UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Corso di
ECONOMIA INDUSTRIALE
Proff. Gianmaria Martini, Giuliano Masiero
Lezione 2: Equilibrio di Nash in strategie miste
Lu 18 Ott 2004
Introduzione
In alcuni casi non è possibile determinare un equilibrio di Nash in strategie pure. Ciò non
significa che non esista nessun equilibrio. In questi casi un equilibrio di Nash è possibile sulla
base di un comportamento stocastico. E’ necessario individuare la probabilità delle diverse
situazioni strategiche utilizzando delle strategie miste.
Formalmente una strategia mista corrisponde ad una distribuzione di probabilità sulle
strategie pure a disposizione del giocatore. Si assuma che giocatore possa scegliere tra a e
b, che rappresentano le sue strategie pure. Una strategia mista corrisponde ad una
distribuzione di probabilità su a e b, ad esempio ¼ e ¾. Ciò significa che il giocatore
sceglierà a con probabilità ¼ e b con probabilità ¾.
Definizione del gioco
Vediamo come determinare un equilibrio di Nash in strategie miste. Partiamo dalla forma
normale di un tipico gioco: la battaglia dei sessi. Si tratta di un gioco di coordinamento.
L'uomo (U) e la donna (D) devono scegliere dove incontrarsi la sera. Hanno due opzioni: il
cinema (C) oppure lo stadio (S). I due individui non possono comunicare tra loro; non hanno
quindi nessuna possibilità di pervenire ad un accordo su dove trascorrere la serata. Hanno
però le seguenti preferenze: 1) desiderano incontrarsi, 2) l'uomo preferisce lo stadio e la
donna il cinema.
La forma normale del gioco, che rispecchia tali preferenze è la seguente.
Uomo
Donna
Cinema
Stadio
Cinema
1,2
0,0
Stadio
0,0
2,1
Il gioco possiede due equilibri di Nash in strategie pure: (C,C) e (S,S). Scegliendo entrambi il
cinema o lo stadio ottengono dei payoffs maggiori rispetto al caso in cui non riescono ad
incontrarsi. Ma abbiamo assunto che i giocatori non possono comunicare. Se uno dei due
giocatori decide per primo e l’altro non ne conosce la scelta, non sarà possibile pervenire ad
uno dei due equilibri di Nash in strategie pure. Non esiste una strategia dominante per il
giocatore.
I due giocatori potrebbero però determinare un equilibrio in strategie miste. Assumiamo
quindi che α sia la probabilità che U giochi Cinema e β la probabilità che D scelga Cinema.
Corrispondenza ottima di U
Determiniamo le best replies dei due giocatori. La vincita attesa di U se sceglie Cinema è
E[U(C) ] = β
;
se invece sceglie Stadio ottiene
E [U(S) ] = 2 - 2 β
.
Le due vincite sono uguali quando β assume il valore 2/3. La seconda vincita è maggiore
della seconda quando -∞<β<2/3. Pertanto U ha la seguente corrispondenza di risposta ottima
⎧
⎪α = 0
⎪⎪
⎨α ∈ [0,1]
⎪
⎪α = 1
⎪⎩
2
3
2
β =
3
2
β >
3
β<
Per β<2/3 ad U converrebbe sempre giocare Stadio mentre per β>2/3 la scelta migliore
sarebbe sempre quella di andare al Cinema. Solo per β=2/3 ad U converrebbe adottare una
scelta mista andando sia al Cinema che allo stadio con una certa frequenza.
Possiamo rappresentare graficamente la scelta di U
Corrispondenza ottima di D
La vincita attesa di D se sceglie Cinema è
E [D(C) ] = 2α
se invece sceglie Stadio ottiene
E [D(S) ] = 1 - α
Le due vincite sono uguali se α=1/3. Mentre Cinema è meglio di Stadio se 1/3<α<∞.
Pertanto la corrispondenza di risposta ottima di D è la seguente:
⎧
⎪β = 0
⎪⎪
⎨ β ∈ [0,1]
⎪
⎪β = 1
⎪⎩
1
3
1
α=
3
1
α>
3
α<
La possiamo rappresentare graficamente:
Equilibrio di Nash in strategie miste
Ora possiamo determinare l'equilibrio in strategie miste. Graficamente procediamo invertendo
una delle due funzioni: quella di U. Poiché rappresentiamo β sull’asse delle ordinate abbiamo:
Rappresentando contemporaneamente le due funzioni abbiamo il seguente grafico:
Esistono quindi tre equilibri di Nash: due in strategie pure (quelli già individuati) ed uno in
strategie miste. Quest’ultimo equilibrio è caratterizzato da α=1/3 e β=2/3.
Predizioni dell'equilibrio di Nash
•
•
•
•
•
L'uomo sceglie di andare allo stadio con maggiore probabilità rispetto al cinema;
La donna sceglie di andare al cinema con maggiore frequenza rispetto allo stadio;
La situazioni si verificano con le seguenti probabilità:
• p(C,C) = 2/9,
• p(C,S) = 1/9,
• p(S,C) = 4/9,
• p(S,S) = 2/9;
L'esito più probabile è (S,C): ognuno va nel luogo che preferisce e i due individui non si
incontrano;
Il valore del gioco è dato da Eπ. Per U è pari a 2/3 e lo stesso vale per D:
2
4
1
2
E π U = U(C, C) + U(C, S) + U(S, C) + U(S, S)
9
9
9
9
2
1
4
2
2
= 1+ 0 + 0 + 2 = .
9
9
9
9
3
