A ∪ B

+
+
Il concetto di numero reale
Un problema rimasto aperto per più di 2300 anni:
già presente nella cultura matematica degli antichi
Greci, troverà una soluzione soddisfacente solo in
epoca moderna, dopo lo sviluppo dei metodi del
Calcolo infinitesimale
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1
+
+
I matematici dell’antica Grecia avevano raggiunto
livelli di conoscenze notevolmente avanzati sia per
quanto riguarda la Geometria sia per quanto riguarda
la teoria dei numeri:
• numeri razionali (positivi)
• struttura algebrica
• struttura di ordine
• loro compatibilità
Scuola Pitagorica (500/400 a.c.)
Scoperta dell’esistenza di grandezze
incommensurabili (Ippaso di Metaponto)
+
2
+
+
√
Dimostrazione dell’irrazionalità di 2
Supponiamo per assurdo che esistano due numeri interi p e q, primi fra loro, tali che
√
p
ovvero 2q 2 = p2
2=
q
Ne segue che p è pari. Quindi p = 2k per
qualche intero k. Sostituendo e semplificando
si ottiene
q 2 = 2k2
da cui si deduce che anche q è pari, in contraddizione con il fatto che p e q erano stati
presi coprimi.
+
3
+
+
Quant’è grave la falla?
√
Irrazionalità di n per ogni n ∈ N che non sia un
quadrato perfetto
Irrazionalità del numero e di Nepero:
Eulero (1707-1783)
Irrazionalità di π : Lambert (1761)
Irrazionalità di π 2: Legendre (1794)
Come rimediare?
Estendere l’insieme dei numeri razionali in modo
da ottenere un nuovo concetto di numero abbastanza
potente da poter essere utilizzato per misurare tutte
le quantità rilevanti della geometria e della fisica,
mantenendo al contempo le proprietà formali (struttura algebrica, struttura di ordine, loro compatibilità).
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4
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+
Soluzioni basate su idee “ingenue”
• Completamento “algebrico”
• Completamento “geometrico”
• Allineamenti decimali infiniti non periodici
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+
Esistenza di numeri non algebrici
Liouville (1844): trascendenza di
α = 0, 11000100000100000000000....
Hermite (1873): trascendenza di e
Lindemann (1882): trascendenza di π
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6
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+
Cauchy (1789-1857) [Méray, Cantor]: costruzione
dei numeri reali col metodo delle successioni fondamentali
Una successione {xn} di numeri razionali si
dice fondamentale se ∀r > 0 ∃N > 0 tale che
∀n, m ≥ N
|xn − xm| < r
Due successioni fondamentali {xn}, {un} si
dicono equivalenti se ∀r > 0 ∃N > 0 tale che
∀n ≥ N
|xn − un| < r
Definizione Dicesi numero reale ogni classe
di equivalenza di successioni fondamentali in
Q.
• Struttura algebrica
• Struttura di ordine
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+
+
Dedekind (1831-1916): costruzione dei numeri reali
col metodo delle sezioni
Una coppia ordinata (A, B) di sottoinsiemi
non vuoti di Q costituisce una sezione se
(1) A ∪ B = Q
(2) per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B, a < b
(3) se ∃c ∈ Q tale che a ≤ c ≤ b per ogni
a ∈ A e ogni b ∈ B, allora c ∈ A
Definizione Dicesi numero reale ogni sezione
di Q.
• Struttura algebrica
• Struttura di ordine
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+
Cantor (1845-1918): costruzione dei numeri reali
col metodo delle classi separate e contigue
Due sottoinsiemi A, B non vuoti di Q costituiscono una coppia di classi separate e contigue se
(1) per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B, a < b
(2) ∀r > 0 ∃a ∈ A e b ∈ B tali che b − a < r
Definizione Dicesi numero reale ogni coppia
di classi separate e contigue in Q.
• Struttura algebrica
• Struttura di ordine
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+
Altri contributi di Cantor
• introduzione del termine numeri “reali” e del
simbolo R
• cardinalità di R
• cardinalità di R2
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+
+
L’impostazione assiomatica
Peano (1858-1932)
Sistema di assiomi per i numeri naturali
Hilbert (1862-1943)
I numeri reali sono un insieme R sul quale
sono definite una struttura algebrica di campo
(addizione e moltiplicazione), una struttura
di ordine (compatibili) e un assioma di completezza (o di continuità).
Qual’è la forma più appropriata per esprimere l’assioma
di completezza?
Trasformare in assiomi una delle definizioni
precedenti
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+
+
Assioma (Cauchy)
Ogni successione fondamentale in R ammette
limite
Assioma (Dedekind)
Per ogni sezione (A, B) in R esiste c ∈ R tale
che
a≤c≤b
per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B
Assioma (Cantor)
Per ogni coppia di classi separate e contingue
A, B di R esiste c ∈ R tale che
a≤c≤b
per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B
(elemento separatore)
Purtroppo, questi assiomi, cosı̀ formulati, non sono
equivalenti
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+
+
Un esempio di natura geometrica:
la “retta” di Veronese (1854-1917)
ar
¾
-
br
Ordinamento
“Segmenti”
Confronto tra segmenti
Re-interpretazione della nozione di classi contigue:
se per ogni segmento I esistono b ∈ B e a ∈ A tali
che il segmento ab è “più corto” di I
L’assioma di Cantor vale
l’assioma di Dedekind no
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+
Principio di Eudosso-Archimede
Per ogni coppia di numeri reali a, b tali che
0 < a < b esiste un numero naturale n tale
che na > b
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+
Principio di esistenza del sup
Siano A ⊂ R non vuoto, e m ∈ R. Dico che
m è una limitazione superiore per A se ∀a ∈ A
si ha a ≤ m.
Dico che A è superiormente limitato se l’insieme
M formato da tutte le limitazioni superiori di
A è non vuoto.
Assioma. Qualunque sia A ⊂ R non vuoto
e superiormente limitato, esiste m̄ ∈ M tale
che m̄ ≤ m, ∀m ∈ M .
m̄ si dice l’estremo superiore di A e si scrive
m̄ = sup A
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Principio delle classi separate
Per classi separate si intendono coppie (A, B)
di sottoinsiemi R con le seguenti proprietà:
• A 6= ∅, B 6= ∅
• ∀a ∈ A e b ∈ B si ha a ≤ b
Assioma. Per ogni coppia di classi separate
(A, B) esiste un numero c ∈ R tale che a ≤
c ≤ b qualunque siano a ∈ A e b ∈ B
c si dice elemento separatore delle classi (A, B)
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+
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Principio degli intervalli incapsulati
Siano {an}, {bn} due successioni di numeri
reali. Gli intervalli della successione [an, bn]
si dicono incapsulati se [an+1, bn+1] ⊆ [an, bn]
per ogni n
Assioma. Per ogni successione di intervalli
incapsulati, esiste un numero reale c tale che
c ∈ [an, bn] per ogni n
+
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+
+
Principio delle successioni monotone
Una successione {xn} di numeri reali si dice
monotona crescente se xn ≤ xn+1 per ogni n
Una successione {xn} di numeri reali si dice
limitata superiormente se esiste un numero
reale m tale che xn ≤ m per ogni n
Assioma. Per ogni successione di numeri
reali monotona crescente e limitata superiormente, esiste un numero l ∈ R tale che
lim xn = l
n→+∞
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Principio delle sottosuccessioni
Sia {xn} una successione di numeri reali. Una
sottosuccessione di {xn} è una successione
{xnk } dove {nk } è una successione strettamente crescente di numeri naturali
Assioma. Ogni successione di numeri reali
limitata sia superiormente che inferiormente,
ammette almeno una sottosuccessione convergente.
+
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+
+
Unicità di R
Ogni campo totalmente ordinato, archimedeo, continuo∗
è isomorfo a R.
∗ privo
di primo e ultimo elemento, denso, privo di
“lacune”
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+
Numeri macchina in notazione usuale
±
C1
C2
C3
C4
C5
Numero massimo rappresentabile
99999 ∼ 105
Numero minimo positivo rappresentabile
0.001 ∼ 10−3
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Numeri macchina in notazione scientifica
0.C1C2C3 . . . · 10E1
±
C1
C2
C3
±
E1
Numero massimo rappresentabile
0.999 · 109 ∼ 109
Numero minimo positivo rappresentabile
0.001 · 10−9 ∼ 10−12
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Distribuzione dei numeri macchina
E1 = 0
1000 numeri nell’intervallo [0, 1]
E1 = 1
1000 numeri nell’intervallo [0, 10]
E1 = 2
1000 numeri nell’intervallo [0, 100]
In generale, non valgono le proprietà associativa e distributiva
+
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+
+
E. AGAZZI, D. PELLEGRINO,
Le geometrie non euclidee,
Mondadori 1978
C.B. BOYER,
Storia della matematica, Mondadori 1968
U. BARBUTI,
Lezioni di Analisi Matematica I, ETS 1975
PIsa
N. BOURBAKI,
Éléments de Mathématiques, livre III, Topologie Générale Chapitres 5-8, Hermann Paris
1963
N. BOURBAKI,
Elementi di storia della matematica,
Feltrinelli 1963
+
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+
+
R. CONTI,
Lezioni di Analisi Matematica, Volume primo,
CEDAM 1978
F. ENRIQUES,
Questioni riguardanti le matematiche elementari, Parte prima, Articolo sesto, Zanichelli
1983 (ristampa)
G. GEYMONAT,
Lezioni di Analisi Matematica I, Levrotto &
Bella, Torino 1981
I. NIVEN,
Numeri razionali e numeri irrazionali,
Zanichelli 1965
G. PRODI,
Analisi matematica, Boringhieri 1970
+
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+
classi sep. cont.
⇐⇒
successioni fondamentali
o
⇐⇒
esistenza sup
Principio di Archimede
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