LOGICA e INSIEMISTICA

LOGICA e
INSIEMISTICA
Prof. Enrico Terrone
A. S: 2008/09
Definizioni
La logica è una parte speciale della matematica che
si occupa, anziché dei numeri, delle proposizioni.
Una proposizione è una frase di cui si può stabilire
oggettivamente se è vera o falsa.
“Bevi il caffè”, “Che ore sono?”, “Mi sembra strano”,
“Ci vediamo fra poco” non sono proposizioni.
“Vercelli è in Piemonte”, “La rivoluzione francese è
avvenuta nel 1789”, “La formica è un mammifero”,
“Il sole ruota attorno alla terra” sono proposizioni (le
prime due vere, le ultime due false).
Proposizioni
Una proposizione è solitamente composta da nomi
(argomenti) e da verbi che attribuiscono delle
proprietà a questi nomi (predicati)
Il senso di una proposizione dipende dal significato
dei suoi argomenti e dei suoi predicati.
Il valore di una proposizione può essere invece
soltanto Vero oppure Falso, e dipende dal rapporto
che sussiste fra gli argomenti e il predicato.
La logica è fondamentale in informatica perché i
dispositivi elettronici di base (porte logiche) effettuano
soltanto operazioni logiche (per cui le operazioni
aritmetiche vanno ricavate da quelle logiche).
Operazioni ed espressioni logiche
In quanto oggetti matematici, le proposizioni si usano
nelle operazioni per costruire delle espressioni.
Le operazioni logiche fondamentali sono la
congiunzione, la disgiunzione e la negazione.
La congiunzione delle proposizioni p1 e p2 vale Vero
se p1 è vera e (AND) p2 è vera, altrimenti vale Falso.
La disgiunzione di p1 e p2 vale Vero se p1 è vera
oppure (OR) p2 è vera, altrimenti vale Falso.
La negazione di una proposizione p vale Vero se p
non (NOT) è vera, altrimenti vale Falso.
Simboli ed esempi di operazioni
p = Genova è una città
q = Genova è sul mare
r = Genova è in Toscana
La congiunzione di p e q, che indichiamo con p && q vale Vero
La disgiunzione di p e q, che indichiamo con p || q vale Vero
La congiunzione di p e r, che indichiamo con p && r vale Falso
La disgiunzione di p e r, che indichiamo con p || r vale Vero
La negazione di p, che indichiamo con !p vale Falso
La negazione di r, che indichiamo con !r vale Vero
Calcolo di espressioni logiche
Per rappresentare le operazioni logiche, si usano le
tavole di verità:
a
b
a && b
a || b
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
p
!p
F
V
V
F
Tavole di verità
Anche per calcolare le espressioni logiche, si usano
le tavole di verità:
a
b
c
a && b
a && c
(a&&b) || (a&&c)
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
Proprietà delle operazioni logiche
Valgono proprietà analoghe a quelle delle operazioni
aritmetiche, poste le corrispondenze dell’addizione con
l’OR (||) e della moltiplicazione con l’AND (&&).
Commutativa:
a || b = b || a
a && b = b && a
Associativa:
(a || b) || c = a || (b || c) (a && b) && c = a && (b && c)
Distributiva:
(a || b) && c = (a && b) || (a && c)
(a && b) || c = (a || b) && (a || c)
Nota: quest’ultima proprietà non è valida in aritmetica
Logica e linguaggio ordinario
Le operazioni logiche AND, OR e NOT corrispondono a
tre elementi fondamentali del linguaggio parlato: le
congiunzioni linguistiche “e”, “o”, e l’avverbio “non”.
La logica è alla base del funzionamento del linguaggio
ordinario, che usa le operazioni logiche per determinare
il valore oggettivo Vero/Falso delle frasi.
A seconda della particolare congiunzione linguistica che
si usa, il valore logico viene arricchito da sfumature di
senso (che non riguardano la verità di ciò che si dice ma
esprimono il punto di vista di chi parla). Nel tradurre in
forma logica le frasi linguistiche, si precisa il valore
(Vero/Falso), ma si perdono le connotazioni del senso.
Esercizio: stabilire a quali operazioni logiche
corrispondono le seguenti congiunzioni linguistiche:
“ma”, “sebbene”, “invece”, “perché”, “affinché”, “se”.
Insiemistica
L’insiemistica è la parte della matematica che si occupa
di oggetti speciali che si chiamano insiemi.
Un insieme è una raccolta di elementi tutti diversi fra
loro e di cui non ci importa l’ordine.
Un insieme può essere finito (gli studenti della 3CTC)
oppure infinito (i numeri pari) oppure vuoto (i numeri
dispari divisibili per due).
Un insieme può essere indicato elencando i suoi
elementi o specificando la sua proprietà caratteristica.
L’insieme universo è quello dove si cercano i possibili
elementi di un insieme definito con la proprietà
caratteristica.
Operazioni insiemistiche
In quanto oggetti matematici, gli insiemi possono
entrare a far parte di operazioni.
Le operazioni insiemistiche fondamentali sono
l’intersezione, l’unione e il complementare.
L’intersezione degli insiemi A e B (A∩B) è l’insieme di
tutti gli elementi che appartengono ad A e anche a B.
L’unione degli insiemi A e B (AUB) è l’insieme di tutti
gli elementi che appartengono ad A oppure a B.
Il complementare di un insieme K è l’insieme di tutti
gli elementi dell’insieme universo che non
appartengono a K.
Logica e insiemistica
Una proposizione si definisce aperta e si indica con
p(x) se contiene una variabile x a seconda di cui
valori la proposizione può essere vera o falsa.
Es. “x è uno studente della 3CTC”
Si definisce insieme ambiente di una proposizione
aperta p(x) l’insieme dei valori x che la rendono vera.
Quando definiamo un insieme con la proprietà
caratteristica in realtà stiamo usando una
proposizione aperta.
Questo legame fra proposizioni e insiemi ha come
conseguenza un legame fra le loro operazioni…
Operazioni logiche e insiemistiche
L’intersezione di due insiemi ha come proprietà
caratteristica la congiunzione (AND) delle loro
proprietà caratteristiche.
L’unione di due insiemi ha come proprietà
caratteristica la disgiunzione (OR) delle loro proprietà
caratteristiche.
Il complementare di un insieme ha come proprietà
caratteristica la negazione (NOT) della sua proprietà
caratteristica.
Esercizi di logica
1) Calcolare le seguenti espressioni logiche:
a && ( b || (!a || !b) )
!a || (c && b) || (!c && a)
( (b || c) && (!d || a) ) && (d || !b)
2) Scrivere un programma C che legga il prezzo
unitario di un prodotto, la quantità acquistata e la
percentuale di sconto, e calcoli la cifra spesa.
Esercizi di insiemistica
1) Calcolare l’unione, l’intersezione e i complementari
degli insiemi A e B; scrivere le proprietà
caratteristiche e le operazioni logiche associate:
A = numeri pari minori di 10
B = numeri divisibili per 3 minori di 20
A = mesi che hanno un nome di meno di sette lettere
B = mesi che hanno 31 giorni
2) Scrivere un programma C che legga le coordinate
di un punto del piano cartesiano e stampi le
coordinate dei suoi tre punti simmetrici negli altri tre
quadranti.