Sistemi M/M/m/m

RETI DI TELECOMUNICAZIONE
SISTEMI M/M/m
Generalità
¾ La coda è collegata a m serventi
9 Ogni servente può rappresentare
€ Uno dei canali a commutazione di circuito in un nodo per traffico telefonico
€ Uno dei diversi link tra due nodi in un collegamento punto-punto
€…
9 Il sistema si può modellare come un processo si nascita e morte
state-dependent
€ Per gli stati da 0 a m il rate di servizio sarà pari a nµ
€ A partire dallo stato m+1 il rate di servizio si assesterà al valore costante mµ
SISTEMI M/M/m
2
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1
Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ Se indichiamo con n il numero di utenti nel sistema possiamo
scrivere che il rate di servizio sarà
¾ Le equazioni di bilanciamento dettagliate assumono la forma
dalle quali, iterando la soluzione di ogni equazione
SISTEMI M/M/m
3
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Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ Calcolato il valore di Πm dalla prima equazione, possiamo
sostituirlo nella seconda
ottenendo
SISTEMI M/M/m
4
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2
Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ La seconda equazione può essere scritta, dopo le
semplificazioni, nella forma
¾ Considerato il fattore di utilizzazione del sistema rispetto a tutti i
serventi sarà
e quindi
SISTEMI M/M/m
5
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Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ Possiamo allora scrivere che la probabilità di trovarsi in un
generico stato n sarà
¾ Possiamo applicare la normalizzazione delle probabilità di stato
SISTEMI M/M/m
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3
Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ Ottenendo, dopo i vari passaggi
SISTEMI M/M/m
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Equazioni di bilanciamento dettagliate
¾ La probabilità di trovarsi nello stato 0
che sostituita nelle precedente relazione ci permette di trovare la
probabilità di trovarsi in qualunque altro stato
¾ Possiamo calcolare la probabilità di accodamento, cioè la
probabilità che il sistema si trovi almeno nello stato m
posto j=n-m, sarà
SISTEMI M/M/m
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4
Formula C
di Erlang
¾ Sostituendo il valore della probabilità di stato 0, otteniamo la
formula C di Erlang
9 Questa formula può essere utilizzata per determinare la probabilità di
accodamento in un call-center dato il traffico offerto distribuito secondo
Poisson con una certa frequenza media λ e la durata delle chiamate
esponenzialmente distribuita con un certo parametro 1/µ e un numero
prefissato di agenti m.
9 Viceversa può essere utilizzata per determinare il numero di agenti m
che permette di ottenere una certa probabilità di accodamento dato il
traffico offerto e la durata e media delle chiamate
SISTEMI M/M/m
9
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Formula C
di Erlang
¾ Può essere determinato anche il numero medio di utenti in
attesa in coda
SISTEMI M/M/m
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5
Formula C
di Erlang
¾ A partire dalla legge di Little possiamo calcolare il tempo medio
di attesa in coda
il tempo medio di attesa nel sistema
SISTEMI M/M/m
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Formula C
di Erlang
e il numero medio di clienti nel sistema
Numero medio di
clienti nei serventi
Numero medio di
clienti nella coda
SISTEMI M/M/m
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6
Formula C
di Erlang
¾ Foglio di calcolo
€ http://www.mitan.co.uk/mainerlg_spsh.htm
SISTEMI M/M/m
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Formula C
di Erlang
¾ Matlab… (da implementare)
€ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=824&obje
ctType=File
SISTEMI M/M/m
14
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7
Formula C
di Erlang
¾ Applicazioni per il dimensionamento e la gestione dei
call-center: CC modeler lite
€ http://www.kooltoolz.com/ccm.htm
SISTEMI M/M/m
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Formula C
di Erlang
9 Applicazioni per il dimensionamento e la gestione dei
call-center: CC modeler lite
SISTEMI M/M/m
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8
Formula C
di Erlang
¾ Applicazioni per il dimensionamento e la gestione dei
call-center: PhoneCalc
€ http://www.mitan.co.uk/maindwld_dlfm.htm
SISTEMI M/M/m
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Sistemi M/M/∞
¾ Un caso particolare si ha quando il numero di serventi tende ad
infinito
9 Praticamente vi è sempre un servente disponibile
¾ Le equazioni di bilanciamento dettagliate divengono
per ricorsione possiamo ricavare la probabilità di stato n a
partire dalla probabilità di stato 0
SISTEMI M/M/m
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9
Sistemi M/M/∞
¾ Dalla condizione di normalizzazione
si ricava la probabilità di stato 0
e quindi la generica probabilità di stato n
che nel caso specifico coincide con una distribuzione di
Poisson
SISTEMI M/M/m
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Sistemi M/M/∞
¾ Possiamo calcolare il numero medio di clienti nel sistema
SISTEMI M/M/m
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10
Sistemi M/M/∞
¾ E sfruttando la legge di Little il tempo medio di permanenza dei
clienti nel sistema
che ovviamente coincide con il tempo medio di servizio dato
che non ci sarà mai accodamento (troviamo sempre un servente
disponibile)
SISTEMI M/M/m
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Sistemi M/M/m/m
¾ In questo tipo di sistemi non vi è possibilità di accodamento
9 Quando tutti i serventi sono occupati un eventuale arrivo viene perso
9 Il sistema può essere modellato con una catena di nascita e morte a
m+1 stati
SISTEMI M/M/m
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11
Sistemi M/M/m/m
¾ Le equazioni di bilanciamento dettagliate divengono
dalle quali si ricava
dalla normalizzazione delle probabilità di stato si ricava la
probabilità di stato 0
SISTEMI M/M/m
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Sistemi M/M/m/m
¾ Dalla probabilità di stato 0 la generica probabilità di stato m=1..n
¾ Quando il sistema si trova nello stato m un ulteriore cliente non
può essere servito e viene perso
¾ La probabilità di stato m coincide con la probabilità di perdita
Tale relazione coincide con la formula di Erlang-B
SISTEMI M/M/m
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12
Confronto fra i diversi sistemi di accodamento
¾ Sia dato un sistema nel quale
9 Gli arrivi sono dati dall’aggregato di m diversi processi Poissoniani
ciascuno con rate λ
9 I tempi di servizio sono esponenzialmente distribuiti con un rate medio
pari a mµ
¾ Possiamo utilizzare 3 diversi metodi di accodamento e servizio
9 1 coda alla quale arriva il processo cumulativo degli arrivi gestita da 1
servente in grado di operare al rate mµ
9 1 coda alla quale arriva il processo cumulativo degli arrivi gestita da m
serventi in grado di operare al rate µ
9 m code alle quali arrivano i diversi processi gestite singolarmente da 1
servente in grado di operare al rate µ
¾ Esternamente abbiamo un processo in cui gli arrivi avvengono
ad un rate mλ e le partenze ad un rate mµ
SISTEMI M/M/m
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Confronto fra i diversi sistemi di accodamento
A: m code M/M/1 a rate µ
B: 1 coda M/M/1 a rate mµ
C: 1 coda M/M/m a rate µ
SISTEMI M/M/m
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13
Confronto fra i diversi sistemi di accodamento
¾ Calcoliamo il tempo medio di servizio nei tre casi
SISTEMI M/M/m
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Confronto fra i diversi sistemi di accodamento
m=5
m=2
m=10
µ=1
SISTEMI M/M/m
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14
Confronto fra i diversi sistemi di accodamento
¾ Il sistema A ha le prestazioni peggiori perché ci possono essere
clienti in coda anche quando qualche altro servente è
disponibile
9 Le prestazioni del sistema A sono indipendenti dal valore di m
¾ Il sistema B ha prestazioni migliori del sistema C perché in
quest’ultimo si raggiunge il massimo rate di uscita ( mµ ) solo
quando nel sistema ci sono almeno m clienti
¾ Al crescere di ρ le prestazioni del sistema C convergono a quelle
del sistema B in quanto la condizione di m clienti nel sistema
diventa altamente probabile
¾ Al crescere di m il divario fra i vari sistemi diventa più marcato
9 In particolare per valori di ρ non “particolarmente” prossimi a 1
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Sistema con M linee d’ingresso e N linee d’uscita con N ≤ M
9 Su ciascuna linea arrivano delle chiamate
con un rate medio λ
9 La durata media delle chiamate
è pari a 1/µ
9 Può essere modellato come un processo
di nascita e morte state-dependent
€ Lo stato n rappresenta il numero delle chiamate in corso
€ Il rate degli arrivi decresce al crescere dello stato finchè sono saturate tutte le linee
d’ingresso
€ Il rate delle partenze cresce al crescere dello stato finchè sono saturate tutte le linee
d’uscita
SISTEMI M/M/m
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15
Autocommutatore a perdita
¾ Analiticamente il rate delle nascite e delle morti può essere
scritto come
¾ Si possono scrivere le equazioni di bilanciamento dettagliate
dalle quali ricavare la probabilità di stato n a partire dalla
probabilità di stato 0
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
riordinando i termini al numeratore
che può essere scritta più semplicemente come
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Dalla condizione di normalizzazione si può ricavare la
probabilità di stato 0
¾ E quindi scrivere la generica distribuzione di probabilità di stato
che nello specifico corrisponde alla distribuzione di ENGSET
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ L’autocommutatore si troverà nello stato bloccato in
corrispondenza dello stato n=N nel quale tutte le risorse sono
occupate
¾ Sarà quindi la probabilità di blocco
questa probabilità non coincide con la probabilità di perdita che
è data dalla condizione in cui una chiamata può essere persa a
causa della indisponibilità di risorse (stato bloccato)
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Se indichiamo con
Deve accadere che la probabilità che una chiamata arrivi moltiplicata la
probabilità che la chiamata venga persa eguagli la probabilità che una
chiamata arrivi in condizioni di sistema bloccato per la probabilità che il
sistema sia bloccato
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ La probabilità degli arrivi in condizioni di sistema bloccato sarà
proporzionale alla frequenza degli arrivi in corrispondenza dello
stato N moltiplicata per uno specifico intervallo di tempo di
osservazione ∆t
¾ Analogamente, la probabilità media degli arrivi sarà
proporzionale alla frequenza media degli arrivi in
corrispondenza di tutti i possibili stati moltiplicata per uno
specifico intervallo di tempo di osservazione ∆t
con
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Possiamo quindi ricavare la probabilità di perdita come
Sostituendo…
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Si trova quindi che
e anche che
¾ Un caso particolare si ha quando M=N
Sarà la distribuzione di probabilità di stato
SISTEMI M/M/m
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Autocommutatore a perdita
¾ Posto
possiamo scrivere
che corrisponde a una distribuzione binomiale
¾ Il sistema per M=N non potrà mai andare in blocco
SISTEMI M/M/m
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20
Autocommutatore a perdita
¾ Per M=N ciascuna linea d’uscita è modellabile
come un sistema di nascita e morte
a 2 stati (idle e busy)
9 Il sistema transita dallo stato idle allo stato busy con frequenza λ
9 Il sistema transita dallo stato busy allo stato idle con frequenza µ
9 Le probabilità che la linea si trovi nello stato busy e idle saranno
rispettivamente
¾ La probabilità che n linee indipendenti su N si trovano nello
stato busy sarà data dalla distribuzione binomiale
SISTEMI M/M/m
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Intensità di traffico e Erlang
¾ L’intensità di traffico istantanea per un gruppo di risorse
(serventi, canali, linee) corrisponde al numero di risorse
occupate in uno specifico istante di tempo n(t)
9 L’unità di misura per l’intensità di traffico è l’erlang (E)
¾ Il valore medio dell’intensità di traffico può essere calcolato per
un determinato intervallo di tempo T mediando il numero di
risorse occupate in quell’intervallo
¾ Nelle applicazioni con intensità di traffico si intende spesso il
valore medio dell’intensità di traffico
SISTEMI M/M/m
42
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21
Intensità di traffico e Erlang
¾ Traffico smalito (Carried Traffic AC ):
9 Traffico smaltito da un gruppo di serventi in un intervallo di tempo T
9 Se con γ indichiamo il throughput
e con µ il rate medio d’uscita dal
sistema
(1/µ : durata media di una chiamata)
sarà
9 Il volume di traffico in un intervallo di tempo T si misura in erlang-ore
€ Corrisponde alla somma di tutte le durate delle singole chiamate che hanno avuto
luogo nell’intervallo di tempo T
SISTEMI M/M/m
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Intensità di traffico e Erlang
¾ Traffico offerto (Offered Traffic AO ):
9 Corrisponde al traffico che dovrebbe essere smaltito in un sistema ideale
che non perde alcuna chiamata a causa della capacità limitata del
sistema
9 Se con λ indichiamo il rate medio degli arrivi e con µ il rate medio
d’uscita dal sistema (1/µ : durata media di una chiamata)
sarà
¾ Traffico perso (Lost Traffic Al ):
9 Differenza fra traffico offerto e traffico smaltito
SISTEMI M/M/m
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Intensità di traffico e Erlang
¾ Calcolo traffico offerto
9 Se la frequenza media di arrivo delle chiamate è di 5 al minuto e la
durata media di una chiamata è di 3 minuti
9 Il traffico offerto sarà pari a 15 E (erlang)
¾ Calcolo volume di traffico
9 Il volume di traffico medio in una giornata di 8 ore è di 120 E-ore (erlangore)
SISTEMI M/M/m
45
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Variazione del traffico offerto
concetto di busy-hour
¾ Il traffico offerto è un processo stocastico
¾ Nel processo stocastico possiamo individuare delle correlazioni
a lungo e a breve termine che tengono in considerazione
9
9
9
9
l’ora del giorno
il giorno della settimana
il mese dell’anno
il passare degli anni
SISTEMI M/M/m
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23
Variazione del traffico offerto
concetto di busy-hour
¾ Valori di traffico offerto misurati ad un commutatore in un
mattino di lunedì
SISTEMI M/M/m
47
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Variazione del traffico offerto
concetto di busy-hour
¾ Valori di traffico offerto ad un commutatore mediati fra i diversi
giorni feriali per ognuna delle diverse ore del giorno
SISTEMI M/M/m
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24
Variazione del traffico offerto
concetto di busy-hour
¾ Si definisce Busy Hour come l’intervallo di tempo di 60 minuti
(misurato con accuratezza di 15 minuti) per il quale si osserva il
traffico offerto medio più elevato
¾ Si definisce Peak Busy Hour come l’intervallo di tempo di 60
minuti (misurato con accuratezza di 15 minuti) per il quale si
osserva il traffico offerto medio più elevato per ogni singolo
giorno
¾ Si definice Time Consistency Busy Hour come l’intervallo di
tempo di 60 minuti (misurato con un accuratezza di 15 minuti)
per il quale per un lungo intervallo di tempo si osserva il traffico
offerto medio più elevato
¾ Il valore del traffico offerto in uno dei tre casi può essere preso
come riferimento per il dimensionamento del sistema
SISTEMI M/M/m
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Grade of Service (GoS)
¾ Si può determinare come la probabilità che una chiamata venga
bloccata durante la Busy Hour
¾ Tipicamente si fissa un valore pari all’1%
¾ Il GoS di una rete può essere calcolato sommando i GoS di ogni
commutatore
SISTEMI M/M/m
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25
Erlang-B ed Erlang-C
in funzione del traffico offerto
¾ La relazione trovata per la probabilità di blocco (Erlang-B) in un
sistema a perdita (M/M/m/m) in funzione del traffico offerto
diviene
¾ La relazione trovata per la probabilità di accodamento (Erlang-C)
in un sistema a coda infinita (M/M/m) in funzione del traffico
offerto diviene
SISTEMI M/M/m
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Probabilità di blocco (Erlang-B)
al variare del traffico offerto
parametrizzata dal numero di canali
SISTEMI M/M/m
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Corso "Reti di Telecomunicazione" - CdL Magistrale in Ingegneria Informatica - (Ing. Salvatore Serrano)
26
Coefficiente di utilizzazione del singolo canale
al variare del numero di canali
parametrizzato dalla probabilità di blocco (Erlang-B)
SISTEMI M/M/m
53
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Probabilità di accodamento (Erlang-C)
al variare del traffico offerto
parametrizzata dal numero di serventi
SISTEMI M/M/m
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Alcune risorse on-line
¾
http://www.erlang.com/calculator/
¾
http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/mcerlb.htm
¾
http://www.cas.mcmaster.ca/~qiao/publications/erlang/newerlang.html#calculator
¾
http://www.math.vu.nl/~koole/ccmath/ErlangC/
¾
http://www.math.vu.nl/~sapot/software/ErlangB/
SISTEMI M/M/m
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