APPUNTI del CORSO di FISICA MODERNA per specializzandi SSIS Prima parte– Relatività speciale e fondazione della meccanica quantistica Fine del secolo diciannovesimo ed inizio del ventesimo secolo: si evidenzia la necessità di superare rappresentazioni e modelli sviluppati e messi alla prova fino a quel tempo e di giungere ad una nuova visione dell’universo fisico, come richiesto dall’insorgenza di dati sperimentali difficilmente interpretabili e di insolubili disaccordi logici fra teorie di vario genere. Protagonisti principali: M. Planck (prima teoria consistente sulla natura “quantistica” degli scambi energetici fra atomi e radiazione elettromagnetica); A. Einstein (formidabili contributi in pressoché ogni campo della fisica del tempo, critica radicale dei postulati di relatività classica introdotti da Galileo e Newton due secoli prima, risoluzione dei gravi problemi che apparentemente riguardavano la formulazione dell’elettromagnetismo classico fornita da Maxwell nei fenomeni di “fotoemessione”); L. De Broglie (introduzione del concetto dualistico onda-particella); W. Heisenberg (generalizzazione degli aspetti di indeterminismo ondulatorio alla meccanica). Molti fisici sperimentali (Millikan, Davisson, Germer, Thompson, …) Lezione 29 febbraio 2000 – Relatività speciale 1. Superamento della relatività classica Si deve richiamare il significato operativo di relatività, ovvero lo studio di fenomeni fisici (ossia dare forma e sostanza a leggi fisiche) da parte di osservatori (reali o non) in differenti sistemi di riferimento. Sono necessarie leggi di trasformazione per le coordinate rilevanti alla descrizione del fenomeno fisico espresse in diversi riferimenti. Si affronta lo studio delle trasformazioni che conducono all’invarianza (covarianza) delle leggi della dinamica di Newton. Di centrale importanza è l’osservatore inerziale, secondo il quale un corpo che non subisce l’azione netta di una forza si muove di moto rettilineo uniforme. Tutti i riferimenti inerziali si trovano in condizioni di moto relativo rettilineo uniforme e per tali riferimenti le leggi della meccanica di Newton sono valide ed esprimibili allo stesso modo. Le leggi di trasformazione corrispondenti sono quelle di Galileo: non comportano accelerazioni fittizie (non inerziali) nelle trasformazioni delle coordinate. Per una singola coordinata la trasformazione di Galileo è del tipo x’=xut, per cui v’=vu ed a’=a. Si postula inoltre che il tempo è assoluto in una trasformazione classica, t’=t. Altri leggi fisiche soddisfano al principio di relatività classica? Conducono ad un’invarianza della forma della legge (covarianza) in seguito ad una trasformazione di Galileo? Si ripercorre lo studio condotto nel XIX secolo da Maxwell sulla natura della radiazione, che conduce alla descrizione della luce ed alla definizione della sua velocità nel vuoto, c=299,792,458 m/s. Si considera un raggio luminoso emesso da un sistema di riferimento che si avvicina ad un altro osservatore: quest’ultimo, secondo le trasformazioni di Galileo, deve rilevare un segnale che si propaga nella sua direzione a velocità c aumentata della velocità relativa tra i due riferimenti. Viene postulata l’esistenza di un mezzo (l’etere) nel quale la luce propaga con velocità c, rilevabile sperimentalmente misurando la velocità della luce in condizioni relative di moto differenti e legate da trasformazioni di Galileo. Relatività speciale - 1 Analogia: la luce è sostituita da una barca che ha velocità c rispetto l’acqua nella quale naviga (“etere”). Moto parallelo alla corrente: la barca si muove rispetto alla corrente con velocità ±c e rispetto al suolo con velocità v±c; tempo per il tragitto di andata e ritorno AB-BC L L 2L 1 t par . cv cv c 1 v2 / c2 A v+c B C v c–v B’ B Moto perpendicolare alla corrente: v la barca, che mantiene velocità c rispetto l’acqua, per contrastare la corrente verso destra e raggiungere il punto B deve deviare verso sinistra facendo rotta verso il punto B’. Velocità efficace C’ A C ridotta a (c2–v2)1/2. Lo stesso discorso vale per il tragitto di ritorno, nel quale la barca deve deviare verso il punto C’ per raggiungere il punto C. Velocità efficace come nell’andata, tempo totale 2L 2L 1 . t perp c 1 v2 / c2 c2 v2 E’ stato effettuato un esperimento dedicato alla rilevazione del mezzo di propagazione della luce (l’etere) ed all’individuazione di un sistema di riferimento privilegiato nel quale la luce stessa ha velocità c. Michelson e Morley (1887) realizzano un “attraversamento di corrente” per un raggio di luce. La corrente è quella dell’etere causata dal moto orbitale della terra attorno al sole. Una misura diretta della velocità relativa terra/etere e determinazione del sistema di riferimento “privilegiato” nel quale la luce propaga con velocità c dovrebbe quindi essere possibile. L’idea è quella di ottenere con precisione molto elevata R eventuali differenze di tempi di percorrenza della luce nei due percorsi. A tale scopo, una rotazione dell’apparato di 90° esclude che le variazioni di percorso siano imputabili alle differenze delle lunghezze fisiche dei due bracci perpendicolari dell’apparato. M3 S M1 La luce impiega gli stessi tempi a percorrere i due bracci ovvero non è possibile determinare tramite misure di M2 interferometria la velocità relativa della terra nell’etere. La vera risposta è da collocarsi in un apparato teorico completamente nuovo che intacca i fondamenti logici e di sostanza della meccanica classica. 2. Relatività speciale: i postulati di Einstein e le loro conseguenze (a) Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziale; (b) La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Le conseguenze di (b) sono al di fuori del senso comune, ma (b) è richiesto per conciliare il primo postulato con le leggi dell’elettromagnetismo e con i risultati dell’esperimento di Michelson e Morley: la luce si propaga sempre con velocità c sia quando è parallela al moto relativo della terra, sia quando si propaga perpendicolarmente ad esso. Relatività speciale - 2 Possiamo eliminare l’etere: non è possibile pensare ad un riferimento privilegiato nel quale la luce ha velocità c: essa ha questa velocità in tutti i riferimenti inerziali. Si parla di relatività “speciale” o “ristretta”: la teoria è applicabile solamente alle trasformazioni che connettono sistemi di riferimento inerziali. Einstein nel 1916 pubblica una teoria di relatività “generale” che affronta i casi di riferimenti non inerziali, e che dunque chiama esplicitamente in causa l’azione del campo gravitazionale. O’ L0 Relatività del tempo Orologio “a luce” osservato in riferimenti inerziali diversi: S R S R v tempo (“click”) di O’: 0=2L0/c. tempo di O (rispetto cui O’ viaggia verso destra con velocità v) calcolato in base al percorso “allungato” del raggio di luce percorso con velocità c dato da L=2[(L0)2+(v/2)2]1/2. Dunque =L/c. Si ricava τ τ0 1 v / c 2 2 . S R S R O E’ una dilatazione temporale (misura di O del tempo dilatata rispetto O’ che assegna il suo tempo proprio τ 0). Relatività “reciproca”: un orologio in O con tempo proprio τ 0 è visto da O’ con tempo dilatato secondo la relazione sopra scritta. Relatività della lunghezza Orologio a luce parallelo alla direzione di moto relativo fra O ed O’. Per O (rispetto il quale l’orologio solidale con O’ viaggia verso destra con velocità v) la luce raggiunge lo specchio nel tempo 1, c1=L+ v1; la luce torna al rivelatore nel tempo 2, c2=L v2. Dunque il tempo totale per O è dato da τ τ1 τ 2 Per L0 v1 L L 2L 1 . cv cv c 1 v2 / c2 la τ0 dilatazione temporale è anche 2L 1 τ 0 ; sostituendo si ottiene 2 2 c 1 v2 / c2 1 v / c v2 L L0 1 v 2 / c 2 . E’ una contrazione della lunghezza (misura di O della lunghezza contratta rispetto O’ che assegna una sua lunghezza propria L0). Relatività speciale - 3 Esempio: decadimento di particelle elementari (muoni) nell’atmosfera terrestre. I muoni hanno vita (tempo proprio) 0=2.2 s. Viaggiano attraverso l’atmosfera con velocità tale che v/c=0.99998. Rispetto l’osservatore terrestre il tempo si dilata al valore =330 s. Questo corrisponde al tempo richiesto per percorrere una distanza di circa 100 km. Per il muone la distanza è contratta al valore L0=660 m, che percorre nel suo tempo di vita. Notare la connessione indissolubile fra dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze. Composizione relativistica delle velocità Si considera un proiettile lanciato con velocità v da un riferimento O’ che si muove con velocità u rispetto O. La misura della velocità del proiettile per O è classicamente v+u. Se il proiettile ha velocità c la composizione classica non può essere valida per i postulati di relatività di Einstein, in quanto il proiettile (luce) deve avere velocità c rispetto tutti i riferimenti inerziali. Studio del moto di un oggetto con velocità v’ rispetto O’ rivelato da un orologio a luce: v’ O’ c rispetto O’ si rileva il segnale luminoso innescato dall’arrivo del proiettile all’estremo di destra dopo il L L tempo O ' 0 0 . L’osservatore O vede il proiettile L0 v' c v raggiungere l’estremo dopo un tempo L/(vu) e il segnale O ottico richiede un tempo L/(c+u), per cui il tempo per O è c dato da L L u O . vu cu L Si utilizzano ora le relazioni di dilatazione temporale e contrazione delle lunghezze (per porre in relazione O, O’ τ O' e L0, L secondo le τ O e L L0 1 u 2 / c 2 . Eliminando tempi e lunghezze dalle 2 2 1 u / c quattro relazioni disponibili si arriva alla relazione che lega v, v’ ed u: v v'u . uv' 1 2 c Notare bene: la trasformazione si riduce alla legge classica di relatività per velocità molto minori di c; la velocità trasformata non può mai essere maggiore di c; se il proiettile ha velocità c nel riferimento O’, la relazione stabilisce che esso ha velocità c anche nel riferimento O. Sincronizzazione degli orologi e simultaneità degli eventi spazio-temporali. Sincronizzazione di due orologi secondo il riferimento O. La sincronizzazione, dovuta all’arrivo simultaneo del segnale ottico ai due rilevatori nei tempi t1= t2=L/2c cessa di essere tale in un riferimento in moto uniforme con velocità u verso destra. Per tale Relatività speciale - 4 L/2 2 u L/2 1 riferimento il segnale giunge a destra (1) nel tempo t1’ tale che ct1’=L’/2ut1’, ed a sinistra (2) nel tempo t2’ tale che ct2’=L’/2+ut1’, dove si sono introdotte le lughezze contratte L’ di O’ rispetto le lunghezze proprie L di O. Si ottiene che t ' 2 t '1 Lu / c 2 . 1 u2 / c2 Si noti che gli eventi ai rivelatori sono ora intervallati di una quantità che è funzione, oltre che della velocità relativa tra O ed O’, anche della distanza propria che separa gli eventi stessi. Non si tratta di dilatazione temporale: entrambe gli orologi scandiscono tempi diversi, e diversi tra di loro. E’ dunque impossibile (senza significato fisico alcuno) definire un “adesso” per eventi separati spazialmente in un dato riferimento inerziale. 3. Trasformazioni di Lorentz: apparato matematico per la relatività speciale Si parte dalla necessità di disporre di nuove trasformazioni rispetto quelle di Galileo. Proprietà richieste: linearità (omogeneità spazio/tempo); consistenza con i postulati di Einstein; equivalenza con le trasformazioni di Galileo per basse velocità. Per un moto relativo lungo la direzione di moto x a velocità u le trasformazioni sono x' x ut 1 u2 / c2 , y y' , z z' , t t 'ux / c 2 1 u2 / c2 . Notare il mescolamento di coordinate spaziali e temporali. Contrazione delle lunghezze a partire dalle trasformazioni di Lorentz. Misura di L da O, L=x1x2 come acquisizione simultanea delle distanze. Questo può essere u realizzato tramite emissione di segnali luminosi in O’ e recepiti simultaneamente da O. Applicando le trasformazioni di Lorentz nella xi ut i , i 1,2 , si ottiene forma xi ' L0 2 2 1 u / c O’ O subito che, per t1=t2 (simultaneità) vale x2 x1 x1’ x2’ x2 ' x1 ' , ovvero la contrazione di 1 u 2 / c2 lunghezza nel riferimento O rispetto la lunghezza propria di O’ già ottenuta in base ai postulati di Einstein. Notare bene: la simultaneità temporale degli eventi collocati in diverse posizioni spaziali non è permessa in entrambe i riferimenti, come già sottolineato in base ai postulati di relatività. Si ribadisce che l’affermazione del senso comune “ORA”, in questo tempo, ha senso solo relativo, ossia non può essere definita in maniera assoluta. Ciò che è simultaneo in un riferimento può benissimo non esserlo in un altro. Relatività speciale - 5 Trasformazioni di Lorentz come “estensione” delle trasformazioni di Galileo, combinazioni lineari di coordinate. Ora il tempo non è assoluto e si mescola con le coordinate spaziali. Ricerca di invarianti nelle trasformazioni di Lorentz: l’intervallo spazio-tempo, analogia con la distanza euclidea, x 2 + y 2 + z 2 = d 2, x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = s 2. Notazione quadrivettoriale, prodotti scalari, spazio di Minkowskii: la nuova metrica non euclidea. 4. Dinamica relativistica La relatività speciale richiede una nuova lettura dei concetti cinematici fondamentali e della logica applicativa. Quali le conseguenze sui concetti della dinamica? Sono ancora operativamente significative le grandezze quantità di moto ed energia cinetica? I principi di conservazione corrispondenti sono ancora validi? La legge della dinamica di Newton prevede che una forza costante conduca ad un aumento illimitato della velocità. Come conciliare questo punto con i postulati di Einstein? Urto elastico in due dimensioni y Nel sistema O l’urto conduce alla conservazione del momento della quantità di moto, p=cost. Nel sistema O’, con una delle particelle in quiete prima della collisione, si applicano le trasformazioni relativistiche di velocità per scoprire che, in questo riferimento, la quantità di moto non si conserva e dunque non soddisfa il I postulato di Einstein. Si introduce una nuova definizione di momento che sia in accordo con i postulati di Einstein e che si riduca, per basse velocità, alla definizione classica. La soluzione è porre p v y -v x x v=u y’ y’ x’ x’ mv . 1 v2 / c2 Si verifica anche che nel sistema O’ la conservazione dell’energia cinetica non è realizzata ed inoltre conduce, secondo la sua definizione classica T=mv2/2, a velocità tendenti all’infinito in presenza di forze costanti (teorema lavoro/energia). Utilizzando la nuova definizione di momento e questo teorema si ottiene la nuova definizione di energia cinetica: T mc 2 1 v / c 2 2 mc 2 . Questa si riduce all’espressione classica per piccole velocità. Si scrive inoltre T=EE0, nella quale E0=mc2 è l’energia a riposo mentre E è l’energia totale relativistica, costante per un sistema isolato di particelle. Aspetti energetici notevoli: conversione energia cinetica/energia a riposo in fenomeni di reazione di vario genere. La massa relativistica è m(1v2/c2)1/2, ed m è detta massa a riposo. Si osserva che per velocità crescenti la massa aumenta in modo che la velocità tende a c e non ad infinto. Relatività speciale - 6 Scritture utili nelle applicazioni energetiche relativistiche: Dalle E mc 2 , mv p si ricava E 2 p 2 c 2 m 2 c 4 , ovvero E ( pc) 2 E02 . 1 v / c 1 v / c Si parla di approssimazione relativistica estrema per pc>>E0, dunque E pc. Per E0=0 è E=pc che è soddisfatta solo per v=c (particelle con massa a riposo nulla). 2 2 2 2 Rappresentazioni quadrivettoriali Vi sono analogie importanti fra i 4-vettori spazio tempo (r,ct) e momento-energia (p,E/c), soprattutto nella scrittura delle corrispondenti trasformazioni di Lorentz. Qualche numero per capire meglio Calcolo del momento di un protone con velocità v=0.8c. Massa del protone M=1.671027 kg. Si applica direttamente la p mv 1 v2 / c2 che fornisce p=6.71019 kg m/s. La notazione adottata tecnicamente è diversa e chiama in causa l’energia a riposo della particella. Nel caso del protone Mc2=1.5031010 J, ovvero, essendo 1 J=6.241018 eV, Mc2=983106 eV=938 MeV. E’ anche possibile dunque misurare la massa in unità di energia/c2, per cui M=983 MeV/c2. Per quanto riguarda il momento si può scrivere che v/c , pc mc 2 1 v2 / c2 ossia esprimere il momento in unità di energia/c. Nel caso del protone con v/c=0.8 risulta subito pc=4mc2/3=1250 MeV, dunque p=1250 MeV/c. Calcoliamo anche l’energia cinetica e totale per questa particella: dalla E ( pc) 2 E02 , con pc=1250MeV ed E0=938MeV risulta E=[(1250)2+(938)2]1/2 MeV =1536 MeV e T=EE0=624 MeV. Calcolo di v e p per un elettrone (m=0.511 MeV/c2) con energia cinetica T=10 MeV. E=T+E0=10.511 MeV, e p mv 1 v2 / c2 pc E 2 E02 10.5 pc si ottiene v / c ( pc) 2 m 2 c 4 MeV, per cui p=10.5 MeV/c. Dalla 0.9988 . Calcolo di v/c per elettroni accelerati a 50 GeV di energia cinetica. Dalla definizione T / mc 2 1 1 si ricava 1 v2 / c2 1 1 v / c 1 1 1 5 10 11 2 2 2 2 1 T / mc 21 T / mc La velocità dell’elettrone differisce da quella della luce di 1.5 cm/s. Relatività speciale - 7 Il paradosso dei gemelli. Vale la pena fare delle osservazioni generali sui “gedanken experiment” di Einstein. Si immagina il viaggio ad alta velocità (es. 0.8c) di una persona su un pianeta distante (es. 20 anni luce) dalla terra e ritorno. Un fratello gemello lo attende ed al ritorno è più vecchio del fratello che ha viaggiato, perché quest’ultimo si è mosso rapidamente ed il tempo relativo ad esso è scorso più lentamente. Però lo stesso può essere detto dalla persona viaggiante, che vede il fratello a terra allontanarsi rapidamente. Invecchiano in modo diverso? No, non c’è paradosso: il fratello viaggiante per tornare deve cambiare sistema di riferimento, subisce forze ed è distinguibile (non semplicemente “relativo”) dal fratello a terra, che effettivamente invecchia di più. Con i dati proposti si ricava che la persona a terra attende per 50 anni il ritorno del fratello, il quale vede invece un percorso contratto di lunghezza pari a solo 12 anni luce (andata o ritorno). Con la sua velocità impiega (tempo proprio) 30 anni a tornare sulla terra. 5. ESERCIZI a. Una navicella spaziale si allontana con velocità v=0.8c dalla terra. Ad un dato istante spara un missile parallelo alla sua direzione di moto. La velocità del missile relativa alla navicella è 0.6c. Qual è la velocità del missile relativa alla terra? b. Alla distanza pari al raggio dell’orbita della terra attorno al sole (1.51011 m), la radiazione solare ha un flusso energetico pari a 1.4103 W/m2. Calcolare la rapidità con la quale la massa del sole diminuisce. Per quanto tempo durerà ancora il sole, se la sua massa è di 21030 kg? c. Ottenere i valori numerici per il “paradosso” dei gemelli nel caso in cui il viaggio è percorso a velocità 0.6c e la distanza tra la terra ed il pianeta destinazione è pari a 12 anni luce. d. A quale velocità deve muoversi un oggetto perché la sua lunghezza appaia dimezzata rispetto quella propria? e. La vita propria di una particella è 100 ns. Quanto a lungo vive nel riferimento del laboratorio se si muove alla velocità 0.96c? Che distanza percorre nel laboratorio durante la sua vita? Che distanza percorre durante la sua vita secondo un osservatore solidale con essa? Letture consigliate: L’eredità di Einstein – J. Schwinger – NCS7 – Zanichelli La relatività e il senso comune – H. Bondi – Zanichelli Le avventure di Mr. Tompkins – G. Gamow – Ed. Dedalo La fisica di Feynman Vol I.1 – Feynman, Leighton, Sands Relatività speciale - 8