f pari a 1/T. La grandezza 1/T viene chiamata appunto frequenza, ed esprime quante
volte al secondo la grandezza elettrica si ripete. L’unità della misura della frequenza si chiama Hz.
Maggiore è il periodo con cui la grandezza elettrica si ripete, minore sarà il numero di volte con cui
lo fa in un secondo e viceversa. Per esempio una grandezza che ha frequenza pari a 100 Hz, vuol
dire che si ripete 100 volte in un secondo, avrà un periodo T = 1/f = 0.01 sec. Se invece la frequenza
aumenta di 10 volte (1000 Hz) il periodo diventa 10 volte più piccolo T = 0.001 sec = 1msec.
Una grandezza elettrica variabile si dice sinusoidale se varia nel tempo con legge sinusoidale (o
armonica)
segnale sinusoidale freq.= 50 Hz
Periodo T = 0.02s
Figura 2
Dalla cinematica del punto sappiamo che un esempio di moto di tipo armonico si può avere da un
moto circolare uniforme, proiettandone il moto su di un diametro. Seguendo infatti un moto
circolare uniforme di un punto materiale, suddividendo il periodo di rivoluzione in 8 istanti diversi
ad uguale distanza tra loro, si proiettano sul diametro le posizioni che il punto assume in quegli
istanti. Successivamente si possono riportare in un diagramma temporale le distanze delle
proiezioni dal centro del cerchio sull’asse delle ordinate, e gli 8 istanti diversi sull’asse delle ascisse
che diventa quindi l’asse dei tempi.
2
Come si deduce dal diagramma, la legge con cui la
posizione sul diametro si muove nel tempo è di tipo
cosinusoidale (curva di colore rosso), dove l’argomento
(cioè l’angolo) è quello che è descritto dal raggio del
cerchio che individua il punto, che nella figura 3 è indicato
con θ. In effetti la proiezione è data dal prodotto
Figura 3
RAGGIO*COS θ
2
3
L’angolo θ varia nel tempo e se il moto del punto è circolare
uniforme, il raggio che lo individua descrive angoli uguali
in tempi uguali, quindi la velocità con cui l’angolo varia è
costante:
1
θ
4
0
8
ω = Δθ / Δt
5
7
6
y
0
e verrà chiamata velocità angolare (misurata in radianti al
secondo) e la legge con cui l’angolo varia è di tipo lineare
θ = ω t
Dopo un tempo pari al periodo T il punto ha percorso un
giro e torna nella posizione iniziale, l’angolo descritto è
quindi pari a 2π radianti . Un’altra relazione per ω è quindi
:
2
ω = 2π / T ;
Ugualmente in un secondo il punto compierà 1/T = f
rivoluzioni quindi:
ω = 2π f ;
3
La legge che descrive il movimento della proiezione sul
diametro è quindi :
1
6
Y(t) = R cos (ω t) ;
Se ora immaginiamo che il punto si muova partendo da una
posizione più in avanti rispetto prima di un angolo φ, cosa
cambierà nella legge oraria ? Ovviamente in ogni istante il
punto si troverà leggermente avanti rispetto al caso
precedente, anticipando la posizione angolare di un angolo
pari proprio a φ (FIG. 4 curva di colore blu)
7
θ = ωt + φ;
4
5
y(t) = R cos(ω t + φ) ;
8
La seconda grandezza alternata si dice in anticipo rispetto alla prima, con angolo di anticipo pari a
φ. Ugualmente se il punto si muoveva partendo da una posizione più arretrata, di un angolo pari ad
α ad esempio, la funzione che rappresentava il movimento della proiezione sul diametro era :
y(t) = R cos (ωt - α) ;
La grandezza ora si dice che è in ritardo rispetto alla prima, di un angolo α
3
Quest’ultimo caso lo si può notare nella figura 4 , dove
la grandezza in ritardo è stata rappresentata in colore
nero.
Le grandezze che caratterizzano una funzione alternata
sono quindi:
1. ampiezza, (fig.5) che corrisponde al raggio
della circonferenza;
2. frequenza, (fig. 6)più essa è grande più piccolo
è il periodo e quindi più rapide si fanno le
rivoluzioni attorno al cerchio;
3. fase iniziale (fig. 7), che corrisponde all’angolo
da cui comincia il moto circolare;
Figura 4
φ
α
Variazione d’ampiezza
y
Figura 5
AMPIEZZA
Aumento della frequenza
Figura 6
FREQUENZA
α
R cos α
Figura 7 FASE
4
Per le grandezze elettriche alternate ( o segnali elettrici) l’ampiezza non corrisponde esattamente al
valore massimo che essa può assumere ma al valore efficace, o valore quadratico medio. Per
definire il valore efficace di una grandezza alternata consideriamo una resistenza R sottoposta alla
grandezza alternata in esame, corrente o tensione, e supponiamo di aver potuto misurare la potenza
che in essa è dissipata per effetto. Ora sottoponiamo la stessa resistenza ad una grandezza elettrica
equivalente, tensione o corrente ma continua, in modo tale da dissipare in calore la stessa potenza di
prima. Il valore della grandezza continua che provoca dissipa la stessa potenza della grandezza
alternata (sulla stessa resistenza), viene detto “valore efficace della grandezza alternata”. Per ora
considereremo solamente segnali armonici, per i quali il valore efficace è pari a : VMAX/ √2. In
conclusione le grandezze elettriche sinusoidali sono rappresentate da espressioni del tipo
V(t) = Veff cos(ω t + φ)
dove V(t) è in questo caso una tensione elettrica (ma potrebbe essere anche una corrente) e il suo
valore viene chiamato “valore istantaneo” . Per i casi reali che si affrontano nei circuiti elettrici, i
segnali sono tutti isofrequenziali, cioè hanno la stessa frequenza. Ne consegue che per definire
completamente ed univocamente una grandezza alternata basta definire due variabili: ampiezza e
fase.
Questo aiuta ad introdurre la rappresentazione matematica utilizzata per le grandezze alternate. In
effetti per eseguire i vari calcoli con le grandezze elettriche alternate, riuscirebbe difficile farlo
attraverso i valori istantanei, ma potremmo considerare il vettore che nell’esempio del moto
circolare, ruotava con velocità angolare ω in senso anti orario. Anch’esso può definire in modo
univoco la grandezza elettrica: esso ha, come tutti i vettori, due caratteristiche pertinenti: modulo e
direzione che dalle figure 3 e 4, si vede come esse rappresentino rispettivamente il modulo e la fase
del vettore e quindi anche della grandezza elettrica. Quindi ogni grandezza elettrica sinusoidale con
ampiezza A, frequenza angolare ω e fase φ si può rappresentare con un vettore avente modulo
Aefficace, che ruota con velocità angolare ω in senso anti orario e che forma all’istante t=0 con l’asse
delle ascisse un angolo pari alla fase φ. Tale vettore prenderà il nome di fasore. Attraverso i fasori
si possono eseguire tutte le operazioni matematiche che si eseguono con i vettori, il risultato sarà un
favore che rappresenta una nuova grandezza sinusoidale.
A+B
A+B
B
A
B
A
Come rappresentare matematicamente il fasore? Come per tutti i vettori
possiamo usare i
due modi classici per rappresentarlo : forma cartesiana e forma polare, ma con una novità. In effetti
delle due componenti cartesiane potrei considerarne solo una, per esempio l’ascissa. Essa infatti
contiene tutte le informazioni che dobbiamo sapere per individuare il vettore (e quindi la grandezza
alternata) : modulo e fase: se V è l’ampiezza e φ è la fase la componente del vettore sull’asse x è
Questa espressione contiene sia il modulo che la fase.
V cos (φ )
Per semplicità di calcoli conviene però conservare le
due componenti cartesiane, per poi attribuire
significato fisico reale solo ad una. In matematica
φ
esistono dei numeri che soddisfano pienamente le
nostre richieste: i numeri complessi. Essi infatti hanno
V cos φ
5
due rappresentazioni (cartesiana e polare) come le nostre grandezze. I numeri complessi sono
rappresentati su di un diagramma che differisce dal diagramma cartesiano tradizionale, e che si
chiama diagramma di Gauss. In tale diagramma nelle ascisse mettiamo i numeri reali, mentre nelle
ordinate metteremo i numeri immaginari che hanno come unità j = √-1. Ogni punto del piano
individua un vettore il quale rappresenta un numero complesso, avente cioè una componente reale
ed una immaginaria.
Û = V cos φ + j Vsen φ;
Ma di tale fasore, come già detto, interesserà ai fini pratici solamente
Asse immaginario
la parte reale.
Come concilia questa notazione derivata dai numeri complessi con la
nostra grandezza sinusoidale V(t) = Vcos (ωt + φ ) ?
Cioè come fa il fasore a ruotare con velocità ω ?
V
j V sen φ
Il numero complesso che considereremo sarà quello già definito
φ
prima che corrisponde alla posizione all’istante iniziale, moltiplicato
per un altro numero complesso che avrà modulo unitario ma fase
Asse reale
variabile, ossia sarà un vettore rotante al fine di giustificare il
V cosφ
significato del termine fasore.
Il secondo numero complesso è quindi
U = cosωt + j senωt
Esso infatti è un vettore che ruota con velocità angolare ω, il numero complesso complessivo sarà
quindi
V (t) = V(cosφ + jsenφ)(cosωt + j senωt) = Vcosφ cosωt - Vsenφ senωt – j…………
Da questo prodotto interessa solamente la parte reale:
V(t) = Vcosφ cosωt - Vsenφ senωt = Vcos (ωt + φ )
c.v.d.
La trasformazione che permette di passare diretamente da un segnale sinusoidale di valore efficace
Veff e fase φ ad un numero complesso Veff (cosφ + jsenφ) si chiama trasformata di Steinmez.
Essa può essere espressa in tre modi diversi :
Veff (cosφ + jsenφ)
Veff ∠φ
forma cartesiana (o trigonometrica)
Forma polare
Forma esponenziale
Veff e jφ
Ad esempio rappresentare nelle forme complesse conosciute la grandezza sinusoidale
V (t) = 10 cos (ωt + 30)
10 (cos30 + jsen30) = 8,7 + j5
10 ∠30°
forma cartesiana (o trigonometrica)
Forma polare
Forma esponenziale
10 e j30
Per ritornare dalla forma complessa a quella istantanea si procede così:
V eff = a + jb ⇒ valore efficace Veff =
a 2 + b 2 fase φ = arctg (b/a); ad esempio nel caso
precedente: Veff = √ 8,72 + 52 = 10 ; φ = arctg (5 / 8,7) = 30° ⇒ V(t) = 10 sen (ω t + 30°);
6
PROPRIETA’ ALGEBRICHE DEI NUMERI COMPLESSI.
Somma algebrica :
si sommano tra loro le parti reali e le parti immaginarie. Ad esempio:
V1 = 10 cos (2π 100 t + 45°) + V2 = 5 cos (2 π 100 t - 60°)
V = V1 + V2 = 10 cos45 + j 10 sen 45 + 5 cos 60 - j 5 sen 60 = 7 + j 7 + 2,5 - j 4,3 =
= 9,5 - j 2,7 ⇒ Veff =
9,5 2 + 2,7 2 = 9,8 ⇒ φ = arctg ( -0,1 / 6,7) = -16° ⇒ 9,8 ∠-16°
(forma cartesiana)
(forma polare)
moltiplicazione per J e per -J
moltiplicando per j si ottiene un fasore ruotato di 90° in senso orario rispetto all’originale:
ad esempio V1 = 2 + j2 = 2,8 ∠45°
j
j V1 = j ( 2 + j2) = j2 - 2 = 2,8 ∠135°
moltiplicando per –j il fasore invece ruota di 90°
ma in senso anti orario
V1
2j
-2
2
-j
-j V1 = - j ( 2 + j2) = - j2 + 2 = 2,8 ∠-45°
complesso coniugato
ogni numero complesso ha un coniugato, cioè un complesso che ha stessa parte reale ma parte
immaginaria opposta. La somma di un complesso con il suo coniugato è un numero reale pari al
doppio della parte reale del primo complesso.
Z1 = 2 + j 3 ⇒
∗
Z 1 = 2 - j 3;
Moltiplicazione
( a + j b ) ( c + j d) = a c - b d + j ( a d + b c);
derivazione rispetto al tempo
d V d (cosωt + j sin ωt ) ⋅ (cosφ + j sinφ )
=
=
dt
dt
(− ω sin ωt + jω cos ωt ) ⋅ (cosφ + j sinφ ) = − ω sin (ωt + φ ) + jω cos(ωt +φ) =
= jω ⋅ [ j sin (ωt + φ ) + cos(ωt +φ) ] = jω ⋅V
equivale alla moltiplicazione per j ω:
sen (α) = cos (α - 90°) ; - cos (α) = cos (180 - α);
. d (10 cos (ω t + 30°) = - ω 10 sen (ω t + 30°) = - ω 10 cos (ω t + 30° - 90°) =
ω 10 cos(ω t + 120°) = ω 10 ∠ 120° = j ω 10 ∠ 30°
7
LOGLING
DIMOSTRAZIONE DELLA CORRISPONDENZA TRA UNA GRANDEZZA SINUSOIDALE
Vcos (ωt + φ ) E LA PARTE REALE DI UN NUMERO COMPLESSO V CORRISPONDENTE
ALLA TRASFORMATA DI STEINMEZ.
1. V (t) = Vmax cos (ωt + φ) ;
= cosωt + j senωt ;
2. U
3. V = Veff ⋅ (cos φ + j sin φ ) ;
4. V = Veff ∠φ ;
5. V (t) =Re[ V U ] ;
la relazione (1)
Rappresenta
1
La relazione (2)
Rappresenta
Una grandezza
che varia nel
tempo 2
Con frequenza ω
Con legge
sinusoidale
3
vettore Che ruota
Un
4
Con
Rappresenta
3
2
numero Il cui modulo è E
Un
complesso
È
un
3
2
numero Di modulo Veff
4
reale
5
parte Isolo
la
E di fase φ
si
definisce La relazione (4)
trasformata
di
Steinmez
2
Espresso in forma Per dimostrare la Si moltiplica la
(5)
3
4
parte Considero
immaginaria
solamente
raccogliendo J
parte reale c.v.d.
5
è E
4
polare
2
la
fase
φ = arctg ⎜⎜
complesso
Isolo
la
4
⎛ Re(V ) ⎞
⎟
⎟
⎝ Im(V ) ⎠
Veff = V max
2
1
4
velocità La relazione (3)
angolare ω
unitario
1
E fase φ
la
5
vocabolario
1 esprime / dalla moltiplicazione di
ottiene /
8
(2) per la (3)
1
CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Ora si studieranno i comportamenti di risposta di alcuni circuiti, quando sono sottoposti ad una tensione
(oppure una corrente) alternata sinusoidale. Verranno trascurati tutti i fenomeni transitori connessi,
considerando quindi il comportamento elettrico dopo un tempo idealmente infinito dalla chiusura
dell’interruttore. Questa situazione elettrica viene definita regime sinusoidale permanente. Obiettivo finale
sarà : ricavare la corrente (o la tensione) in modulo e fase, con cui il circuito risponde ad una nota tensione (
o corrente).
Il primo circuito che si studia è il circuito puramente ohmico. Esso è costituito da un generatore di tensione
alternata collegato ad una resistenza, ed è rappresentato nella figura 1.
figura 1
La legge di Ohm risulta valida anche in questo caso, quindi il valore istantaneo della corrente sarà
proporzionale al valore istantaneo della tensione. La costante in gioco è la resistenza elettrica, che è una
costante reale e quindi tra le due grandezze alternate non vi è sfasamento. I loro fasori quindi sono in fase.
I (t ) =
V (t ) Veff cos(ωt + φ )
=
R
R
(1)
V
I
I=
φ = 30°
V
R
CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO
E’ realizzato collegando un condensatore in serie ad un generatore di tensione (fig. 2). Questa è una
situazione che raramente può realizzarsi in pratica ed è da ritenersi un caso ideale, un modello matematico
per capire la teoria del fenomeno.
figura 2
Sappiamo dall’elettrostatica che la tensione che è ai capi di un condensatore è direttamente proporzionale
alla carica accumulata sulle sue armature. Questa relazione viene estesa anche al caso dinamico come quello
in oggetto quindi:
VC =
Q
C
(2)
La tensione VC ovviamente è la stessa che eroga il generatore ε(t) = ε cos (ωt + φ) . Dalla definizione di
corrente ricaviamo:
9
I (t ) =
d [ε eff cos (ωt + φ )
dQ d [c ⋅ ε (t )]
=
=C⋅
= − C ⋅ ω ⋅ ε eff ⋅ sen (ωt + φ ) = C ⋅ ω ⋅ cos (ωt + φ + 90°)
dt
dt
dt
(3)
La relazione (3) mostra come la corrente non sia in fase con la tensione, ma risulti in sfasata di 90 in
anticipo rispetto ad essa. Inoltre il suo modulo è proporzionale alla tensione, ma anche alla frequenza. Nel
simbolismo di Steinmez la relazione tra tensione e corrente contiene un fattore immaginario j per giustificare
il loro sfasamento. Dovendo infatti essere il fasore della corrente in anticipo di 90° su quello della tensione,
il n° complesso che rappresenta quest’ultima grandezza dovrà essere moltiplicato per j, come si sa dalle
proprietà dei numeri complessi. La legge di Ohm nel circuito capacitivo, nella notazione simbolica di
Steinmez, è quindi:
I = V ⋅ ( jω ⋅ C ) =
V
xC
(4)
1
è l’equivalente della resistenza per il circuito in esame, ed ha infatti la
jω ⋅ C
stessa dimensione: Ω. A tale grandezza viene dato il nome di reattanza capacitiva.
Ma quale giustificazione fisica trova lo sfasamento tra corrente e tensione?
Sappiamo che la corrente che circola nel circuito rappresenta il movimento delle cariche mentre caricano il
condensatore, accumulandosi sulle sue armature. La quantità di carica che può accumularsi sulle armature di
un condensatore è proporzionale alla tensione che è applicata ai suoi capi. Se varia la tensione varia anche la
carica. Osservando quindi il diagramma e temporale della tensione sinusoidale, si può evincere che ci sarà
variazione di carica sulle armature del condensatore (e quindi passaggio di corrente nel circuito) in tutti gli
istanti esclusi quelli dove la tensione raggiunge i valori massimi e minimi (fig. 3 ).
Il numero immaginario xC =
Punti di corrente max
VC
Punti di corrente nulla
Figura 3
Punti di corrente min
Negli altri istanti vi sarà sempre un trasporto di carica, e quindi passaggio di corrente nel circuito, con
intensità diverse. Gli istanti dove è massima la corrente sono quelli dove la tensione varia di più a parità di
tempo; nel grafico questi punti sono quelli in cui la curva della tensione ha massima o minima pendenza
rispetto l’asse delle ascisse. Precisamente i punti in questione sono quelli in cui la curva della tensione
interseca l’asse dei tempi:
• nei punti dove la tensione è crescente avremo un aumento di carica nelle armature del condensatore,
e quindi una corrente positiva;
• nei punti dove la tensione è decrescente avremo una diminuzione di carica nelle armature del
condensatore, e quindi una corrente negativa.
Ora non rimane che unire i punti della fig. 3 per ottenere l’andamento temporale della corrente:
I
I
V
V
φ
10
CIRCUITO PURAMENTE INDUTTIVO
Anche in questo caso il circuito studiato è una situazione ideale che non trova riscontro nella realtà: non si
può collegare un generatore ad una sola induttanza. Anche in questa circostanza avremmo comunque una
resistenza in serie all’induttanza dovuta alla resistenza del filo di rame, anche se molto debole.
figura 4
Un’induttanza percorsa da una corrente variabile è soggetta ad una tensione di autoinduzione
ε (t ) = − L ⋅
d i (t )
dove il segno meno è il contributo della legge di Lenz, per la quale la tensione indotta
dt
deve creare un flusso magnetico che si opponga alla variazione del flusso dovuto alla tensione applicata. La
tensione applicata, che coincide con quella del generatore, dovrà essere quindi in ogni istante opposta a
quella indotta, in questo modo in effetti si evita il corto circuito.
La tensione ai capi dell’induttanza è legata alla corrente quindi dalla seguente relazione: V (t ) = L ⋅
d i (t )
dt
(4) che è un’equazione differenziale dove l’incognita è la corrente. In regime sinusoidale, grazie alla
notazione complessa del metodo simbolico, questa relazione diventa più semplice:
V = jω ⋅ L ⋅ I = X L ⋅ I
(6)
La relazione (6) mostra che:
la corrente è sfasata in ritardo di 90 ° rispetto alla tensione;
essa è data dal rapporto
V
che rappresenta la legge di Ohm del circuito, nella quale XL è un numero
XL
immaginario chiamato reattanza induttiva e si misura in Ω.
Quale giustificazione fisica trova lo sfasamento tra tensione e corrente?
Consideriamo l’andamento di corrente nel tempo come in figura 5 . Dall’equazione (4) sappiamo che la
tensione è proporzionale alla variazione di corrente, nella figura 5 vediamo che i punti dove la corrente non
varia sono i punti di massimo e di minimo. In quegli istanti avremo una tensione nulla. Inoltre la massima
variazione di corrente, a parità di variazione di tempo, avviene negli istanti in cui la curva interseca gli assi:
quando la corrente aumenta avremo tensione positiva, se invece diminuisce la tensione sarà negativa.
Punti di variazione massima di
corrente
V
I
V
I
Punti di variazione nulla di
corrente
Punti di variazione minima di
corrente
Collegando i vari punti di tensione massima minima e nulla si ottiene il suo andamento nel tempo, dal quale
si evince lo sfasamento esistente.
Figura 5
11
CIRCUITO RLC SERIE.
Ora consideriamo un circuito dove compaiono tutti gli elementi circuitali visti in precedenza, resistenza
induttanza e capacità, collegati in serie ad un generatore di tensione sinusoidale. Anche in c.a. gli elementi in
serie sono attraversati dalla stessa corrente, applicando la legge di maglia al circuito si ottiene:
V (t ) = VR + VL + VC = R ⋅ i (t ) + L ⋅
V = R ⋅ I + jω ⋅ L ⋅ I +
d i (t ) Q
+
= passando al metodo simbolico
dt
C
⎛
1 ⎞
⎟ = I ⋅Z
= R ⋅ I + X L ⋅ I + X C ⋅ I = I ⋅ ⎜⎜ R + jωL +
jω ⋅ C
jωC ⎟⎠
⎝
I
(7)
l’equazione (7) rappresenta la legge di Ohm in c.a., dalla quale si comprende come anche in corrente
alternata vi sia proporzionalità tra tensione e corrente. La costante di proporzionalità Z è detta impedenza, ed
è però un numero complesso che si misura in Ω, è l’equivalente della resistenza per i circuiti in c.a..
1 ⎞
⎛
Z = R + j⎜ ω ⋅ L −
⎟;
ω ⋅C ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
Z = R + ⎜ω ⋅ L −
⎟
⋅C ⎠
ω
⎝
2
2
1
⎛
⎜ω ⋅ L −
ω ⋅C
φ = arctg ⎜
R
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(8)
Il fatto che Z sia un n° complesso suggerisce che tra tensione e corrente vi sia uno sfasamento, non di 90°
come nei circuiti puramente induttivi o capacitivi, ma pari proprio all’angolo φ che è la fase dell’impedenza
Z. Essa infatti ha parte reale pari alla resistenza R e parte immaginaria pari alla somma algebrica tra le
reattanze XL ed XC . Tracciando il diagramma fasoriale del circuito (ponendo il fasore della corrente
sull’asse reale per semplicità)
Si può da esso ricavare la tensione V del generatore come
somma vettoriale delle tre tensioni VR VL VC . Lo sfasamento è
evidente dal diagramma. Notare che la VR è in fase con la
corrente quindi φ è l’angolo formato tra VR e V. Ora se
ricostruiamo la somma vettoriale delle tre tensioni, otterremmo
un triangolo rettangolo (detto triangolo delle tensioni) i cui
cateti sono VR e la differenza VL- VC mentre l’ipotenusa è la
tensione V.
VL
V
I
VR
VC
V
φ
VL-VC
VR
Se immaginiamo di dividere tutti e tre i lati del triangolo delle tensioni per il valore della corrente,
otterremmo un altro triangolo rettangolo con lati più piccoli, ma con angoli uguali (in particolare φ). Cioè
avremmo un triangolo simile a quello delle tensioni e si chiama triangolo delle impedenze, i cui lati hanno le
V
dimensioni in Ω; precisamente il cateto orizzontale sarebbe la resistenza R = R il cateto verticale sarebbe
I
Z
la reattanza X L − X C = ω ⋅ L − 1 = V L − V C
ω ⋅C
I
φ
R
12
X
2
mentre l’ipotenusa coincide con il modulo dell’impedenza
Z =
1 ⎞ .
V
⎛
= R 2 + ⎜ω ⋅ L −
⎟
ω ⋅C ⎠
I
⎝
Ricordando che la corrente è in fase con la VR, e che l’impedenza Z risulta in fase con la tensione,
lo sfasamento esistente tra tensione e corrente è quindi determinabile con la terza delle relazioni (8).
In un circuito in c.a. la fase dell’impedenza equivalente coincide con lo sfasamento esistente tra la
tensione e la corrente. Nel caso in oggetto la fase φ è positiva perché la reattanza induttiva è
maggiore di quella capacitiva, la tensione quindi è in anticipo sulla corrente e il circuito si dice a
carattere induttivo. Se al contrario fosse la reattanza capacitiva maggiore di quella induttiva
avremmo la corrente in anticipo sulla tensione ed il carattere del circuito sarebbe capacitivo. Infine
se le due reattanze fossero state uguali in modulo, avremmo avuto una reattanza equivalente nulla.
L’impedenza sarebbe formata solo dalla resistenza, la fase φ sarebbe nulla tensione e corrente
sarebbero state in fase tra loro ed il circuito si direbbe a carattere ohmico, o anche “in risonanza”.
Schema riassuntivo
Diagramma vettoriale
Comportamento
Triangolo impedenze
induttivo
X L > XC
1 ⎞
⎛
Z = R 2 + ⎜ω ⋅ L −
⎟
ω
⋅C ⎠
⎝
V
2
φ>0
φ
Z
I
XL -XC
R
capacitivo
X L < XC
1 ⎞
⎛
Z = R 2 + ⎜ω ⋅ L −
⎟
ω ⋅C ⎠
⎝
X L = XC
I
R
2
V
φ
φ< 0
XC-XL
Z
ohmico
Z = R
V
I
φ = 0°
Z=R
Per qualsiasi valore di reattanza (induttiva e capacitiva) è sempre possibile che si verifichi il fenomeno
della risonanza. In effetti se le reattanze sono diverse è sempre possibile trovare una frequenza alla
quale esse diventano uguali. La frequenza alla quale si verifica il fenomeno della risonanza è legata ai
parametri L e C:
A questo valore di frequenza nel circuito circola la massima corrente possibile, a parità di ampiezza di
tensione. Questo fenomeno viene sfruttato in diversi campi (sintonizzazione radio, rifasamento
elettrico).
13
LOGLING
RISOLUZIONE DI UN CIRCUITO RLC SERIE: DETERMINAZIONE DELLA ZEQ CALCOLO DELLA
FASE E DEL MODULO DELLA CORRENTE, DISEGNO DEL DIAGRAMMA VETTORIALE.
1. V (t ) = V R + V L + VC = R ⋅ i (t ) + L ⋅
2. V = R ⋅ I + jω ⋅ L ⋅ I +
3.
Z EQ = R EQ + JX EQ ;
La relazione (1)
I
jω ⋅ C
d i (t ) Q
+
=
dt
C
= R⋅ I + XL ⋅ I + XC ⋅ I = I ⋅Z
⎛ X EQ
2
2
Z EQ = R EQ + X EQ ; φ = arctg ⎜
⎜R
⎝ EQ
Rappresenta
⎞
⎟;
⎟
⎠
la legge di Kirchoff la relazione (2)
Si ottiene applicando
della maglia RLC;
La
trasformata
Steinmez
di dell’equazione (1)
L’equazione (3)
riguarda
La ZEQ
(metodo
serie del
circuito
simbolico)
La relazione (3 bis)
consente
Di
il La relazione (3 tris)
calcolare
Permette
modulo della ZEQ
Di conoscere
La fase del circuito
Se la fase è positiva
Il
circuito
comportamento
ha La
corrente
è
in
ritardo sulla tensione
induttivo
Se la fase è negativa
Il
circuito
ha La
corrente
comportamento
anticipo
capacitivo
tensione
è
in Se la fase è nulla
sulla
Il circuito è ohmico
Corrente e tensione
sono in fase
14
IMPEDENZE IN SERIE
Consideriamo un circuito realizzato collegando due impedenze qualsiasi in serie ad un generatore di tensione
sinusoidale, che eroga la tensione V (t ) = V ⋅ sen(ω ⋅ t + ϕ ) che con il metodo simbolico diventa
V = V cos ϕ + j Vsen ϕ
Le impedenze siano Z 1 = R1 + j X 1
Z 2 = R2 + j X 2
Essendo collegate in serie ovviamente sono attraversate dalla stessa corrente; la legge di maglia di Kirchoff
quindi ci permette di scrivere:
(
)
V = Z 1 ⋅ I + Z 2 ⋅ I = Z 1 + Z 2 ⋅ I = Z EQ ⋅ I
L’impedenza equivalente serie è quindi il risultato della somma vettoriale delle due impedenze; cioè la ZEQ è un
numero complesso che ha per parte reale la somma delle due resistenze delle impedenze, e per parte immaginaria
la soma algebrica delle due reattanze.
Z EQ = R1 + j X 1 + R2 + j X 2 = (R1 + R2 ) + j ( X 1 + X 2 ) = REQ + jX EQ
i cui modulo e fase sono:
Z EQ = REQ + X EQ
2
Il modulo della corrente è I =
2
⎛ X EQ ⎞
⎟
⎟
R
⎝ EQ ⎠
φ = arctg ⎜⎜
V
Z EQ
Ovviamente anche in questo caso il comportamento elettrico del circuito è determinato dal segno della fase φ
della ZEQ
Esempio
Tensione V = 10 sen (2π103 t + 45°)
Impedenze Z1 = 10 + j 12 Z2 = 4 - j 2
Determiniamo
innanzitutto il valore
efficace della tensione:
Veff =
10
2
L’impedenza equivalente è
Z EQ = Z 1 + Z 2 = 10 + j12 + 4 − j 2 =
14 + j 10 ;
Z EQ = 14 2 + 10 2 = 20 Ω
=7V
⎛ 10 ⎞
⎟ = 35,5°
⎝ 14 ⎠
7
=
= 0,35 A
20
φ = arctg ⎜
Poi determiniamo modulo
e fase dell’impedenza per
poi calcolare la corrente.
I=
Veff
Z EQ
Il circuito ha comportamento induttivo, la corrente è quindi in ritardo rispetto alla tensione di 35,5°. Il
diagramma vettoriale del circuito è il seguente:
V
Φ = 35°
I
15
IMPEDENZE IN PARALLELO
Come per i circuiti in c.c. anche in c.a. gli elementi in parallelo sono attraversati da correnti diverse, mentre ai
loro capi hanno la stessa tensione.
Consideriamo ancora due impedenze
I2
Z 1 = R1 + j X 1
Z 2 = R2 + j X 2
in parallelo con ai loro capi il
generatore di tensione che eroga la tensione
V (t ) = V ⋅ sen(ω ⋅ t + ϕ ) che si rappresenta in forma complessa
I1
V = V cos ϕ + j Vsen ϕ
Le correnti nei due rami si determinano mediante la legge di Ohm,
utilizzando la tensione del generatore:
V
V
; I2 =
Z1
Z2
Per la legge del nodo di Kirchoff le corrente I totale è la somma
delle due corenti nei rami:
⎛ 1
V
V
1 ⎞ V
1
1
1
⎟=
+
= V ⋅ ⎜⎜ +
Æ
=
+
⎟
Z1 Z 2
Z EQ Z 1 Z 2
⎝ Z 1 Z 2 ⎠ Z EQ
I1 =
I = I1 + I 2 =
Ritroviamo quindi la stessa formula della resistenza equivalente in parallelo, per i circuiti in c.c. Ora però la
stessa operazione viene eseguita mediante i numeri complessi. Per quanto riguarda modulo e fase dell’impedenza
equivalente, vale quanto esposto per le impedenze serie. Per il diagramma vettoriale l’unica novità rispetto prima
è che ora le correnti che attraversano le due impedenze sono diverse, e vanno riferite alla tensione comune del
generatore.
Esempio
Analizziamo ora un esempio che sfrutta il circuito della figura precedente, con gli stessi dati dell’esempio sulle
impedenze in serie. Determiniamo l’impedenza equivalente
Z EQ =
Z1 ⋅ Z 2
Z1 + Z 2
=
(10 +
j12 ) ⋅ (4 − j 2 )
⎛ − 0,84 ⎞
= 4 − j 0,84 ; Z EQ = 4 2 + 0,84 2 = 4,1 Ω ; φ = arctg ⎜
⎟ = − 12°
10 + j12 + 4 − j 2
⎝ 4 ⎠
Il circuito ha quindi comportamento capacitivo, la corrente I totale sarà in anticipo sulla tensione.
Il
modulo
I1 =
Veff
Z1
=
della
corrente
è
I=
Veff
Z EQ
=
7
= 1,7 A
4,1
mentre
le
due
correnti
di
ramo
sono:
Veff
7
7
= 0,45 A I 2 =
=
= 1,56 A Come si può notare, le correnti I1 e I2 sommate
15,6
Z2
4,5
darebbero un valore maggiore della Itot . Ciò è dovuto al fatto che tali correnti non sono in fase, ma sono sfasate
rispetto alla tensione del generatore comune con angoli diversi. Tali angoli corrispondono alle fasi delle due
impedenze Z1 e Z2.
⎛ X1 ⎞
⎛ 12 ⎞
⎟⎟ = arctg ⎜ ⎟ = 50°
⎝ 10 ⎠
⎝ R1 ⎠
φ1 = arctg ⎜⎜
⎛ X2
⎝ R2
φ 2 = arctg ⎜⎜
⎞
⎛−2⎞
⎟⎟ = arctg ⎜
⎟ = − 26,6°
⎝ 4 ⎠
⎠
Quindi non si deve commettere l’errore di sommare le correnti I1 e I2 in modulo per ottenere la corrente Itot,
ma bisogna usare la loro forma complessa.
I
I2
V
Φ2
45°
Φ1
I1
16
Risonanza parallelo
Potenze
17
