Il gruppo dei vettori

Capitolo Terzo
Il gruppo dei vettori
3.1. Le strutture di gruppo e di corpo
Un’operazione binaria
(1)
definita in un insieme è un’applicazione fra il quadrato cartesiano dell’insieme e
l’insieme stesso, cosı̀ che agli elementi costituenti una coppia, nell’ordine il primo operando e il secondo
operando, si associa in modo univoco un elemento, il risultato dell’operazione.
Se A è l’insieme e ◦ è l’operazione binaria definita, per ogni (a1 , a2 ) ∈ A × A , esiste ed è unico a ∈ A
immagine di quella coppia mediante ◦ .
Nel linguaggio delle applicazioni si scrive indifferentemente:
◦ : (a1 , a2 ) 7→ a,
◦(a1 , a2 ) = a.
Per indicare il risultato a dell’operazione sugli operandi a1 , a2 si preferisce, tuttavia, scrivere a1 ◦ a2 = a
con il simbolo dell’operazione fra i due operandi; tale scrittura si dice, perciò, infissa. Un’operazione interna
trasforma l’insieme in una struttura algebrica: ogni elemento operato con un altro, ma anche con se
stesso, dà luogo, nell’insieme, a ben precisi risultati. Una struttura algebrica quindi è una coppia costituita
dall’insieme, che si dice sostegno di essa, e dall’operazione.
Un gruppo, (G, ◦) , è una particolare struttura algebrica, costruita su un insieme (il sostegno), G , in cui è
definita un’operazione interna, ◦ , che gode delle proprietà:
per ogni g, g1 , g2 , g3 appartenente a G
(1)
Si possono portare esempi di operazioni unarie, binarie, ternarie, . . . , cioè che agiscono con uno, due,
tre, . . . operandi.
V. Scorsipa 28
G1 g1 ◦ (g2 ◦ g3 ) = (g1 ◦ g2 ) ◦ g3
associatività
G2 esiste u ∈ G tale che g ◦ u = u ◦ g = g
esistenza dell’elemento neutro
G3 esiste g −1 ∈ G tale che g ◦ g −1 = g −1 ◦ g = u esistenza dell’elemento simmetrico
Se inoltre vale la
G4
g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1
commutatività
il gruppo si dice commutativo, o abeliano.
Il gruppo è una struttura algebrica di base, ricorrente in molti settori della matematica. Sono esempi di
gruppi commutativi infiniti (Z, +) , (Q, +) e (IR , +) , cioè l’insieme dei numeri interi, dei numeri razionali,
dei numeri reali rispetto all’operazione di addizione.
Per un gruppo finito e comunque di pochi elementi spesso
o
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
tutti i possibili risultati si rappresentano con una tabella,
che prende il nome di tavola del gruppo.
In questo modo, per esempio, se G{a, b, c} è il sostegno
del gruppo e ◦ rappresenta il simbolo dell’operazione binaria, una tabella come quella a fianco riporta tutti i
possibili esiti delle operazioni sulle coppie di G × G .
Osserviamo la tavola: alla coppia (c, b) corrisponde il
prodotto c ◦ b = a . Gli elementi dell’operazione c ◦ b = a
sono scritti in grassetto: in questo modo si capisce come si deve adoperare e leggere la tavola del gruppo.
L’unità del gruppo è a . Il gruppo è commutativo, perché la tavola è simmetrica rispetto alla diagonale
che esce dal vertice in cui è rappresentato il segno dell’operazione. Infine, il simmetrico di b è b−1 = c ,
mentre il simmetrico di c è c−1 = b . Notiamo ancora che ogni riga e ogni colonna rappresentano altrettante
permutazioni degli elementi del gruppo. In altri termini, ogni riga e ogni colonna della tavola riporta una
sola volta tutti gli elementi di G .
Per un gruppo infinito e comunque formato da un numero finito ma grande di elementi è chiaro che non è
possibile, né proponibile una tavola di gruppo.
Un esempio di gruppo finito e commutativo è l’insieme {−1, 1} dotato dell’operazione di moltiplicazione.
Il gruppo Sn delle sostituzioni su n elementi, rispetto all’operazione prodotto di applicazioni è invece un
gruppo finito non commutativo (una sostituzione su n elementi è una qualsiasi biiezione di un insieme di n
elementi in sé stesso). Il prodotto di due sostituzioni consiste nell’applicarle in successione secondo un dato
ordine.
Siano, per esempio, s1 =
1 2 3
da
, perché
2 1 3
Si osservi che s2 ◦ s1 =
1
1
1
3
2 3
1 2
2 3
3 2
e s2 =
1 2
3 2
3
1
due sostituzioni di S3 , il prodotto s1 ◦ s2 è dato
 
 
 
1
3
2
s2   s1  
 2  −→
2 −→ 1
3
1
3
e dunque che il prodotto di due sostituzioni non è commutativo.
Il gruppo dei vettori 29
Attraverso il concetto di gruppo si definiscono strutture più complesse fondate su due operazioni e, fra queste,
quelle di corpo e campo, che qui è utile presentare per gli scopi successivi.
Un corpo (K, +, ·) è una struttura algebrica, che ha per sostegno l’insieme K e in cui sono definite due
operazioni interne (in genere indicate), + e · , cosı̀ che:
— (K, +) è un gruppo commutativo, con 0 elemento neutro;
— K \ {0}, · è un gruppo;
— ∀a, b, c ∈ K valgono le proprietà distributive:
— a · (b + c) = a · b + a · c
— (b + c) · a = b · a + c · a
Un campo, (K, +, ·) , detto anche corpo commutativo, è un corpo, in cui è abeliano il gruppo K \ {0}, · .
Per quel che segue è bene definire il concetto di isomorfismo fra due strutture, per esempio fra due gruppi.
L’isomorfismo tra due gruppi (G, ◦) e (G′ , ⋆) è una corrispondenza biunivoca, ϕ , tra i loro sostegni, G e
G′ , nella quale si conservano le operazioni:
se
ϕ : g1 7→ g1′
ϕ : g2 7→ g2′
allora
ϕ : g1 ◦ g2 7→ g1′ ⋆ g2′ ,
ovvero in modo più sintetico:
ϕ(g1 ◦ g2 ) = ϕ(g1 ) ⋆ ϕ(g2 )
In altri termini, l’immagine del prodotto di elementi di G , rispetto all’operazione ◦ , è il prodotto delle loro
immagini in G′ , rispetto all’operazione ⋆ . In questo senso va interpretata l’espressione
denza biunivoca nella quale si conservano le operazioni. ii .
hh
. . . una corrispon-
V. Scorsipa 30
3.2. Dal segmento orientato al vettore
Il concetto di segmento orientato è altrettanto bene espresso da una coppia ordinata di punti. Perciò
coppia ordinata di punti e segmento orientato sono considerate espressioni equivalenti, inoltre il primo punto
è detto punto-origine, il secondo, punto-termine del segmento orientato.
Per distinguere un segmento AB dal corrispondente segmento orientato si adotta la notazione (A, B) . È
ovvio allora che (A, B) 6= (B, A) con A 6= B .
3.2.1. definizione
Due segmenti orientati (A, B) e (A′ , B ′ ) si dicono equipollenti se ABB ′ A′ è un parallelogramma, anche
se degenere, cioè con i vertici appartenenti a una stessa retta.
Attraverso una nota proprietà caratteristica del parallelogramma, si afferma in modo del tutto equivalente
l’equipollenza di due segmenti orientati (A, B) e (A′ , B ′ ) , se i segmenti AB ′ e A′ B hanno lo stesso punto
medio M .
Q
P
R
V
S
W
fig. 3.1
La proprietà transitiva della relazione di
equipollenza.
L’equipollenza, che sarà d’ora in poi denotata con il simbolo “ ∼ ”, è una relazione di equivalenza e, dunque,
riflessiva, simmetrica e transitiva. Per dimostrare queste proprietà ci si avvale delle proprietà caratteristiche
di un parallelogramma.
E1. Dati i punti P e Q , un particolare parallelogramma, degenere, è dato da P QQP .
Questo mostra che (P, Q) ∼ (P, Q) e dunque che l’equipollenza è una relazione riflessiva.
E2. Del resto se per ipotesi (P, Q) ∼ (S, R) allora è anche, per la definizione 3.2.1, (S, R) ∼ (P, Q) . Ciò
garantisce che l’equipollenza è una relazione simmetrica.
E3. In ultimo, l’equipollenza è anche transitiva.
Essendo (P, Q) ∼ (S, R) e (S, R) ∼ (W, V ) , occorre provare che (P, Q) ∼ (W, V ) e cioè che P QV W
è un parallelogramma. È noto che se i lati opposti di un quadrilatero sono paralleli e congruenti,
allora il quadrilatero è un paralelogramma e viceversa. Ora, è evidente che P Q e W V sono paralleli
e congruenti proprio in forza della definizione di segmenti orientati equipolenti e della proposizione
precedente in quanto tali sono i segmenti P Q , SR e SR , W V .
La proprietà transitiva della relazione di parallelismo e della relazione di congruenza consentono di
affermare il parallelimo e la congruenza di P Q e W V .
Il gruppo dei vettori 31
3.2.1. esempio
Dati i punti P , Q e R in modo che R sia il punto medio di P Q , determinare il punto S in modo che
(P, Q) ∼ (R, S) .
soluzione.
Sia (U, V ) un segmento orientato equipollente a (P, Q)
S
dove U non appartiene alla retta P Q ; per definizione
Q
il quadrilatro P QV U è un parallelogramma. Si considera ora il parallelogramma V U RS , o meglio si definisce
R
il punto S in modo che il quadrilatero V U RS sia un
V
parallelogramma. In tal caso è allora (U, V ) ∼ (R, S) .
P
Per la transitività della relazione di equipollenza è anche
(P, Q) ∼ (R, S) .
U
La relazione di equipollenza genera, allora, una partizione
(2)
in classi dell’insieme dei segmenti orientati.
Ogni classe di equipollenza verrà chiamata vettore. Per distinguere un vettore da un segmento orientato
si osservano alcune convenzioni grafiche. Un vettore può essere denotato con una lettera minuscola in
grassetto, o sormontata da una freccia, o anche sottolineata: v , oppure ~v , o ancora v . Ognuna delle
notazioni precedenti si legge in ogni caso “vettor vu”.
B
A
B'
M
A'
fig. 3.2
(A,B) e (A′ ,B ′ ) sono equipollenti, come
lati opposti d’un parallelogramma, o perché AB ′ e
A′ B si bisecano.
Se un vettore è rappresentato facendo riferimento al segmento orientato (A, B) , allora possiamo denotarlo
−−
→
AB , oppure AB e anche AB , che avremo cura di leggere “vettor AB ” in ogni caso. Dalla definizione di
vettore, quale insieme di segmenti orientati fra loro equipollenti, ha senso scrivere (A, B) ∈ ~v e (A, B) ∈
/w
~
per indicare rispettivamente che (A, B) rappresenta ~v e che non rappresenta w
~.
I caratteri di un vettore sono: la direzione, il verso e la lunghezza. Due vettori sono perciò uguali, se
hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza; sono, invece, opposti, se hanno la stessa
(2)
La definizione di partizione si trova nel capitolo Insiemi e Relazioni
V. Scorsipa 32
direzione, la stessa lunghezza e versi contrari; sono concordi se hanno la stessa direzione e lo stesso verso;
discordi se hanno la stessa direzione, ma hanno i versi contrari. Per rappresentare un vettore bisogna, per
forza di cose, servirsi di un segmento orientato, che cosı̀ viene anche qualificato come vettore applicato nel
suo punto-origine.
3.3. I vettori sono gruppo
Cominciamo con la seguente definizione di somma di due vettori.
3.3.1. definizione
Dati due vettori, ~a e ~b , scelto ad arbitrio un punto O , siano (O, A) , (O, B) due segmenti orientati,
l’uno appartenente ad ~a , l’altro a ~b , e C il punto tale che il quadrilatero OACB sia un parallelogramma;
definiamo allora somma, ~a + ~b , dei vettori ~a e ~b il vettore rappresentato dal segmento orientato (O, C) ,
diagonale del parallelogramma OACB .
Attraverso una proprietà caratteristica del parallelogramma è semplice provare che la definizione ora data
equivale alla seguente.
3.3.2. definizione
Dati i vettori ~a e ~b , siano (O, A) e (A, C) segmenti orientati tali che (O, A) ∈ ~a e (A, C) ∈ ~b , definiamo
~a + ~b il vettore cui appartiene il segmento orientato (O, C) (quest’ultimo chiude la spezzata OAC ).
B
b
c
O
C
a
A
fig. 3.3 L’equivalenza delle definizioni di somma di
due vettori ~
a e ~b.
In base a queste definizioni l’insieme dei vettori, V , assume la struttura di un gruppo commutativo (V, +) .
Proviamo nell’ordine le proprietà che definiscono un gruppo abeliano.
Proprietà associativa:
∀~u, ~v , w
~ ∈ V =⇒ (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
Se (O, U ) ∈ ~u , (U, V ) ∈ ~v e (V, W ) ∈ w
~ , allora, per la definizione data, (O, V ) ∈ ~u +~v e (O, W ) ∈ (~u +~v)+ w
~
ma è anche: (U, W ) ∈ ~v + w
~ , da cui (O, W ) ∈ ~u + (~v + w).
~ Ciò prova naturalmente l’asserto.
Esistenza dell’elemento neutro:
per ogni v ∈ V esiste ~o ∈ V tale che ~v + ~o = ~o + ~v = ~v .
Il gruppo dei vettori 33
Indichiamo con ~o il vettore cui appartengono i segmenti orientati di lunghezza nulla, in altri termini del
tipo (A, A), ∀A ∈ V . Se (O, V ) ∈ ~v , poiché (V, V ) ∈ ~o allora, per la definizione di somma, (O, V ) ∈ ~v + ~o ;
del resto, da (O, O) ∈ ~o e (O, V ) ∈ ~v discende anche che (O, V ) ∈ ~o + ~v . Col che la dimostrazione della
proprietà è conclusa.
Esistenza dell’elemento simmetrico, l’opposto:
per ogni ~v ∈ V esiste − ~v ∈ V tale che ~v + (−~v ) = (−~v ) + ~v = ~o.
Se (O, V ) ∈ ~v , indichiamo con −~v il vettore cui appartiene (V, O) . Poiché (O, O) ∈ ~o , risulta ~o = ~v + (−~v) ,
d’altra parte dall’ipotesi (O, V ) ∈ ~v e (V, O) ∈ −~v deriva che (V, V ) ∈ (−~v ) + ~v , cioè (−~v ) + ~v = ~o .
Proprietà commutativa:
per ogni ~u, ~v ∈ V si ha ~u + ~v = ~v + ~u.
Se (O, U ) ∈ ~u e (O, V ) ∈ ~v e W è il punto per cui i quadrilatero OU W V è parallelogramma, allora (O, W )
rappresenta ~u + ~v , del resto W è anche il punto per cui OV W U è un parallelogramma, perciò (O, W )
rappresenta anche ~v + ~u . Questo prova l’asserto.
3.4. Il piano puntato e il gruppo additivo dei punti
Fissato un punto O del piano Π , si ottiene una corrispondenza biunivoca fra i punti di Π e l’insieme dei
vettori V : il piano si dice puntato in O e si indica Πo . Ad ogni vettore ~v si fa corrispondere il segmento
orientato (O, V ) ∈ ~v .
I segmenti orientati uscenti da O sono in questo modo eletti a rappresentanti speciali dei vettori, mediante
la corrispondenza uno-uno:
~v ←→ (O, V ) ∈ ~v .
È possibile identificare ogni segmento orientato uscente da O mediante il suo punto-termine, perciò, d’ora
in poi, scrivendo V si intenderà il segmento orientato (O, V ) e quindi il vettore ~v .
Nell’insieme dei punti del piano Π◦ introduciamo una operazione additiva cosı̀ concepita:
3.4.1. definizione
Dati due punti U e V si dice loro somma il punto S = U + V , tale che OU SV è un parallelologramma.
È evidente la connessione diretta con la definizione già data di somma di due vettori, ove si pensi che U , V
e S sono segmenti orientati, che rappresentano altrettanti vettori ~u , ~v e ~s .
È facile provare che (Πo , +) è un gruppo abeliano, perché la corrispondenza ~v ←→ (O, V ) ∈ ~v è un
isomorfismo delle strutture (V, +) e (Πo , +)
−−
→
−−→
−−→
Essendo, come già sappiamo, U O = −OU , mostriamo che al vettore U V corrisponde il punto V − U .
−−→
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→
Infatti, aggiungendo U O ad ambo i membri della relazione OU + U V = OV , discende U V = OV − OU , e
−−→
di qui che il punto V − U corrisponde al vettore U V .
−−→
Si può anche scrivere U V = V − U , e si dice che il vettore è scritto secondo la notazione del Grassmann.
−−→
A prima vista l’uguaglianza U V = V − U è un po’ impropria, perché a sinistra dell’uguale compare un
vettore e a destra un punto, tuttavia l’isomorfismo fra punti e vettori la rende plausibile, essendo gli uni
V. Scorsipa 34
V-U
V
-U
O
fig. 3.4
U
U−V è il punto differenza.
assimilabili ai secondi e viceversa. Del resto, avremo modo di apprezzare l’efficace funzionalità della notazione
di Grassmann in molte occasioni.
3.5. La moltiplicazione esterna
Se si deve eseguire una somma di vettori, dove gli addendi sono tutti uguali:
~v + ~v + · · · + ~v
|
{z
}
n volte
si scrive ovviamente in modo più compatto n~v e si dice n~v multiplo del vettore ~v secondo il fattore n . Di
qui è facile estendere la definizione di multiplo di un vettore.
Posto n~v = w
~ è altresı̀ plausibile scrivere ~v = n1 w
~ . In generale, con ~v = m
~ si intenderà ~v = m n1 w
~ o
nw
~v = n1 mw
~ . Con la definizione seguente si estende il multiplo di un vettore secondo un numero reale.
3.5.1. definizione
Si dice multiplo di un vettore ~v secondo il numero reale (scalare) k il vettore w
~ = k~v tale che:
- ha la stessa direzione di ~v ,
- ha il verso di ~v , se k > 0 , l’opposto se k < 0 , altrimenti è il vettore nullo,
- il rapporto fra la lunghezza di w
~ e ~v è il numero k .
3.5.2. definizione
Si dice moltiplicazione esterna l’operazione ‘multiplo di un vettore’, essa, che da due operandi, un numero
e un vettore, ottiene come risultato un vettore, soddisfa: per ogni ~u , ~v appartenenti a V e per ogni h , k
appartenenti a IR :
M1
1~v = ~v
M2
h(~u + ~v ) = h~u + h~v
M3
(h + k)~v = h~v + k~v
M4
h(k~v ) = (hk)~v
In riferimento alla geometria euclidea, la proprietà M2 esprime il teorema di Talete, mentre M1, M3, M4
derivano dalla definizione e dalle proprieà fondamentali delle misure dei segmenti. A questa visione delle cose,
che ha come punto di partenza quello geometrico elementare, si può contrapporre uno sviluppo assiomatico
dell’argomento in termini di algebra moderna, introducendo la struttura di spazio vettoriale.
Il gruppo dei vettori 35
h(u+v)=hu+hv
hv
u+v
v
O
u
hu
fig. 3.5 La proprietà M2 esprime il Teorema di Talete.
Una questione molto importante perché foriera di molte conseguenze è la scomposizione di un vettore del
piano secondo due direzioni date e quindi la costruzione che porta a ottenere i vettori componenti.
Nel piano Πo fissiamo due punti I e J diversi fra loro e non allineati con O . Un qualsiasi vettore p~ , per
quanto detto, è rappresentato da un ben preciso punto P .
In sostanza siamo interessati a trovare due numeri reali x e y tali che
p~ = x · ~i + y · ~j,
essendo ~i e ~j rispettivamente i vettori rappresentati dai punti I e J .
A ben pensare, la scomposizione di un vettore consiste nel costruire i lati contigui di un parallelogramma
conoscendo le loro direzioni e gli estremi di una diagonale e nell’esprimere, poi, i lati stessi come multipli
−→
−→
l’uno del vettore OI e l’altro di OJ .
Adottando i punti come vettori si può anche scrivere
P = x·I +y·J
In dettaglio, si procede in questo modo. Detti Px il punto proiezione di P sulla retta OI secondo la
−−→ −→
−→
−→
direzione OJ e Py il punto proiezione di P sulla retta OJ secondo la direzione OI , allora OPx , OI e
−−→ −→
OPy , OJ sono coppie di vettori l’uno multiplo dell’altro; in altri termini, esistono due numeri reali x e y
tali che
−−→
−→
OPx = x · OI e
−−→
−→
OPy = y · OJ
La coppia ordinata (x, y) è costituita di due numeri reali, che sono detti rispettivamente l’ascissa e
−→
−→
−→
l’ordinata del punto P . I vettori OI = ~i e OJ = ~j assumono un ruolo particolare; il vettore OI è
stato scelto in modo arbitrario, ma, una volta fissato, ha assunto un ruolo speciale diventando il termine di
−→
paragone di tutti i vettori aventi la sua direzione: ognuno di essi è infatti espresso come multiplo di OI . In
−→
−→
questo senso il vettore OI è unitario. Un ragionamento perfettamente analogo sussiste per OJ . I vettori
−→ ~ −→ ~
OI = i e OJ = j si dicono anche versori.
Vale la pena ribadire che il confronto fra due vettori può, al momento, essere effettuato solo a patto che
essi abbiano la stessa direzione. Il fatto, dunque, che i versori siano unitari non comporta che essi siano
congruenti.
V. Scorsipa 36
Oltre a ciò è bene ancora notare che un punto O e due vettori, ~i e ~j , non nulli e non paralleli definiscono
un sistema di riferimento cartesiano. La notazione (O,~i, ~j) sarà adottata per rappresentare un sistema
di riferimento nel quale O e ~i, ~j rappresentano l’origine e i versori degli assi. La questione sarà affrontata
con maggiori dettagli nel seguito di questo capitolo.
3.5.1. esempio
Siano ~p e p~′ due vettori rappresentati rispettivamente dai punti P e P ′ tali che
P = xI + yJ
e
P ′ = x′ I + y ′ J.
Calcolare la loro somma.
soluzione.
P + P ′ = (xI + yJ) + (x′ I + y ′ J)
= xI + yJ + x′ I + y ′ J
(proprietà associativa G1)
= xI + x′ I + yJ + y ′ J
(proprietà commutativa G4)
= (xI + x′ I) + (yJ + y ′ J) (proprietà associativa G1)
= (x + x′ )I + (y + y ′ )J
(proprietà M 3)
Si può concludere con la seguente affermazione: le coordinate di un punto somma di due punti sono le somme
delle coordinate corrispondenti dei due punti.
3.6. Applicazioni con i vettori
I vettori sono uno strumento molto elegante e spesso sintetico, per provare teoremi della geometria in cui
ricorrono nozioni legate al parallelismo. Il parallelismo nell’ambito dei vettori è, come è noto, assimilato
alla condizione che se due vettori sono paralleli, allora l’uno è multiplo dell’altro secondo un numero reale.
È possibile scegliere in modo arbitrario un riferimento e operare cosı̀ nel piano puntato con l’addizione fra
punti, identificando i vettori con questi ultimi, in una “comoda” struttura vettoriale.
A titolo di esempio, consideriamo le dimostrazioni delle proposizioni:
(1) la prima parte del 1◦ quesito della maturità dell’anno 1992;
(2) l’inverso del teorema di Talete;
(3) un’applicazione dello stesso;
(4) una notevole proprietà del baricentro del triangolo.
−→
−−→
−→
−−→
−−→
(1) Presi due vettori OA e OB non paralleli, con OA = 2~a e OB = ~b . Tracciare il vettore e BC = ~a e
−−
→
−
−→
congiungere O con C . Il punto P divide il segmento OC in due parti tali che e OP = 2P C . Dimostrare
−→ −−→
che i punti A , P , e B sono allineati (è allo scopo sufficiente dimostrare che i due vettori AP e P B sono
multipli di uno stesso vettore).
Il gruppo dei vettori 37
−→
−−→
−−→
−−→
−−→
Elenchiamo i dati e le condizioni: OA = 2~a ; OB = ~b ; BC = ~a ; OP = 2~g ; OC = 3~g . Bisogna provare che
−−→ −→
esiste un numero reale k tale che k P B = AP , cioè con altra notazione:
k(~b − 2~g) = 2~g − 2~a,
tenuto conto che
~b = 3~g − ~a,
A
2a
C
P
a
O
B
b
fig. 3.6 La 1a parte del 1◦ quesito della maturità del 1992.
si ottiene, sostituendo, nella relazione precedente:
k(3~g − ~a − 2~g) = 2~g − 2~a,
cioè
k(~g − ~a) = 2(~g − ~a),
da cui k = 2 .
(2) In un triangolo il segmento congiungente i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente
alla sua metà.
−−→ −−→
Siano ABC il triangolo e M e N i punti medi dei lati CA e CB , si consideri il riferimento (C; CM , CN )
−−→ −−→
−−→
nel quale C svolge il ruolo di origine, CM e CN di versori. In tal modo il vettore CM si identifica, come
−−→
sappiamo, con il punto M e cosı́ CN con N e via dicendo.
A
M
C
fig. 3.7
N
B
V. Scorsipa 38
−−→ −→
−−→ −−→
Per ipotesi, 2CM = CA e 2CN = CB , cioè:
A = 2M,
B = 2N
dalla differenza membro a membro di queste relazioni si ha:
A − B = 2M − 2N
e per la proprietà M2 della moltiplicazione esterna:
A − B = 2(M − N ).
−
−
→
−−→
−−→
Ciò comporta che AB è non solo parallelo a M N , ma che è anche il doppio di M N . Si noti che la scelta
del riferimento, pur essendo arbitraria, è dettata da ragioni di convenienza, legate alla semplificazione dei
calcoli.
(3) In un triangolo se si traccia dal punto medio di un lato la retta parallela ad un altro, questa interseca il
terzo lato nel suo punto medio, inoltre il segmento congiungente i punti medi è metà del lato cui è paralello.
Siano ABC il triangolo e M il punto medio di AC , si mandi la parallela al lato AB fino ad intersecare nel
−−→ −−→
punto N il lato CB . Risulta allora nel riferimento (C; CM , CN ) che: A = 2M , B = kN , con k numero
−−→
−
−
→
reale. Inoltre, essendo M N parallelo AB , esiste h in IR tale che:
B − A = h(N − M )
per la proprietà M2 della moltiplicazione esterna:
B − A = hN − hM
tenuto conto delle proprietà del gruppo abeliano:
B = hN − hM + A,
e poiché A = 2M :
B =hN − hM + 2M
=hN + (2 − h)M,
ma è B = kN , perciò dev’essere 2 − h = 0 , ovvero h = 2 .
−
−
→
−−→
Questo prova la tesi, essendo B = 2N e AB = 2M N .
(4) Le mediane di un triangolo si tagliano in uno stesso punto, il baricentro. Questo punto divide ogni
mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
−→ −
→
Sia ABC il triangolo e CI la mediana relativa al lato AB e cioè BI = IA , e sia poi G il punto di essa
−→
−−
→
−→
−→
per cui 2IG = GC , proviamo che detto J il punto in cui AG interseca il lato BC , risulta BJ = JC e
−→ −→
2GJ = AG .
Il gruppo dei vettori 39
A
I
G
B
J
C
fig. 3.8 Il baricentro divide ogni mediana in due parti:
quella contenente il vertice è doppia dell’altra.
−−→ −−
→
Nel riferimento (B; BC, BA) , le relazioni che esprimono le ipotesi si possono scrivere in base alla notazione
del Grassmann nel seguente modo: 2(I − G) = G − C ; I = A − I .
Queste, con semplici passaggi, divengono:
(i)
3G =C + 2I,
(ii)
A =2I,
da cui: 3G = C + A , sostituendo (ii) in (i), infine risulta:
(iii)
G=
1
(C + A).
3
−→
−→ −→
−→
Siano h , k numeri reali tali che AG = k GJ e BJ = hJC , con la notazione del Grassmann le precedenti
relazioni divengono nell’ordine:
(α)
(β)
G − A =k(J − G) =⇒ G − A = kJ − kG =⇒ (1 + k)G = kJ + A,
h
J =h(C − J) =⇒ J(1 + h) = hC =⇒ J = h′ C, dove h′ =
1+h
dalla (α) sostituendo la (β) , si ricava:
(iv)
G=
1
h′ k
C+
A
1+k
1+k
poiché è unica la combinazione lineare di C e di A che determina G , confrontando (iii) con (iv) , si ha:
h′ k
1
= ,
1+k
3
da cui k = 2 e ancora h′ =
1
2
, ed infine essendo h′ =
1
1
= ,
1+k
3
h
1+h
, si ha h = 1 .
Ciò prova che AJ è mediana ed è divisa in due parti di cui quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
In modo analogo si ragiona per BL .
V. Scorsipa 40
3.7. Spazio vettoriale sui reali
L’insieme dei vettori geometrici assume la struttura di spazio vettoriale su IR attraverso due operazioni:
l’addizione, basata sulla geometria del parallelogramma, e la moltiplicazione esterna, definita mediante la
nozione di multiplo di un vettore. Altri insiemi di “oggetti matematici” assumono la struttura di spazio
vettoriale, se dotati di un’opportuna addizione e di un’opportuna moltiplicazione esterna, che prende gli
scalari da un corpo commutativo.
La seguente definizione di Spazio Vettoriale è particolare rispetto a quella di spazio vettoriale su un corpo
commutativo K . Faremo, infatti, uso di spazi vettoriali su IR , in altri termini, di spazi vettoriali che
assumono i numeri reali come scalari.
3.7.1. definizione
Si dice spazio vettoriale V su IR un insieme V , i cui elementi si dicono vettori e che munito di un’operazione
interna, generalmente indicata “ + ”, e perciò detta additiva, è rispetto ad essa un gruppo abeliano, cioè se:
per ogni ~u , ~v , w
~ appartenenti a V
G1
~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~
G2
∃~o ∈ V : ~v + ~o = ~o + ~v = ~v
G3
∃ − ~v ∈ V : ~v + (−~v ) = (−~v ) + ~v = ~o
G4
~u + ~v = ~v + ~u
se è definita un’operazione, detta moltiplicazione esterna, tale che per ogni ~u , ~v appartenente a V e per
ogni h , k appartenenti a IR :
M1
1~v = ~v
M2
h(~u + ~v ) = h~u + h~v
M3
(h + k)~v = h~v + k~v
M4
h(k~v ) = (hk)~v .
Se ~u e ~v sono due vettori distinti e non nulli tali che ~u = k~v , allora è possibile determinare due numeri λ
µ
e µ entrambi non nulli, per cui k = − e tali che λ~u + µ~v = ~o . In questo caso si dice che ~u e ~v sono
λ
vettori linearmente dipendenti. Invece due vettori ~u e ~v distinti e non nulli si dicono linearmente
indipendenti se e solo se λ~u + µ~v = ~o , essendo λ e µ scalari entrambi nulli.
L’idea di vettori linerarmente indipendenti porta a concepire quei vettori come generatori di uno spazio
vettoriale e alla definizione di base di uno spazio vettoriale. Il motore di questa catena di concetti è la
combinazione lineare.
Si esprime il vettore ~v , combinazione dei vettori ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn mediante gli scalari hi , con i = 1, 2, . . . , n ,
come segue:
v = h1~v1 + h2~v2 + · · · + hn~vn
È evidente che al variare della n-pla (h1 , h2 , . . . , hn ) la combinazione lineare degli n vettori ~vi rappresenta un
vettore dello spazio vettoriale. Si dimostra che l’insieme dei vettori cosı̀ generati dagli n vettori linearmente
indipendenti è un sottospazio dello spazio vettoriale. Se, poi, accade che il sottospazio coincide con lo spazio
vettoriale, allora gli n vettori generatori costituiscono una base, su IR , dell’intero spazio vettoriale V .
Il gruppo dei vettori 41
È facile provare che due basi qualsiasi di uno spazio vettoriale sono equipotenti. La cardinalità di una base è
detta dimensione dello spazio. Lo spazio dei vettori del piano ha dimensione due, mentre quello dei vettori
dello spazio, normalmente inteso, è tre; lo spazio generato da un solo vettore attraverso tutti i possibili suoi
multipli è di dimensione uno ed è geometricamente rappresentato da una retta; infine lo spazio vettoriale di
dimensione zero rappresenta un punto.
Riassumendo: punto, retta, piano, spazio rappresentano rispettivamente lo spazio vettoriale zero, uni, bi,
tridimensionale. È chiaro che proprio attraverso la base ~v1 , ~v2 , · · · , ~vn di uno spazio vettoriale V su IR di
dimensione n nasce una corrispondenza biunivoca fra i vettori e le n-ple ordinate di numeri reali, che servono
a ottenere le loro combinazioni lineari. Quei n numeri prendono il nome di coordinate di un vettore. I
vettori ~v1 , ~v2 , · · · , ~vn della base sono ovviamente rappresentati dalle n-ple:
~v1 ←→ (1, 0, · · · , 0)
~v2 ←→ (0, 1, · · · , 0)
..
..
.
.
~vn ←→ (0, 0, · · · , 1)
Questa corrispondenza biunivoca diviene un isomorfismo fra l’insieme dei vettori, V , e l’insieme delle n-ple,
IRn . Si dimostra, infatti, che IRn è a sua volta uno spazio vettoriale su IR, se si definiscono una addizione
fra n-ple e una moltiplicazione esterna fra numeri reali ed n-ple come segue:
(1)
(x1 , x2 , · · · , xn ) + (x′1 , x′2 , · · · , x′n ) = (x1 + x′1 , x2 + x′2 , · · · , xn + x′n )
(2)
k(x1 , x2 , · · · , xn ) = (kx1 , kx2 , · · · , kxn )
Saper operare con le n-ple diviene allora importante! Uno spazio euclideo n-dimensionale è dunque lo spazio
vettoriale IRn a scalari in IR: in questo contesto un punto dello spazio euclideo è assimilato ad una n-pla,
in altre parole a un vettore di IRn .
Dati nel piano Π un punto O e due vettori, ~i e ~j , non nulli e l’uno non multiplo dell’altro, in una parola,
linearmente indipendenti, ogni vettore ~
p del piano si esprime mediante la combinazione lineare: p~ = x~i + y~j ,
dove x e y sono due numeri reali opportuni. Nel piano puntato Πo , al vettore p~ corrisponde il punto P
determinato dalla condizione (O, P ) ∈ ~
p e ad esso si associa la coppia ordinata di numeri reali x e y , che
sono sia le coordinate del vettore sia quelle del punto.
Dietro a tutto questo sta, come già affermato, l’idea di sistema di riferimento.
3.7.1. esempio
Provare che i vettori (caratterizzati dalle seguenti terne di numeri reali) (1, 2, 2) , (2, −1, 1) e (0, 1, 3) dello
spazio IR3 sono linearmente dipendenti.
soluzione.
In base alla definizione di vettori linearmente dipendenti, dobbiamo provare che:
a · (1, 2, 2) + b · (2, −1, 1) + c · (0, 1, 3) = (0, 0, 0)
V. Scorsipa 42
solo se a = b = c = 0 .
Operando sulle terne come su indicato si perviene al sistema:
(
equivalente a
1·a+2·b+0·c
2·a−1·b+1·c
2·a+1·b+3·c
(
a
= -2b
c
= 5b
12b = 0
che ammette la sola soluzione nulla a = b = c = 0 .
=0
=0
=0
Il gruppo dei vettori 43
ESERCIZI E COMPLEMENTI
3.1
Dati i punti P e Q , provare che (P, R) ∼ (R, Q) , dove R è il punto medio del segmento P Q .
3.2
Provare che i segmenti orientati (P, R) , (R, Q) , (Q, S) dell’esempio 3.2.1. sono equipollenti.
3.3
Dato un punto A e il segmento orientato (P, Q) costruire il punto B tale che (A, B) ∼ (P, Q)
3.4
Calcolare in modo simile P −P ′ , tenendo conto degli assiomi di gruppo e delle proprietà della moltiplicazione
esterna.
3.5
Calcolare in modo simile k · P , dove k è un numero reale e impiegando gli assiomi di gruppo e le proprietà
della moltiplicazione esterna.
3.6
Provare che M = 12 (P + P ′ ) è il punto medio del segmento P P ′ .
−−→ −−−→
[Sugg.: usare la notazione del Grassmann per esprimere i vettori P M e M P ′ . . . ]
3.7
Dato un trapezio ABCD , come si può indicare che la base AB è doppia della base DC ?
3.8
Su una retta r sono scelti i punti P e Q , si considera poi un generico punto X appartenente ad r . Indicato
−−→
−−
→
−−→
−−→
con t lo scalare tale che P X = t · P Q , che in altri termini esprime il fatto che P X è multiplo di P Q .
Per quali valori di t il punto X coincide rispettivamente con P , con Q e con il punto medio di P Q ?
Infine, per quali valori di t il punto X è esterno al segmento P Q ?
3.9
Considerato l’esercizio precedente, siano (2, 2) , (−1, 0) e (x, y) rispettivamente le coordinate dei punti P ,
Q e X . Provare che x e y dipendono dal parametro t secondo le funzioni x = 2 − 3t e y = 2 − 2t , che
prendono il nome di equazioni parametriche della retta P Q .
3.10
Dati i punti A(2, 1) , B(5, 3) , C(4, 0) e D(x, 2) stabilire per quale valore di x i segmenti AB e CD sono
paralleli.
3.11
In un triangolo ABC siano M , N e P rispetttivamente i punti medi dei lati AB , BC e AC . Provare
che M + N + P = A + B + C .
V. Scorsipa 44
3.12
AB e CD sono le basi del trapezio ABCD . AD e BC si tagliano in J . La parallela ad AB passante per
J , taglia rispettivamente AC e BD in M e N . La parallela ad AB , passante per I , intersezione delle
rette BN e AM , interseca rispettivamente AD e BC in M ′ e N ′ . Mostrare che:
(a) J è il punto medio di M N e I di M ′ N ′ ;
(b) la retta IJ interseca AB e CD nei loro punti medi.
3.13
Provare che i vettori (1, 1, 1) , (1, −1, 1) e (1, 1, −1) dello spazio IR3 sono linearmente indipendenti.
3.14
Esprimere il vettore (5,2,1) mediante una combinazione dei vettori (1, 1, 1) , (1, −1, 1) e (1, 1, −1) dello
spazio IR3 .
3.15
In IR3 sono date le basi
e1 = (1, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0),
v1 = (1, 1, 1),
v2 = (1, −1, 1),
e3 = (0, 0, 1)
v3 = (1, 1, −1)
Esprimere ogni vettore della prima base {e1 , e2 , e3 } come combinazione dei vettori della seconda {v1 , v2 , v3 } .
3.16
Esistono valori di k ∈ IR per cui i vettori (1, k, 1) , (1, 1, 2) e (k, k, −1) dello spazio IR3 sono linearmente
dipendenti?
3.17
Calcolare x, y, z affinché i vettori (1, 1, 1) , (2, 1, 2) e (x, y, z) dello spazio IR3 siano linearmente dipendenti.