1
Metodo risolutivo Modello IS-LM
Ipotesi: a) siamo in un’economia chiusa. CIò vuol dire che non ci sono nè
esportazioni (X) nè importazioni (IM); b) I prezzi sono fissi.
Siano date le seguenti formule:
C
I
G
TR
TA
Ld
Ls
=
=
=
=
=
=
=
c0 + c1 Yd
I − bi
G
TR
T0 + tY
kY − hi
(M/P )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
dove le equazioni dalla (1) alla (5) rappresnetano le equazioni della IS (luogo
dei punti di equilibrio del mercato dei beni) e dove le equazioni (6) e (7) sono la
domanda e l’offerta di moneta, rispettivamente. La formula risolutiva generale
consiste nel costruire dapprima la curva IS e poi la curva LM e poi metterle in
sistema.
1.1
Curva IS
Conosco la seguente eguaglianza:
Y =C +I +G
(8)
Calcolo il reddito disponibile dato dal reddito lordo (Y ), meno le tasse (T A)
più i trasferimenti (T R). Cioè:
Yd = Y + T R − (T0 + tY )
(9)
Sostituisco le equazioni (9), (2) e (1) nella (8) ed ottengo:
Y = c0 + c1 [Y + T R − (T0 + tY )] + I − bi + G
(10)
che posso scrivere anche come:
Y = c0 + c1 [T R − T0 ] + I + G − bi + c1 (1 − t)Y
(11)
A = c0 + c1 [T R − T0 ] + I + G
(12)
Chiamo:
la componente di spesa autonoma, quandi la (11) diventa:
Y = A − bi + c1 (1 − t)Y
1
(13)
da cui ottengo:
Y − c1 (1 − t)Y = A − bi
Y [1 − c1 (1 − t)] = A − bi
IS = Y (i) =
bi
A
−
[1 − c1 (1 − t)] [1 − c1 (1 − t)]
(14)
(15)
dove Y (i) significa che Y è in funzione del tasso di interesse i.
L’equazione (15) è la nostra IS in rispetto a Y.
Se chiamo:
1
[1 − c1 (1 − t)]
(16)
Y (i) = αA − αbi
(17)
α=
allora la (15) diventa:
ed anche, rispetto al tasso di interesse i:
Y
A
−
b
αb
dove i (Y ) significa che i è in funzione del livello di produzione Y.
RICORDIAMO LE SEGUENTI FORMULE:
i (Y ) =
(18)
A = c0 + c1 [T R − T0 ] + I + G
1
α =
[1 − c1 (1 − t)]
Y (i) = αA − αbi
A
Y
−
b
αb
i (Y ) =
1.2
Curva LM
La curva LM si ottiene dal sistema fra la (6) e la (7), nel seguente modo:
½ d
L = kY − hi
(19)
Ls = (M/P )
Ricordiamo che i prezzi sono fissi.
Dal sistema si ottiene:
kY − hi = (M/P )
2
da cui:
Y (i) =
i (Y ) =
(M/P ) h
+ i
k
k
k
(M/P )
Y −
h
h
(20)
(21)
dove le equazioni (20) e (21) sono la LM rispetto al reddito/produzione (Y)
e al tasso di interesse (i), rispettivamente.
1.3
Modello IS-LM
Il modello IS-LM si ottiene mettendo in sistema la (18) con la (21) (oppure la
(17) con la (20)).
Mettendle in sistema, si ottiene:
(
Y
i (Y ) = Ab − αb
i (Y ) = hk Y −
(M/P )
h
da cui:
A
Y
k
(M/P )
−
= Y −
b
αb
h
h
con i seguenti passaggi algebrici:
αhA − hY
αbh
αhA − hY
αbkY − αb(M/P )
αbh
= αbkY − αb(M/P )
=
e finalmente:
αh
αb
A+
(22)
(M/P )
αbk + h
αbk + h
dove l’equazione (22) rappresenta l’intersezione della IS e della LM e rappresenta il punto di equilibrio di Y. Per completare l’equilibrio bisogna ottenere
il tasso di interesse ottimale. Per fare ciò basta sostituire la (22) o nella (18)
oppure nella (21). La rappresentazione della (22) è utile per risolvere qualsiasi
esercizio ed è utile anche per calcolare l’equilibrio al varaiare delle politiche.
Per semplificare l’esercizio, chiamiamo i due coefficienti della (22) nel seguente
modo:
Y∗ =
Z
=
S
=
αh
αbk + h
αb
αbk + h
3
allora la (22) diventa:
Y ∗ = ZA + S(M/P )
(23)
Facciamo qualche esempio:
Problem 1 Supponiamo di avere i seguenti dati:
c0
c1
I
b
G
TR
t
T0
k
h
(M/P )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
26
0.8
280
12
220
95
0.25
10
0.21
15
209.55
allora abbiamo le seguenti eqauzioni:
C
I
G
TR
TA
Ld
Ls
=
=
=
=
=
=
=
26 + 0.8Yd
280 − 12i
220
95
10 + 0.25Y
0.21Y − 15i
(209.55)
sostituendo i valori nelle formule (12), (16) ed (22), si ottiene:
A = c0 + c1 [T R − T0 ] + I + G
A = 26 + 0.8[95 − 10] + 280 + 220
A = 594
1
[1 − c1 (1 − t)]
1
α =
[1 − 0.8(1 − 0.25)]
α = 2.5
α =
4
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Y∗
=
Y∗
=
Y∗
=
αh
αb
A+
(M/P )
αbk + h
αbk + h
2.5 ∗ 15
2.5 ∗ 12
A+
(M/P )
2.5 ∗ 12 ∗ 0.21 + 15
2.5 ∗ 12 ∗ 0.21 + 15
2.5 ∗ 15
2.5 ∗ 12
A+
(M/P )
2.5 ∗ 12 ∗ 0.21 + 15
2.5 ∗ 12 ∗ 0.21 + 15
La (23) allora è:
Z
S
Y∗
= 1.76
= 1.41
= 1.76 ∗ A + 1.41 ∗ (M/P )
da cui:
Y ∗ = 1341
(31)
Per ottenere il tasso di interesse basta sostituire la (31) nella (18) o nella
(21), cioè:
A Y∗
−
b
αb
594
1341
=
−
12
2.5 ∗ 12
= 4.80
i (Y ∗ ) =
i∗
i∗
Politica Monetaria SI supponga che vi sia una stretta monetaria pari a 100.
Ciò vuol dire che ∆M è pari a -100, quindi:
∆M = −100
Per risolvere il problema basta prendere l’equazione (22),
Y∗ =
αh
αb
A+
(M/P )
αbk + h
αbk + h
La politica monetaria incide solo sulla seconda parte dell’equazione, per cui
possiamo scrivere:
Y∗
Y∗
αb
(M/P )
αbk + h
= S(M/P )
=
5
dato che abbiamo la variazione dell’emissione di moneta, allora scriviamo:
∆Y = S(∆M/P )
sapendo che S=1.41, allora:
∆Y
∆Y
∆Y
= 1.41(∆M/P )
= 1.41 ∗ (−100)
= −141
Da cui:
Y0
Y0
Y0
= Y ∗ + ∆Y
= 1341 − 141
= 1200
ed il tasso di interesse nuovo:
A Y0
−
b
αb
594
1200
=
−
12
2.5 ∗ 12
= 9.5
i0 (Y 0) =
i0
i0
Politica Fiscale
Si supponga ora che il governo riduca le tasse fisse di 100 (T0 ) e riduca la spesa
pubblica di 100. Quale è l’effetto sull’equilibrio?
Di nuovo prendiamo la (22), prestando attenzione che in questo caso cambia
la componente autonoma e NON quella monetaria. Quindi:
Y∗ =
αh
αb
A+
(M/P )
αbk + h
αbk + h
Sappiamo che
∆G = −100
∆T0 = −100
6
∆A” = ∆c0 + c1 [∆T R − ∆T0 ] + ∆I + ∆G
∆A” = 0 + 0.8 ∗ (100) + 0 − 100
∆A” = 80 − 100 = −20
Riprendiamo allora la (22),
Y” =
αh
αb
A+
(M/P )
αbk + h
αbk + h
focalizzandoci solo sulla componente autonoma, cioè:
Y”
Y”
αh
A
αbk + h
= Z ∗A
=
ci interessano le variazioni, quindi:
∆Y ” = Z ∗ ∆A
∆Y ” = 1.76 ∗ (−20) =
∆Y ” = −35
Da cui, il nuovo reddito di equilibrio è:
Y ” = Y ∗ + ∆Y ”
Y ” = 1341 − 35
Y ” = 1306
Ora calcoliamo il tasso di interesse, prestando attenzione che ∆A” è mutato,
cioè:
A” = A + ∆A”
A” = 594 − 20
A” = 574
7
A” Y ”
−
b
αb
574
1306
i” =
−
12
2.5 ∗ 12
i” = 4.3
i” (Y ”) =
Politica Monetaria e Fiscale Si vedano gli effetti congiunti delle politiche
monetarie e fiscali sopra riportate:
Allora sappiamo che:
∆A” = 80 − 100 = −20
e che:
∆M = −100
allora usiamo ancora la nostra equazione (22),
Y∗ =
αh
αb
A+
(M/P )
αbk + h
αbk + h
calcolando le variazioni:
∆Y ◦ =
αh
αb
∆A +
(∆M/P )
αbk + h
αbk + h
∆Y ◦
∆Y ◦
= 1.76 ∗ (−20) + 1.40 ∗ (−100)
= −176
quindi:
e quindi:
Y ◦ = Y ∗ + ∆Y ◦
Y ” = 1341 − 176
Y ” = 1165
Ora calcoliamo il tasso di interesse, prestando attenzione che ∆A” è mutato,
cioè:
8
A” Y ◦
−
b
αb
574
1165
=
−
12
2.5 ∗ 12
= 9
i◦ (Y ◦ ) =
i◦
i◦
FINITO!
E’ possibile ora calcolare qualsiasi problema a vostro piacimento. Per poter
applicare questo metodo a tutte le casistiche si allega il file EXCEL dal
nome ISLM. Nel file basta sostituire i dati che vengono forniti nel problema
nelle caselle lasciate in giallo nel file EXCEL. NON modificate le altre
caselle, perchè altrimenti saltano i risultati. Nel file vengono date tutte le
soluzioni:
1. Equilibrio iniziale: valori di α (cella B5), valori di A (cella B6),
valori di Z (N5) e S (N6), equilibrio (Y) nella cella B7 e tasso di
interesse cella B8. I dati iniziali vanno inseriti nelle celle in giallo
nella riga 2
2. Politica monetaria, stessi dati di prima: α (cella B18), valori di A
(cella B19), valori di Z (N18) e S (N19), equilibrio (Y) nella cella
B20 e tasso di interesse cella B21. I dati della politica monetaria
dovete inserirli nella casella E12.
3. Politica fiscale, stessi dati di prima: α (cella B33), valori di A (cella
B34), valori di Z (N33) e S (N34), equilibrio (Y) nella cella B35 e
tasso di interesse cella B36. I dati della politica fiscale dovete inserirli
nelle caselle E24, E25, E26, E27.
4. Politica monetaria e fiscale, stessi dati di prima: α (cella B50), valori di A (cella B51), valori di Z (N50) e S (N51), equilibrio (Y) nella
cella B52 e tasso di interesse cella B53. I dati della politica monetaria e fiscale NON vanno inseriti a questo putno perchè già inseriti
precedentemente.
Nella colonna E ho inserito le variazioni.
NB Si noti che i problemi che vengono svolti con la presnete metodologia possono essere ANCHE risolti con la metodologia illustrata da Cristina Mancini.
I risultati sono i medesimi. Coloro che si trovassero meglio con il metodonumerico, prendano come riferimento le lezioni di Cristina ed i file denominati IS-LM 5 e IS-LM 6.
Spero sia tutto ok, buon lavoro.
Sergio
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