Variabili casuali normale. Approssimazione della variabile casuale

Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Esercitazione 12
Statistica
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Esercizio 3
Esercizio 4
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
1 / 27
Outline
Esercitazione
12
A. Iodice
1
La variabile
casuale
Normale
La variabile casuale Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
2 / 27
Outline
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
1
La variabile casuale Normale
2
Utilizzo delle tavole della normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
2 / 27
Outline
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
1
La variabile casuale Normale
2
Utilizzo delle tavole della normale
Esercizio 1
Esercizio 2
3
Approssimazione Binomiale-Normale
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
2 / 27
Variabile casuale Normale
Esercitazione
12
Una v.c. continua X una v.c. Normale o Gaussiana, di
parametri µ e σ 2 , se definita la funzione di densità
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
2
1 (x−µ)
1
f (x0 ) = √
e− 2 σ2
2πσ 2
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
con −∞ < x < +∞, X ∼ N (µ, σ 2 )
E’ possibile definire il valore atteso e la varianza della Normale
che corrispondono ai parametri della distribuzione, dal
momento che
E(X) = µ e V ar(X) = σ 2
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
3 / 27
Variabile casuale Standardizzata
Esercitazione
12
A. Iodice
Data la v.c. continua X Ñ (µ, σ 2 ), la standardizzazione di X,
ovvero Z = X−µ
rappresenta la Normale Standardizzata
σ
Z Ñ (0, 1), con funzione di densità
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
1 2
1
φ(z) = √ e− 2 w dw ; −∞ < z < +∞
2π
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
I valori della funzione di ripartizione (funzione di distribuzione
cumulata) della normale standardizzata sono riportate sulle
tavole statistiche.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
4 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
5 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
In seguito ad uno studio interno di un istituto bancario è stato
rilevato che i tempi di attesa per le operazioni di sportello si
distribuiscono secondo una Normale con media pari a 20 e
varianza pari a 9. Qual’è la probabilità che il tempo di attesa...
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
superi i 25 minuti;
sia inferiore ai 16 minuti;
sia compreso tra 18 e 21 minuti.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
6 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
superi i 25 minuti;
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
7 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
superi i 25 minuti;
Utilizzo delle
tavole della
normale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercizio 1
Esercizio 2
z=
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
25 − 20
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Esercitazione 12
Statistica
8 / 27
La v.c. Normale
superi i 25 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercitazione
12
A. Iodice
z=
La variabile
casuale
Normale
25 − 20
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
8 / 27
La v.c. Normale
superi i 25 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercitazione
12
A. Iodice
z=
La variabile
casuale
Normale
25 − 20
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
8 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
superi i 25 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Utilizzo delle
tavole della
normale
z=
25 − 20
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
P (Z ≥ 1.66) = 1 − P (Z ≤ 1.66) = 1 − 0.95254 = 0.047
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
8 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
sia inferiore a 16 minuti;
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
9 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
sia inferiore a 16 minuti;
Utilizzo delle
tavole della
normale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercizio 1
Esercizio 2
z=
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
16 − 20
3
= −1.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Esercitazione 12
Statistica
10 / 27
La v.c. Normale
sia inferiore a 16 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercitazione
12
A. Iodice
z=
La variabile
casuale
Normale
16 − 20
3
= −1.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
10 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
sia inferiore a 16 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Utilizzo delle
tavole della
normale
z=
16 − 20
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
3
= −1.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
P (Z ≥ −1.33) = P (Z ≤ 1.33) = 0.90824
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
10 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
11 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
Utilizzo delle
tavole della
normale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercizio 1
Esercizio 2
z1 =
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità
di interesse.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
12 / 27
La v.c. Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercitazione
12
A. Iodice
z1 =
La variabile
casuale
Normale
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
12 / 27
La v.c. Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Esercitazione
12
A. Iodice
z1 =
La variabile
casuale
Normale
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
12 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
Utilizzo delle
tavole della
normale
z1 =
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità
di interesse.
P (−0.66 ≤ Z ≤ 0.33) = P (Z ≤ 0.33) − P (Z ≤ −0.66) =
P (Z ≤ 0.33) − [1 − P (Z ≤ 0.66)] = 0.629 − (1 − .745) = 0.37
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
12 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Si consideri una variabile casuale X distribuita secondo una
Normale con µ = 8 e σ = 3.
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
indicare i quartili della distribuzione;
Approssimazione
BinomialeNormale
indicare il 95o percentile;
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
13 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
Primo quartile
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
14 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
Secondo quartile=mediana=media
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
15 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
Terzo quartile
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
16 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
A. Iodice
Z0.25 Z0.5 Z0.75
La variabile
casuale
Normale
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando le tavole
della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
Quindi...
per la simmetria della curva Normale risulta essere inoltre
Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della
variabile casuale X si utilizza la formula inversa di
standardizzazione
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
17 / 27
La v.c. Normale
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
Esercitazione
12
A. Iodice
Z0.25 Z0.5 Z0.75
La variabile
casuale
Normale
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando
le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
17 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
A. Iodice
Z0.25 Z0.5 Z0.75
La variabile
casuale
Normale
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando le tavole
della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
Utilizzo delle
tavole della
normale
Quindi...
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
= 0.675 per la
P (Z ≤ Z0.75 ) = 0.75 da cui Z0.75 = 0.67+0.68
2
simmetria della curva Normale risulta essere inoltre
Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della
variabile casuale X si utilizza la formula inversa di
standardizzazione
X0.5 = 8
X0.25 = Z0.25 σ + µ = −0.675 × 3 + 8 = 5.975
X0.75 = Z0.75 σ + µ = 0.675 × 3 + 8 = 10.025
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
17 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
indicare il 95o percentile
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
18 / 27
La v.c. Normale
indicare il 95o percentile
Esercitazione
12
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95
A. Iodice
Ricorrendo alle tavole...
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
19 / 27
La v.c. Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
indicare il 95o percentile
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95
Utilizzo delle
tavole della
normale
Quindi...
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Z0.95 =
X
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
1.64+1.65
2
= 1.645 Per ottenere il valore della variabile
X0.95 = Z0.95 σ + µ = 1.645 × 3 + 8 = 12.935
Esercitazione 12
Statistica
19 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
Sia X una variabile casuale distribuita secondo una Binomiale di parametri n = 25 e p = 0.6. E possibile
approssimare X con una v.c. continua Y ∼ N (µ∗ , σ 2∗ ) dove
µ∗ = n × p = 25 × 0.6 = 15
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
σ 2∗ = n × p × (1 − p) = 25 × 0.6 × 0.4 = 6
√
σ ∗ = 6 = 2.45
Si supponga di essere interessati a P (X ≤ 13).
calcolo Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Per utilizzare l’approssimazione normale è necessario
standardizzare il problema
Esercizio 1
Esercizio 2
calcolo Binomiale
X − µ∗
13 − 15
Z =
=
= −0.82 dunque,
Approssimazione
σ∗
2.45
Utilizzando il calcolo Binomiale si ha
BinomialeP (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13) = P (Z ≤ −0.82) = 0.206
Normale
13 X
Esercizio 3
25
x
25−x
P (X ≤ 13) =
× 0.6 × 0.4
=
Esercizio 4
Effettuando una correzione di continuità pari a 0.5
x
x=0
= 0.267
X + 0.5 − µ∗
13.5 − 15
=
= −0.61
σ∗
2.45
P (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13.5) = P (Z ≤ −0.61) = 0.271
Z =
Evidentemente 0.271 rappresenta un’approssimazione migliore di
0.267 rispetto a 0.206.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
20 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
Probabilità calcolate con p.m.f. Binomiale e con al c.d.f. Normale: l’area in
A. Iodice
blue rappresenta la probabilità che si perderebbe approssimando senza
correzione della continuità: in particolare l’area vale 0.267 − 0.206=0.061
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
21 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Si consideri l’esperimento consistente nel lancio di una moneta 120 volte. Trovare
la probabilità che esca testa
Utilizzo delle
tavole della
normale
tra il 40% e il 60% dei lanci;
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
più di dei
5
8
del totale dei lanci.
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
22 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
tra il 40% e il 60% dei lanci;
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
23 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
tra il 40% e il 60% dei lanci;
È possibile determinare tale probabilità in due modi diversi. Il primo modo
consiste nell’utilizzare l’approssimazione della binomiale alla normale.
La v.c. numero di teste in 120 lanci si distribuisce come una binomiale di
parametri (n = 120, p = 12 ).
Il numero di successi corrispondenti al 40% del totale di 120 prove è 48, mentre il
60% corrisponde a 72.
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
correzione della continuità
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
La v.c. numero di teste è discreta,anche se approssimata da una v.c. continua. Si
è interessati alla probabilità che essa assuma valori compresi nell’interallo
[47.5, 72.5] al fine di includere nel calcolo gli estremi 48 e 72.
I parametri della normale cui si p
approssima la binomiale sono
µ = np = 120 × 12 = 60 e σ = np(1 − p) = 120 × 12 12 = 5.48.
Standardizzando i valori
z1 =
72.5 − 60
47.5 − 60
= −2.28 e z2 =
= 2.28
5.48
5.48
Dalla simmetria della normale, segue che
P (−2.28 <= X <= 2.28) = 2 × P (0 <= X <= 2.28) = 2 × 0.4887 = 0.9774.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
24 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Il secondo metodo consiste nel ricorrere alla distribuzione
delle proporzioni
q
p(1−p)
campionarie, la cui media è data da µp = p e σp =
.
q N
0.25
Rispetto ai dati del problema µp = p = 0.5 e σp =
= 0.0456.
120
Standardizzando il problema rispetto ai parametri della distribuzione campionaria
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
z1 =
Utilizzo delle
tavole della
normale
La probabilità corrispondente è
P (−2.19 <= X <= 2.19) = 2 × P (0 <= X <= 2.19) = 2 × 0.4857 = 0.9714.
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
0.4 − 0.5
0.6 − 0.5
= −2.19 e z2 =
= 2.19
0.0456
0.0456
correzione di continuità
Il risultato non coincide con quanto ottenuto utilizzando l’approssimazione della
binomiale alla normale perchè la v.c. proporzione è una variabile discreta. Per
tenere conto di questo bisogna sottrarre (1/2N ) = 1/(2 × 120) = 0.00417 a 0.4
ed aggiungere la stessa quantità a 0.6. Pertanto gli estremi dell’intervallo di valori
standardizzati è
z1 =
0.4 − 0.00417 − 0.5
0.6 + 0.00417 − 0.5
= −2.28 e z2 =
= 2.28
0.0456
0.0456
Che porta alla coincidenza tra i risultati nei due metodi.
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
25 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
più di dei
A. Iodice
5
8
del totale dei lanci.
La variabile
casuale
Normale
Utilizzo delle
tavole della
normale
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
26 / 27
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Esercitazione
12
A. Iodice
La variabile
casuale
Normale
più di dei
Utilizzo delle
tavole della
normale
del totale dei lanci.
La proporzione corrispondente a 58 = 0.6250. Standardizzando il problema
tenendo conto del fatto che la proporzione è una variabile discreta si ottiene
Esercizio 1
Esercizio 2
Approssimazione
BinomialeNormale
Esercizio 3
Esercizio 4
5
8
z=
0.6250 − 0.00417 − 0.5
= 2.65
0.0456
La probabilità corrispondente è P (z >= 2.65) = 1 − P (z < 2.65)=1-0.996=0.004
A. Iodice ()
Esercitazione 12
Statistica
27 / 27