ALGEBRA DI BOOLE Fu definita inizialmente come modello matematico da applicare alle operazioni sugli insiemi a due soli valori: 0 e 1. Fu utilizzata come strumento di calcolo di proposizioni logiche ( con valore vero-falso ). E’ diventata la base teorica della tecnologia dei calcolatori digitali (logici) in cui l’informazione è codificata, memorizzata , elaborata e trasmessa da componenti fisici che si possono trovare in ogni istante in due soli stati distinti cui si attribuiscono i valori 0 e 1. La forma e il significato di questi stati dipendono dal componente . Concetti fondamentali Insieme di valori : 0 e 1 Campo di applicazione delle operazioni : un insieme detto classe di elementi che possono avere come valore solo 0 e 1. Operazioni : OR ( + ) o somma binaria definita su due elementi della classe AND( . ) o prodotto binario “ “ “ NOT ( - ) o negazione definita su un solo elemento della classe. = uguale è il simbolo che definisce l’uguaglianza di elementi della classe. _ A denota il negato di A. OR è inclusivo. Tabelle di verità Tabella di + + A B A+B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Tabella di . . A B A.B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Tabella di _ A A 0 1 1 0 La tabella è un modello molto usato per rappresentare le funzioni logiche. Gli elementi A e B sono detti variabili booleane o logiche. Proprietà delle operazioni Le operazioni di somma e prodotto godono delle associativa. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma. proprietà commutativa A.(B+C)= A.B + A.C La somma è distributiva rispetto al prodotto. A + B.C = (A + B).(A + C) Questa proprietà non esiste nell’algebra comune. Elemento neutro per + è lo 0, per . è 1 Elemento assorbente per + è 1 , per . è 0 Per ogni elemento A valgono le uguaglianze: _ _ A + A = 1 A.A = 0 1 A + 0 = A A + 1 = 1 A.1 = A A.0 = 0 e L’algebra binaria di Boole è isomorfa all’algebra degli insiemi, sottoinsiemi di un insieme Universo e all’algebra delle proposizioni logiche. Teoremi Idempotenza: A + A = A A . A = A Questo teorema è molto utile nella semplificazione di reti logiche. = A = A Involuzione: La doppia negazione si annulla. Assorbimento: A + A.B = A A . ( A + B ) = A forma duale Dimostrare con tabelle di verità. Teoremi di De Morgan _____ A + B = _ _ A . B Funzione EX-OR ___ A.B duale = _ _ A + B Usata per la somma aritmetica e per individuare l’uguaglianza di variabili logiche. A B 0 0 1 1 0 1 0 1 A B 0 1 1 0 OR qui è esclusivo. Nella tecnologia elettronica digitale le operazioni logiche fondamentali sono realizzate da componenti dette porte logiche ; è realizzata solitamente anche la porta EX-OR , che però può essere realizzata anche con una combinazione delle porte fondamentali. In un calcolatore l’elemento elaborativo fondamentale cioè interno un componente integrato combinatorio detto ALU che costituita da un gran numero di porte in grado di eseguire segnali ricavati dalle istruzioni del linguaggio macchina) operazioni logiche su dati binari multipli. 2 la CPU ha al suo è una rete logica a comando ( di un gran numero di