TRENTO, A.A. 2015/16
CORSO DI ALGEBRA A
FOGLIO DI ESERCIZI # 10
Esercizio 10.1. Sia G un gruppo, e a ∈ G.
Mostrate che
h a i = { ax : x ∈ Z }
è il più piccolo sottogruppo di G che contenga a.
Esercizio 10.2. Sia f : H → G un morfismo di gruppi.
(1) Si mostri che f (x) = f (y) se e solo se f (xy −1 ) = 1.
(2) Si mostri che il nucleo ker(f ) = { x ∈ H : f (x) = 1 } è un sottogruppo di
H.
(3) Si mostri che f (x) = f (y) se e solo se xy −1 ∈ ker(f ).
Esercizio 10.3. Sia a un elemento del gruppo G. Utilizzate il primo teorema di
isomorfismo per i gruppi per mostrare quanto segue.
(1) Si dica cosa è il periodo di a.
(2) Si assuma che a abbia periodo zero.
(a) Dimostrate che ax = ay se e solo se x = y.
(b) Dimostrate che c’è un isomorfismo di gruppi (Z, +, 0) → h a i.
(3) Si assuma che a abbia periodo m > 0.
(a) Dimostrate che ax = ay se e solo se x ≡ y (mod m).
(b) Come caso particolare, dimostrate che ax = 1 se e solo se m | x.
(c) Dimostrate che c’è un isomorfismo di gruppi (Z/mZ, +, 0) → h a i.
(d) Dimostrate che h a i ha m elementi
1, a, . . . , am−1 .
Esercizio 10.4. Sia a un elemento di periodo m in un gruppo G.
Dimostrate che il periodo di ak è
m
.
gcd(m, k)
In particolare, ak ha periodo m se e solo se gcd(m, k) = 1.
Esercizio 10.5. Si trovi il periodo di tutti gli elementi nel gruppo (Z, +, 0).
Esercizio 10.6. Sia G un gruppo, a ∈ G. Consideriamo le traslazioni destre e
sinistre
ρa : G → G
λa : G → G
x 7→ xa
x 7→ ax
Si mostri che queste funzioni sono tutte biiezioni.
Esercizio 10.7. Sia G un gruppo finito, a ∈ G.
Assumiamo che G sia commutativo, ovvero che per ogni x, y ∈ G si abbia
xy = yx.
Si mostri che l’ordine di a divide l’ordine di G.
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FOGLIO DI ESERCIZI # 10
Esercizio 10.8. Si trovi il periodo di tutti gli elementi nel gruppo (Z/nZ, +, 0),
per n = 4, 5, 6, 7, 8.
Esercizio 10.9. Si trovi il periodo di tutti gli elementi nel gruppo (U (Z/nZ), ·, [1]),
per n = 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13. Qui U (Z/nZ) è l’insieme degli elementi invertibili di
Z/nZ.
Esercizio 10.10. Si trovino un anello A e un suo sottoanello S tale che A ha unità,
S ha unità, ma le due unità non coincidono.
Esercizio 10.11. Si trovino anelli A, B, e un morfismo di anelli f : A → B tali che
A ha unità 1A , B ha unità 1B , ma f (1A ) 6= 1B .
Esercizio 10.12. Si enunci e si dimostri il primo teorema di isomorfismo per gli
anelli.
Esercizio 10.13. Si applichi il primo teorema di isomorfismo per gli anelli per
dimostrare il teorema cinese dei resti.
