ALGEBRA DI BOOLE

ALGEBRA DI BOOLE
Fu definita inizialmente come modello matematico da applicare alle operazioni
sugli insiemi a due soli valori: 0 e 1.
Fu utilizzata come strumento di calcolo di proposizioni logiche ( con valore
vero-falso ).
E’ diventata la base teorica della tecnologia dei calcolatori digitali (logici)
in cui l’informazione è codificata, memorizzata , elaborata e trasmessa da
componenti fisici che si possono trovare in ogni istante in due soli stati
distinti cui si attribuiscono i valori 0 e 1. La forma e il significato di
questi stati dipendono dal componente .
Concetti fondamentali
Insieme di valori : 0 e 1
Campo di applicazione delle operazioni : un insieme detto classe di elementi
che possono avere come valore solo 0 e 1.
Operazioni : OR ( + ) o somma binaria definita su due elementi della classe
AND( . ) o prodotto binario “
“
“
NOT ( - ) o negazione definita su un solo elemento della classe.
= uguale è il simbolo che definisce l’uguaglianza di elementi della classe.
_
A denota il negato di A.
OR è inclusivo.
Tabelle di verità
Tabella di +
+
A
B
A+B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Tabella di .
.
A
B
A.B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Tabella di _
A
A
0
1
1
0
La tabella è un modello molto usato per rappresentare le funzioni logiche.
Gli elementi A e B sono detti variabili booleane o logiche.
Proprietà delle operazioni
Le operazioni di somma e prodotto godono delle
associativa.
Il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
proprietà
commutativa
A.(B+C)= A.B + A.C
La somma è distributiva rispetto al prodotto.
A + B.C = (A + B).(A + C)
Questa proprietà non esiste nell’algebra comune.
Elemento neutro per + è lo 0, per . è 1
Elemento assorbente per + è 1 , per . è 0
Per ogni elemento A valgono le uguaglianze:
_
_
A + A = 1
A.A = 0
1
A + 0 = A
A + 1 = 1
A.1 = A
A.0 = 0
e
L’algebra binaria di Boole è isomorfa all’algebra degli insiemi, sottoinsiemi
di un insieme Universo e all’algebra delle proposizioni logiche.
Teoremi
Idempotenza:
A + A = A
A . A = A
Questo teorema è molto utile nella semplificazione di reti logiche.
=
A = A
Involuzione:
La doppia negazione si annulla.
Assorbimento:
A + A.B = A
A . ( A + B ) = A
forma duale
Dimostrare con tabelle di verità.
Teoremi di De Morgan
_____
A + B
=
_
_
A . B
Funzione
EX-OR
___
A.B
duale
=
_
_
A + B
Usata per la somma aritmetica e per individuare l’uguaglianza di
variabili logiche.
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
A
B
0
1
1
0
OR qui è esclusivo.
Nella tecnologia elettronica digitale le operazioni logiche fondamentali
sono realizzate da componenti dette porte logiche ; è realizzata
solitamente anche la porta EX-OR , che però può essere realizzata anche
con una combinazione delle porte fondamentali.
In un calcolatore l’elemento elaborativo fondamentale cioè
interno un componente integrato combinatorio detto ALU che
costituita da un gran numero di porte in grado di eseguire
segnali ricavati dalle istruzioni del linguaggio macchina)
operazioni logiche su dati binari multipli.
2
la CPU ha al suo
è una rete logica
a comando ( di
un gran numero di