Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor

Corso di Analisi Matematica
Calcolo differenziale e approssimazioni, formula
di Taylor
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
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1
Differenziale e approssimazione lineare
2
Formula di Taylor–MacLaurin con resto di Peano
3
La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange
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Approssimazione lineare
Operazione di linearizzazione: approssimare una funzione non lineare
tramite una funzione lineare, ottenendo informazioni sull’errore
commesso.
Caso tipico: incremento di una funzione.
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile in x0 ∈ (a, b) e diamo ad
x0 un incremento dx (che assumiamo molto piccolo in valore
assoluto, cioè |dx| 1). In conseguenza f subisce un incremento
∆f (x0 ) = f (x0 + dx) − f (x0 ).
In generale ∆f (x0 ) non è proporzionale a dx (ossia non è lineare
rispetto a dx).
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Differenziale
Invece, risulta essere proporzionale a dx l’incremento di f lungo la
retta tangente al grafico di f in x0 .
Infatti tale incremento è uguale a f 0 (x0 )dx.
Definizione
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile in x0 ∈ (a, b). Si chiama
differenziale di f in x0 (e si denota con df (x0 )) l’incremento di f lungo la
retta tangente al grafico di f in x0 :
df (x0 ) = f 0 (x0 )dx.
Qual è l’errore che si commette approssimando f in un intorno di x0 con
df (x0 )?
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Differenziale
Sappiamo che
f (x0 + dx) − f (x0 )
→ f 0 (x0 )
dx
per dx → 0
da cui
f (x0 + dx) − f (x0 )
− f 0 (x0 ) = ε(dx)
dx
ove ε(dx) → 0 per dx → 0.
Quindi
f (x0 + dx) − f (x0 ) = f 0 (x0 )dx + dx · ε(dx)
∆f (x0 ) = df (x0 ) + dx · ε(dx)
ove dx · ε(dx) è una funzione che divisa per dx tende a 0 cioè dx · ε(dx) è
un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx.
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“o piccolo”
Una simbologia utile in questa circostanza:
Definizione
Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x0 .
Se
f (x)
lim
=0
x→x0 g(x)
si scrive
f (x) = o(g(x)) per x → x0
e si legge “f (x) è un o piccolo di g(x)”.
Se g(x) è un infinitesimo per x → x0 , f (x) = o(g(x)) significa che
f (x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x).
Dunque si ha
∆f (x0 ) = df (x0 ) + o(dx) per dx → 0.
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Relazione tra “o piccolo” e “asintotico”
Teorema
Sono equivalenti:
1
f (x) ∼ g(x) per x → x0 ;
2
f (x) = g(x) + o(g(x)) per x → x0 .
I limiti notevoli si possono rileggere tramite uguaglianze che coinvolgono
“o piccolo”:
sen x = x + o(x) per x → 0;
ex − 1 = x + o(x) per x → 0;
1 − cos x = 12 x2 + o(x2 ) per x → 0.
In modo equivalente, per x → 0
1
cos x = 1 − x2 + o(x2 ).
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Formula di Taylor–MacLaurin con resto di Peano
Vogliamo ora generalizzare il procedimento di “approssimazione per
linearizzazione” a quello di “approssimazione polinomiale”.
Più precisamente, se f è derivabile n volte, esiste un polinomio di
grado n che in un intorno di un punto fissato x0 approssima la
funzione meglio della sua retta tangente?
Primo passo: individuare un polinomio che abbia tutte le derivate fino
all’ordine n uguali a quelle di f in x0 .
Secondo passo: provare che il polinomio trovato approssima “bene” f
in un intorno di x0 .
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Polinomio di MacLaurin
Per semplicità, consideriamo prima il caso in cui x0 = 0.
Teorema
Data una funzione f derivabile n volte in x = 0, esiste uno ed un solo
polinomio Tn di grado ≤ n tale che
Tn(k) (0) = f (k) (0)
∀k = 0, . . . , n.
Inoltre tale polinomio è dato da
Tn (x) =
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk
e si chiama polinomio di MacLaurin di f (x) di grado n.
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Formula di MacLaurin all’ordine n con resto secondo
Peano
Il polinomio Tn approssima bene f in un intorno di 0.
Teorema
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n volte in 0 ∈ (a, b). Allora il
polinomio di Maclaurin di grado n Tn verifica
f (x) = Tn (x) + o(xn )
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per x → 0.
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Formula di Taylor all’ordine n con resto di Peano
Quanto detto di può generalizzare al caso x0 6= 0.
Data una funzione f derivabile n volte in x0 , il suo polinomio di
Taylor in x0 è dato da
Tn,x0 (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k .
Vale il risultato di approssimazione.
Teorema
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n volte in x0 ∈ (a, b). Allora
f (x) = Tn,x0 (x) + o((x − x0 )n ) per x → x0 .
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Formula di MacLaurin di ordine n per alcune
funzioni elementari.
ex =
n
X
1 k
x + o(xn )
k!
per x → 0;
k=0
log(1 + x) =
n
X
(−1)k−1
k=1
k
xk + o(xn )
n
X
(−1)k 2k+1
sen x =
x
+ o(x2n+2 )
(2k + 1)!
per x → 0;
per x → 0;
k=0
cos x =
n
X
(−1)k
(2k)!
k=0
n
X
arctg x =
k=0
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x2k + o(x2n+1 )
per x → 0;
(−1)k 2k+1
x
+ o(x2n+2 )
2k + 1
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per x → 0.
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La formula di Taylor-MacLaurin con resto di
Lagrange
Nelle applicazioni, si utilizza il polinomio di Taylor per approssimare
una funzione f in un intorno di un punto fissato.
Occorre stimare l’errore commesso
En (x) = f (x) − Tn (x).
Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)
Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile n + 1 volte in [a, b] e x0 ∈ [a, b].
Allora, per ogni x ∈ [a, b], x 6= x0 , esiste c compreso tra x0 e x tale che
f (x) = Tn,x0 (x) +
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f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
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La formula di Taylor-MacLaurin con resto di
Lagrange
Per n = 0 la formula di Taylor con resto di Lagrange è il teorema di
Lagrange.
L’errore En (x) è dunque dato da
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
detto resto secondo Lagrange.
Il punto c dipende da x0 , x e n ed è compreso tra x0 e x. Se si riesce
a provare che esiste M > 0 tale che |f (n+1) (t)| ≤ M per ogni t
compreso tra x0 e x allora
|f (x) − Tn,x0 (x)| ≤
M
|x − x0 |n+1
(n + 1)!
che è una stima dell’errore di approssimazione commesso.
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