Università degli Studi di Pavia
Facoltà di Ingegneria
Corso di
di
Teoria dei Circuiti
Elettrotecnica
Circuiti elettrici 2
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
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Circuiti elettrici
LEGGI DI KIRCHHOFF
Le due leggi fondamentali dei circuiti
elettrici nascono come leggi sperimentali
(G. Kirchhoff, 1847)
Per noi sono postulati
Validità: in regime lentamente variabile
(stazionario o quasi
quasi-stazionario)
stazionario)
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Circuiti elettrici
LEGGE DI KIRCHHOFF PER LE CORRENTI
(O PER I NODI): KCL
Dato un nodo,
nodo si considerino le correnti dei lati
incidenti al nodo, scelto un verso di incidenza (ad
es + se uscente)
es.
uscente), si ha
Ad es. per il nodo 1
Σ Ii = 0
Ia
Ic
Ib
+
Ia + Ib - Ic = 0
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Circuiti elettrici
LEGGE DI KIRCHHOFF PER LE CORRENTI
(O PER I NODI): KCL
Generalizzando
per qualunque
superficie chiusa
(nodo generalizzato)
Particolarizzando
per un bipolo
Ia
I a = Ib
I
c
b
I
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Ib
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LEGGE DI KIRCHHOFF PER LE TENSIONI
(O PER LE MAGLIE): KVL
Data una maglia, si considerino le tensioni dei lati
appartenenti
pp
alla maglia,
g , scelto un verso di
percorrenza ( ad es. + se orario), si ha
Ad es. per la maglia I
Σ Vi = 0
Va
Vd
Vc
+
Vd - Va + Vc = 0
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LEGGE DI KIRCHHOFF PER LE TENSIONI
(O PER LE MAGLIE): KVL
Generalizzando
Particolarizzando
per un qualunque
percorso chiuso
per un bipolo
V BA
c
VBA - Vb = 0
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b
Vb
A
VAB
VAB = - VBA
V BA
B
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Circuiti elettrici
BASI FISICHE DELLE LEGGI DI KIRCHHOFF
KCL
Ia
Ib
Ic
∑ Ii = 0
+
•Non si ha moto di cariche nella regione
circostante il nodo
•Le cariche percorrono i conduttori filiformi,
senza causare accumulo o dispersione
Solenoidalità della corrente
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Circuiti elettrici
BASI FISICHE DELLE LEGGI DI KIRCHHOFF
KVL
Vb
+
Va
Vc
∑V = 0
i
•Il lavoro per spostare la carica unitaria lungo la
maglia è nullo
•La carica non acquista e non cede energia
cinetica (globalmente)
Conservatività della tensione
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Circuiti elettrici
ANALISI DI CIRCUITI ELETTRICI
Noto il funzionamento e la connessione tra i
bi li d
bipoli,
determinare
t
i
V e I per ciascun
i
bi
bipolo
l
CIRCUITO LINEARE: tutti i bipoli sono lineari
CIRCUITO NON LINEARE: almeno un bipolo è
non lineare
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
Sono sviluppati per circuiti in regime stazionario,
valgono anche per circuiti in regime quasi
stazionario
Esempio: dato il circuito
2
1
3
2
4
1
3
5
Si contano e si
numerano nodi e
lati: n = 4, ℓ=5
4
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
Incognite: 2 ℓ (Vi, Ii per i-esimo lato)
Equazioni: ℓ (OL,
(OL equazioni di Ohm)
Legge
gg di Ohm p
per il
generico bipolo
((base tensione))
V-E
Ii
+
Gi
Ei
Ai
Ii = Ai + Gi ( Vi - Ei )
Vi
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
oppure
Legge di Ohm per il
generico bipolo
(base corrente)
Ii
+
I-A
Ri
Ei
Vi = Ei + Ri ( Ii - Ai )
Ai
Vi
Le ℓ equazioni sono linearmente indipendenti
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
Equazioni
n KCL
∑ Ii = 0
nell’esempio
nell
esempio n = 4
KCL+KVL
m+1 KVL
∑ Vi = 0
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nell’esempio m+1 = 3
equazioni di
congruenza
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
BILANCIO
m = ℓ-n+1
Incognite: 2 ℓ (nell’esempio 10)
Equazioni: ℓ+n+m+1 = 2ℓ+2 (nell’esempio 5+4+2+1 = 12)
Le equazioni
L
i i di congruenza sono lilinearmente
t
indipendenti?
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
KCL
Le n KCL sono linearmente dipendenti
+
1
+I1
+I2
2
nodi
=0
-II2
+I3
3
4
-I1
-I3
+I4
=0
-I4
+I5 = 0
-I5 = 0
Infatti la combinazione lineare (somma) delle
n KCL dà identità = 0
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
KCL
n – 1 KCL sono linearmente indipendenti
¾Ogni KCL per ogni nodo <= n – 1 introduce
la corrente I di almeno un lato nuovo
La combinazione lineare di n – 1 KCL è ≠ 0
n – 1 KCL sono lilinearmente
t iindipendenti
di
d ti
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
KVL
Le m+1 KVL sono linearmente dipendenti
1-2-3
1
23
+
maglie 3-4-5
+
-V
V1
1-2-4-5 +V1
-V
V2
-V3
+V2
=0
+V3
+V4
+V5 = 0
-V4
-V5 = 0
Infatti la combinazione lineare (somma) delle
m+1 KVL fornisce una identità ovvero una
equazione già scritta
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METODI DI ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI
(METODO GENERALE)
KVL
m = ℓ - n + 1 KVL sono linearmente indipendenti
¾Ogni KVL per ogni maglia interna <= ℓ - n + 1
introduce la tensione V di almeno un lato nuovo
La combinazione lineare di ℓ - n + 1 KVL è ≠ 0
ℓ - n + 1 KVL sono linearmente
li
t indipendenti
i di
d ti
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