USR: gruppo C2
Formazione docenti
05 Ottobre 2010
Equazioni di secondo grado e numeri metallici
Luisa Rossi – Paolo Teruzzi
2
Come proporre questa UF?
• Assegnare agli allievi il problema geometrico sui rettangoli
congruenti
• Invitare gli allievi a trovare una condizione di allineamento
di tre punti
Luisa Rossi Costa
3
Come proporre questa UF?
• Prendere atto che l’equazione risolvente è di secondo
grado
• Calcolarne le soluzioni
• Comprendere che si tratta di un problema di medio
proporzionale
• Riconoscere che la soluzione è data dal numero d’oro
Luisa Rossi Costa
4
Attenzione alla manualità!
• Costruzione geometrica della soluzione
Luisa Rossi Costa
5
Legami interdisciplinari
• Legare l’equazione aurea a problemi geometrici su altre figure
(es.: ellissi e cerchi)
• Approfondimenti:
- Successione di Fibonacci
- Opere artistico-architettoniche
- Ricerca del numero aureo in natura
Luisa Rossi Costa
6
Approfondimenti ulteriori
• Generalizzazione dell’equazione di secondo grado, al variare di
coefficienti interi naturali
• La famiglia dei numeri metallici
• Costruzione geometrica delle soluzioni: lavoro nel piano
Luisa Rossi Costa
7
Lavorare nello spazio
•
Assegnare un problema geometrico su parallelepipedi congruenti
• Invitare gli allievi a trovare la condizione di allineamento
di tre punti nello spazio
Luisa Rossi Costa
8
Dai parallelepipedi ad un’equazione di terzo grado
• La condizione di allineamento conduce ad una equazione
di terzo grado
• Equazione del numero plastico
• Legami con l’Architettura
• Ricerca di edifici con proporzioni plastiche
Luisa Rossi Costa
9
Ancora approfondimenti
• Dalle equazioni alle sequenze numeriche ricorsive
• Dalle progressioni geometriche di numeri metallici a
sequenze ricorsive
• Fibonacci e numero d’oro
• Sequenze ricorsive legate al numero plastico
• I numeri metallici e il numero plastico come limite di una
successione
Luisa Rossi Costa
10
Prerequisiti
Prerequisito 1
Sapere riconoscere e sapere risolvere un’equazione di II
grado di variabile reale a coefficienti reali
(1)
2
ax + bx + c = 0 a, b,c ∈ℜ, a ≠ 0
tramite la formula risolutiva
2
x1, 2
− b ± b − 4ac
=
2a
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11
Prerequisiti
Quando a = 0 l’equazione si riduce a un’equazione di
primo grado e
la formula risolutiva non è più valida.
Posto a ≠ 0 é possibile dividere l’equazione (1) per il
primo coefficiente, ottenendo
b
c
x + x+ =0
a
a
2
Rinominando i coefficienti:
(2)
x 2 + ax + b = 0
Luisa Rossi Costa
12
Prerequisiti
Prerequisito 2
Conoscere il significato dei coefficienti a
Ricordando la scomposizione:
e b
( x − x1 )( x − x2 ) = x 2 + ( x1 + x2 ) x + x1 x2
deve essere
b = x1 x2
a=x1 +x2
Il coefficiente del termine di primo grado rappresenta
la somma delle radici e il termine noto rappresenta il
loro prodotto.
2
x + 5x + 6 = 0
Esempio:
Le radici sono 2 e 3: la somma è 5 e il prodotto è 6
Luisa Rossi Costa
13
Prerequisiti
Prerequisito 3
Riconoscere presenze di proporzioni significative
in una costruzione, in un’opera d’arte, nel design.
è
Filtro da tè a
forma di tetraedro –
atomo di metano CH4
Le proporzioni nel Duomo
di Milano
Salvador Dalì
Luisa Rossi Costa
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Numeri metallici
L’equazione a coefficienti interi naturali
2
x − ax − b = 0
a,b∈N = {1, 2, 3,...}
(2)
ammette sempre due soluzioni, una positiva x1 , l’altra
negativa x2 :
x1, 2
a ± a 2 + 4b
=
2
La soluzione positiva è detta numero metallico
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15
Numeri metallici
Per
b =1
a =1
,
x1 = Φ =
1+ 5
2
il numero d’oro.
Costruzione geometrica del rettangolo aureo
Φ
La lettera greca Φ indica il numero d’oro
in memoria dello scultore e architetto Fidia,
che scolpì i gruppi marmorei dei
frontoni del Partenone,
in cui si ritrovano rapporti aurei.
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Numeri metallici
Per
a=2
b =1
,
x1 = θ = 1+ 2
detto numero d’argento.
Costruzione geometrica
del rettangolo d’argento
Per
a = 3 b =1
,
x1 = β =
3 + 13
2
Costruzione geometrica
del rettangolo di bronzo
Luisa Rossi Costa
detto numero di bronzo.
17
Numeri metallici
Per a = 1
b =1
, ritroviamo il numero d’oro
Per a = 1 b = 2 , x1 = 2 detto numero di rame nel
contesto dei numeri metallici
Per a = 1
b=3
,
x1 =
1 + 13
2
Costruzione geometrica
del rettangolo di nichel
Luisa Rossi Costa
detto numero di nichel.
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Rettangoli ed ellissi
Siano R e R’ due rettangoli di dimensioni a e b come in figura. Allora
affinché i vertici O, A e B
siano allineati R deve essere
un rettangolo aureo.
b
sono uguali.
a
2
a
a
Dall’uguaglianza si ottiene = 1 + , che corrisponde all’equazione (2), la cui
b
b
soluzione è il rapporto
I tre vertici sono allineati se e solo se i rapporti
a
=Φ
b
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a
a+b
e
19
Rettangoli ed ellissi
Dati un’ellisse di semiassi a e b e due cerchi di raggio a e b,
condizione necessaria e sufficiente
affinché l’area racchiusa dall’ellisse
sia pari alla differenza delle aree
a
dei cerchi è che valga b = Φ
2
a
a
è soddisfatta se e solo se = 1 +
b
b
La condizione πab = πa 2 − πb 2
cioè se e solo se a = Φ .
b
In figura il caso dei due cerchi concentrici e dell’ellisse tangente ad entrambi.
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20
Il numero plastico
Si consideri l’equazione
3
x − x −1 = 0
Questa ammette sempre una sola radice reale e positiva che si ricava
attraverso la formula di Cardano:
p=
3
1
1 1 3 1
1 1
+
−
+
−
−
≅ 1,32472...
2
4 27
2
4 27
p è detto numero plastico ed è l’analogo in ambito tridimensionale
del numero d’oro
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Parallelepipedi ed ellissoidi
Il numero plastico risolve un problema a quello dei rettangoli con i
vertici allineati, ma relativo a parallelepipedi in tre dimensioni. Si
considerino i due parallelepipedi P e P’ in figura di dimensioni α , δ ,γ
Allora i vertici O A e B sono allineati
se e solo se α , δ ,γ
sono in rapporto plastico,
ossia se vale
α δ
= =p
δ
γ
α +δ δ +γ α
=
=
I punti sono allineati se e solo se
α
δ
γ
che è soddisfatta se e solo se
α δ
= =p
δ γ
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Parallelepipedi ed ellissoidi
Il volume dell’ellissoide ottenuto dalla rotazione completa di un’ellisse
di semiassi α , δ (α ≥ δ ≥ 0) attorno all’asse maggiore è equivalente alla
differenza dei volumi delle due sfere di raggio α e δ
se e se e solo se
3
α
α
= 1+
δ
δ
La condizione sull’uguaglianza dei volumi
4
4
παδ 2 = π (α 3 − δ 3 )
3
3
equivale a
3
α
α
= 1+
δ
δ
cioè quando α e δ sono in rapporto plastico.
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Ulteriori proprietà
• Nel caso x 2 − ax − 1 = 0 le radici x1 , x2 hanno somma a
1
x
=
−
e prodotto -1 : cioè 2
x1
Ciò comporta che abbiano la stessa parte decimale come è
evidente nel caso del numero d’oro 1,6180339887… e del suo
reciproco 0,6180339887…
• Il numero metallico soluzione dell’equazione x 2 − x − b = 0 con
b=2 é il numero di rame 2. Intero!!
Per quali altri valori di b ci sono altri numeri metallici interi x1 = n ?
Deve essere soddisfatta l’equazione n 2 − n − b = 0 cioè
b = n(n − 1)
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Numeri metallici e successioni
Prerequisito
Conoscere la successione di Fibonacci
Problema dei conigli di Fibonacci
Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina). I
conigli sono in grado di riprodursi all'età di un mese per cui alla fine del
suo secondo mese una coppia può produrre un'altra coppia di conigli.
Supponiamo che i conigli non muoiano mai e che ogni coppia produca
sempre una nuova coppia, ogni mese dal secondo mese in poi.
Il problema posto da Fibonacci fu: quante coppie ci saranno dopo un
anno?
Luisa Rossi Costa
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Numeri metallici e successioni
Il diagramma ad albero fornisce il numero delle coppie di conigli ad
ogni mese.
All’n-esimo mese il numero delle coppie può essere ottenuto
sommando i numeri delle coppie dei due mesi precedenti, come
mostrato nella colonna di destra.
Luisa Rossi Costa
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Numeri metallici e successioni
Si può quindi costruire una successione, detta successione di
Fibonacci, che associa al generico numero naturale n il numero di
coppie di conigli all’n-esimo mese:
f0 = 1
f1 = 1
f 2 = f 0 + f1 = 1 + 1 = 2
f 3 = f1 + f 2 = 1 + 2 = 3
f 4 = f 2 + f3 = 2 + 3 = 5
...
f n + 2 = f n + f n +1
n∈ N
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27
Approfondimenti
2
3
I termini della progressione geometrica 1,q,q ,q , ... di un numero metallico q sono
legati alla dalla relazione:
(3)
q n + 2 = aq n +1 + bq n
a,b∈N = {1, 2, 3,...}
Si ottiene la relazione (3) moltiplicando l’equazione (2) q 2 − aq − b = 0 per q
n volte. Indicato con G ( n) = q n , si ottiene dall’equazione (3) una successione
definita per ricorrenza:
(4)
G (n + 2) = aG (n + 1) + bG ( n)
scelti due dati iniziali non nulli. Al variare di a,b∈N = {1, 2, 3,...} dalla relazione si
ottengono diverse successioni dette successioni generalizzate di Fibonacci e per a = b = 1
si ha la successione di Fibonacci
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28
Numeri metallici e successioni
Considerando l’equazione (4)
G (n + 2) = aG ( n + 1) + bG (n)
e dividendo ambo i membri per G (n + 1)
si ottiene l’equazione (4) scritta in termini di rapporto tra un elemento della successione e il suo
precedente:
G (n + 2)
b
=a+
G (n + 1)
G (n + 1)
G ( n)
Al crescere di n i rapporti
G (n + 1) e G (n + 2) convergono allo stesso limite, infatti detto q
G ( n)
G (n + 1)
questo limite, vale allora l’equazione
la cui soluzione è il numero d’oro
q =a+
q=Φ=
b
q
1+ 5
2
Luisa Rossi Costa
29
Numeri metallici e successioni
Analogamente si può dimostrare che anche nelle successioni generalizzate di Fibonacci il
rapporto tra due termini consecutivi tende, per n grande, ai numeri metallici. Infatti,
considerando l’equazione (3),
n+ 2
n +1
n si ha:
q
= aq
Per b = 1 e a = 2
il rapporto dei termini consecutivi tende a
Per b = 1 e a = 3
il rapporto dei termini consecutivi tende a
Per b = 2 e a = 1
il rapporto dei termini consecutivi tende a
+ bq
q n +1
q = lim n = θ
n → +∞ q
numero d’argento
q n +1
q = lim n = β
n → +∞ q
numero di bronzo
q n +1
q = lim n = 2
n → +∞ q
numero di rame
Per b = 3 e a = 1
q n +1 1 + 13
=
il rapporto dei termini consecutivi tende a q = nlim
→ +∞ q n
2
numero di nichel
Indipendentemente dalla scelta dei termini iniziali G(0) e G(1) che generano le successioni.
Luisa Rossi Costa
30
Conclusioni
•
Studio di particolari equazioni di II grado per estendere
le conoscenze ai numeri metallici
• Rafforzamento delle abilità di calcolo e della manualità
nella rappresentazione geometrica, riga – compasso;
(pluridisciplinarietà - disegno tecnico)
• Introduzione del calcolo ricorsivo fino a fare percepire
in modo elementare il concetto di limite
(interdisciplinarietà - unità didattiche successive)
Luisa Rossi Costa
31
Conclusioni
• Passaggio da due a tre dimensioni: percezione della spazialità
attraverso problemi geometrici
• Studio di proporzioni particolari in due dimensioni - numeri
metallici- o in tre dimensioni – numero plastico.
• Ricerca di tali rapporti di proporzionalità in natura, in
architettura, arte e design
Luisa Rossi Costa
