RETI DI TELECOMUNICAZIONE
Modelli delle Sorgenti di Traffico
Generalità
¾ Per la realizzazione di un modello analitico di un sistema di
telecomunicazione dobbiamo tenere in considerazione 3
distinte sezioni
1. Sorgenti
2. Aggregato delle sorgenti
3. Sottosistema di
comunicazione
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Modelli delle sorgenti di traffico
¾ Modelli senza memoria (renewal models)
9 Sono i modelli matematicamente più semplici
9 Assumono che il tempo che intercorre fra la generazione di due
successive unità informative sia indipendente e identicamente distribuito
(tempi di interarrivo indipendenti e identicamente distribuiti)
9 La distribuzione può essere di tipo generale
9 La funzione di autocorrelazione risulta non nulla solo in 0
Non si ha correlazione
Le sorgenti che emettono segnali in maniera correlata non possono essere modellate
correttamente in quanto tali modelli non possono catturare le correlazioni temporali
9 Distribuzione binomiale
Nel caso di modelli tempo discreto
9 Distribuzione poissoniana
Nel caso di modelli tempo continuo
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Modelli delle sorgenti di traffico
¾ Distribuzione binomiale
9 Tempo discreto
9 Probabilità di emissione in uno slot pari a p, 0<p<1
9 Distribuzione geometrica del numero di slot fra due successive
emissioni
9 Distribuzione binomiale negativa del numero di slot necessari per
ottenere l’emissione di k elementi
9 Distribuzione binomiale della probabilità di avere x emissioni in un
numero di slot pari a n
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Modelli delle sorgenti di traffico
¾ Distribuzione di Poisson
9 Tempo continuo
9 Frequenza delle emissioni pari a λ
9 Distribuzione esponenziale del tempo che intercorre fra due successive
emissioni
9 Distribuzione Erlang-k del tempo necessario per ottenere l’emissione di
k elementi
9 Distribuzione di Poisson della probabilità di avere x emissioni in un
intervallo di tempo pari a t
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Modelli delle sorgenti di traffico
¾ Teorema di Palm
9 Il risultato della sovrapposizione di “molti” processi indipendenti genera
un processo con distribuzione di probabilità degli eventi di Poisson
¾ I processi di Poisson (o binomiali, nel caso tempo discreto)
caratterizzano bene solo la sovrapposizione di un grande
numero di sorgenti indipendenti ciascuna con una distribuzione
generale di probabilità di emissione
9 In realtà è stato recentemente dimostrato che anche l’aggregato di
diversi stream di traffico non genera processi di Poisson
¾ Soluzione:
9 Introdurre il concetto di stato della sorgente per tenere in considerazioni
le diverse condizioni nelle quali può trovarsi
9 Utilizzare dei processi ausiliari (come le catene di Markov) che
controllino (modulino) lo stato della sorgente
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Modello tempo continuo
9 Il processo di emissione di Poisson è modulato da una catena di Markov
continua a due stati
Se la catena di Markov si trova nello stato 1 (ON) si ha emissione con rate λ
Se la catena di Markov si trova nello stato 0 (OFF) non si ha emissione
9 In pratica il processo di emissione di Poisson è interrotto quando la
catena di Markov del processo modulante ( s(t) ) si trova nello stato OFF
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Il processo s(t) può essere caratterizzato dalla matrice di
transizione
¾ Il rate di emissione, a seconda dello stato, può essere
caratterizzato dal vettore
¾ Possiamo ricavare le probabilità di stato stazionarie per la
catena di Markov
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Che si ottengono risolvendo il sistema di equazioni
9 Dove
è il vettore riga delle probabilità di stato e
¾ Si trova
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Il valore massimo del rate sarà
¾ Il valore medio
¾ Si definisce fattore di burstiness
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ La funzione di autocorrelazione assume la forma
9 Notando che
la relazione può essere semplificata nella forma
dove, nell’ultima espressione si è tenuta in considerazione la regola di
Bayes
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Considerando
9 la matrice di transizione della catena di Markov tempo continua H fra gli
istanti t e t+τ
9 il vettore di probabilità di stato stazionario Π
¾ sarà
dove P11 è l’elemento, della matrice di transizione tempo continua, che
indica la probabilità di trovarsi nello stato 1 sia all’istante t che
all’istante t+τ
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ La funzione di autocorrelazione assume quindi la forma
ed essendo il sistema stazionario possiamo considerare solo gli
intervalli di tempo τ piuttosto che gli istanti assoluti t e t+τ
¾ Dalla teoria sulle catene di Markov tempo continue (gruppo slide
n. 7) avevamo ricavato che la matrice di transizione H è legata
alla matrice delle frequenze di transizione Q dalla relazione
essendo la matrice delle frequenze di transizione Q(t)=Q costante
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Per ricavare gli elementi della matrice H (calcolare la matrice
esponenziale) ricorriamo alla decomposizione spettrale
9 Dove L e T sono rispettivamente la matrice degli autovalori e degli
autovettori della matrice Q: Q=T-1·L·T
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Si ricava
e quindi
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ In definitiva la funzione di autocorrelazione assume la forma
9 Costituita da una costante sommata a un esponenziale decrescente il cui
andamento è riportato in figura per i valori di α=0.5, β=2, λ=1
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Poisson Process
IPP
¾ Agendo sui valori della matrice Q ( costanti α e β ) e sul vettore
Γ =[γ0, γ1] dei rate di emissione possiamo ottenere i valori
desiderati delle statistiche del primo ordine
9 Vettore delle probabilità di stato stazionarie Π e quindi
Valore di picco del rate PΛ
Valore medio del rate MΛ
Fattore di burstiness bΛ
e impostare “parzialmente” la statistica del secondo ordine
9 Agendo sull’andamento della funzione di autocorrelazione RΛΛ(τ) del
rate di emissione che assume la forma data nella slide precedente
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ Per ottenere l’andamento desiderato della funzione di
autocorrelazione occorre avere più gradi di libertà per la scelta
dei parametri
¾ Si possono utilizzare delle catene di Markov a N stati per
modulare il processo di Poisson associando ad ogni stato un
diverso rate di emissione γi
¾ Possiamo generalizzare
i modelli IPP considerando:
9 Una matrice delle
frequenze di transizione
Q NxN
9 Un vettore che caratterizza
il rate di emissione per
ogni stato Γ 1xN
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ La matrice delle frequenze di transizione Q assumerà la forma
¾ Il vettore dei rate di emissione Γ
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ Si possono ricavare le probabilità di stato a regime
¾ E definire il rate di emissione massimo, il rate di emissione
medio e il fattore di burstiness
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ La funzione di autocorrelazione assumerà la forma
considerando il sistema stazionario sarà
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ Gli elementi Pij possono essere ricavati determinando la matrice
H delle probabilità di transizione
calcolabile a partire dalla matrice delle frequenze di transizione
Q (dopo la decomposizione spettrale)
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Markov Modulated Poisson Process
MMPP
¾ Analogamente al modello IPP, la funzione di autocorrelazione
assumerà la forma
dove
9 λi sono gli autovalori della matrice di transizione Q
9 Ri sono funzione degli elementi qij della matrice Q
¾ Sarà possibile in questo modo variare con più gradi di libertà
l’andamento della funzione di autocorrelazione
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Descrizione tempo-discreta
delle sorgenti di traffico
¾ Il tempo si considera suddiviso in unità di lunghezza costante
detti “slot”
9 Si assuma ∆ la durata di uno slot espressa in secondi
9 L’unità temporale può essere assunta pari al numero k
di sequenza dello slot
9 All’interno di uno slot si può avere l’emissione di un certo numero Ak di
unità informative (che potrebbero degenerare ai singoli bit)
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Modello tempo discreto
9 Il processo di emissione di Bernoulli è modulato da una catena di Markov
discreta a due stati (sincronizzata con il processo)
Durante la permanenza della catena di Markov nello stato 1 (ON) si ha emissione di
pacchetti secondo un proceso di Bernoulli con parametro p
Durante la permanenza della catena di Markov nello stato 0 (OFF) non si ha emissione
di pacchetti
In pratica il processo di emissione di Bernoulli è interrotto quando la catena di Markov
discreta del processo modulante ( s(n) ) si trova nello stato OFF
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Il processo s(n) può essere caratterizzato dalla matrice di
transizione ad un passo della catena di Markov discreta
¾ Si possono ricavare le probabilità di stato a regime
risolvendo il sistema di equazioni
dove
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Risolvendo il sistema si trova
¾ Il processo di emissione per ogni stato può essere
rappresentato dal vettore
Dove il generico termine γi indica la probabilità che venga emesso un
pacchetto quando il sistema si trova nello stato i
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Il valore massimo del rate sarà
¾ Il valore medio
¾ Il fattore di burstiness
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Possiamo determinare anche la funzione distribuzione di
probabilità del processo di emissione dei pacchetti
¾ E la funzione di autocorrelazione
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Notando che
sarà
¾ Ricordandosi che
che si possono ottenere dal vettore di probabilità di stato e dalla matrice
di transizione di probabilità a più passi
¾ Possiamo scrivere l’autocorrelazione come
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Per un sistema stazionario sarà
e la matrice di transizione di probabilità a più passi può essere
calcolata a partire dalla matrice di transizione di probabilità ad
un passo secondo la relazione
¾ Che effettuando la decomposizione ai valori singolari può
essere calcolata come
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Dove L è la matrice contenente gli autovalori nella diagonale e T
è la matrice degli autovettori
¾ Si trova
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ E risolvendo
¾ Per cui l’autocorrelazione assume la forma
Costituita da una costante
sommata a una potenza con
base minore si 1 il cui andamento
è riportato in figura per i valori
di α=0.002, β=0.075, p=1
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Interrupted Bernoulli Process
IBP
¾ Agendo sui valori della matrice Q ( costanti α e β ) e sul vettore
Γ =[γ0, γ1] delle probabilità di emissione dei pacchetti possiamo
ottenere i valori desiderati delle statistiche del primo ordine
9 Vettore delle probabilità di stato stazionarie Π e quindi
Valore medio del rate MΛ
Fattore di burstiness bΛ
impostare “parzialmente” la funzione distribuzione di probabilità
fΓ (r)
e impostare “parzialmente” la statistica del secondo ordine
9 Agendo sull’andamento della funzione di autocorrelazione RΛΛ(m) delle
probabilità di emissione dei pacchetti che assume la forma data nella
slide precedente
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Markov Modulated Bernoulli Process
MMBP
¾ Analogamente a quanto fatto per il passaggio dagli IPP ai MMPP
si possono descrivere i MMBP a partire dagli IBP
9 Si avrà una matrice delle
probabilità di transizione
P NxN
9 Un vettore delle probabilità
di emissione 1xN
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Markov Modulated Bernoulli Process
MMBP
¾ Dalle quali si possono ricavare le probabilità di stato a regime
e quindi il rate di emissione medio, il fattore di burtstiness e la
funzione distribuzione di probabilità
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Markov Modulated Bernoulli Process
MMBP
¾ La funzione di autocorrelazione assumerà la forma
se il sistema è stazionario sarà
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Markov Modulated Bernoulli Process
MMBP
¾ Dove i termini Pij(m) sono gli elementi in posizione ij della
matrice di transizione di probabilità ad m passi
Effettuando la decomposizione spettrale
con L matrice diagonale degli autovalori e T matrice degli
autovettori
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Markov Modulated Bernoulli Process
MMBP
¾ La funzione di autocorrelazione potrà essere scritta come
dove i coefficienti λi sono gli autovalori della matrice P e i
termini Ri si ottengono a partire dai coefficienti della matrice P
¾ Con un certo grado di libertà si può quindi imporre l’andamento
della funzione di autocorrelazione
¾ Modelli più complessi possono essere ottenuti utilizzando delle
distribuzioni di probabilità diverse per ogni stato
9 Switched Batch Bernoulli Process (SBBP)
In ogni stato si prevede una certa distribuzione di probabilità che prevede l’emissione
di 0,1,…,ni pacchetti
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ In alcuni casi può essere conveniente costruire il modello
dell’aggregato di un certo numero di sorgenti
¾ Consideriamo ad esempio la sovrapposizione di due sorgenti di
tipo IBP (che indichiamo rispettivamente con i pedici A e B)
9 Il processo cumulativo sarà costituito da 4 stati, ciascuno dei quali
rappresenta una delle possibili combinazioni nelle quali si possono
trovare i due processi indipendenti
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Calcolo della matrice P del modello sovrapposto
La matrice P è quindi data dal prodotto di Kronecker delle due
matrici PA e PB
¾ Questo è un risultato generale che vale per la sovrapposizione
di qualunque numero di sorgenti MMBP
¾ La probabilità di emissione per ogni stato sarà
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Costruite le matrici A(r) in maniera tale che
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Saranno
le matrici che rappresentano le probabilità di transitare da uno
stato all’altro e contemporaneamente emettere r pacchetti
¾ Per sorgenti statisticamente indipendenti sarà
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Il processo aggregato è quindi un processo SBBP in quanto per
ogni stato è definita una distribuzione delle probabilità di
emettere 0, 1 o 2 pacchetti
¾ Anche considerando la sovrapposizione di due sorgenti di tipo
IPP (che indichiamo rispettivamente con i pedici A e B)
9 Il processo cumulativo sarà costituito da 4 stati, ciascuno dei quali
rappresenta una delle possibili combinazioni nelle quali si possono
trovare i due processi indipendenti
9 In questo caso però non si ammette una transizione contemporanea con
doppio cambiamento di stato perché si fa l’ipotesi che due differenti
eventi non possano avvenire contemporaneamente (per i processi
continui questa probabilità è nulla)
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Si ha quindi il modello sovrapposto
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Calcolo della matrice P del modello sovrapposto
La matrice Q è quindi data dalla somma di Kronecker delle due
matrici QA e QB
¾ Questo è un risultato generale che vale per la sovrapposizione
di qualunque numero di sorgenti MMPP
¾ Il rate di emissione per ogni stato sarà
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ Con la sovrapposizione Markoviana nel dominio tempo discreto
9 Lo spazio degli stati si ottiene come prodotto cartesiano dei singoli spazi
degli stati che compongono il processo
9 La matrice di transizione di probabilità si ottiene come prodotto di
Kronecker delle matrici di transizione di probabilità che compongono il
processo
¾ Con la sovrapposizione Markoviana nel dominio tempo continuo
9 Lo spazio degli stati si ottiene come prodotto cartesiano dei singoli spazi
degli stati che compongono il processo
9 La matrice dei tassi di transizione si ottiene come somma di Kronecker
delle matrici di tasso di transizione che compongono il processo
Modelli delle Sorgenti di Traffico
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Sovrapposizione Markoviana
¾ I modelli ottenuti con sovrapposizione Markoviana risultano
molto accurati
¾ L’inconveniente maggiore è dovuto alla crescita esponenziale
del numero degli stati
9 Sovrapponendo, ad esempio, 10 sorgenti SBBP ciascuna con 4 stati si
ottiene un processo aggregato con 410=1.048.576 stati
¾ Una possibile soluzione è quella di creare un modello che cerca
di catturare direttamente le caratteristiche statistiche del
processo aggregato (sovrapposizione statistica)
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