WORD - Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

APPUNTI del CORSO di FISICA MODERNA
per specializzandi SSIS
Prima parte– Relatività speciale e fondazione della meccanica quantistica
Fine del secolo diciannovesimo ed inizio del ventesimo secolo: si evidenzia la necessità di superare
rappresentazioni e modelli sviluppati e messi alla prova fino a quel tempo e di giungere ad una
nuova visione dell’universo fisico, come richiesto dall’insorgenza di dati sperimentali difficilmente
interpretabili e di insolubili disaccordi logici fra teorie di vario genere.
Protagonisti principali:
M. Planck (prima teoria consistente sulla natura “quantistica” degli scambi energetici fra atomi e
radiazione elettromagnetica);
A. Einstein (formidabili contributi in pressoché ogni campo della fisica del tempo, critica radicale
dei postulati di relatività classica introdotti da Galileo e Newton due secoli prima, risoluzione dei
gravi problemi che apparentemente riguardavano la formulazione dell’elettromagnetismo classico
fornita da Maxwell nei fenomeni di “fotoemessione”);
L. De Broglie (introduzione del concetto dualistico onda-particella);
W. Heisenberg (generalizzazione degli aspetti di indeterminismo ondulatorio alla meccanica).
Molti fisici sperimentali (Millikan, Davisson, Germer, Thompson, …)
Lezione 29 febbraio 2000 – Relatività speciale
1.
Superamento della relatività classica
Si deve richiamare il significato operativo di relatività, ovvero lo studio di fenomeni fisici (ossia
dare forma e sostanza a leggi fisiche) da parte di osservatori (reali o non) in differenti sistemi di
riferimento.
Sono necessarie leggi di trasformazione per le coordinate rilevanti alla descrizione del fenomeno
fisico espresse in diversi riferimenti.
Si affronta lo studio delle trasformazioni che conducono all’invarianza (covarianza) delle leggi
della dinamica di Newton.
Di centrale importanza è l’osservatore inerziale, secondo il quale un corpo che non subisce l’azione
netta di una forza si muove di moto rettilineo uniforme. Tutti i riferimenti inerziali si trovano in
condizioni di moto relativo rettilineo uniforme e per tali riferimenti le leggi della meccanica di
Newton sono valide ed esprimibili allo stesso modo. Le leggi di trasformazione corrispondenti sono
quelle di Galileo: non comportano accelerazioni fittizie (non inerziali) nelle trasformazioni delle
coordinate.
Per una singola coordinata la trasformazione di Galileo è del tipo x’=xut, per cui v’=vu ed a’=a.
Si postula inoltre che il tempo è assoluto in una trasformazione classica, t’=t.
Altri leggi fisiche soddisfano al principio di relatività classica? Conducono ad un’invarianza della
forma della legge (covarianza) in seguito ad una trasformazione di Galileo?
Si ripercorre lo studio condotto nel XIX secolo da Maxwell sulla natura della radiazione, che
conduce alla descrizione della luce ed alla definizione della sua velocità nel vuoto, c=299,792,458
m/s.
Si considera un raggio luminoso emesso da un sistema di riferimento che si avvicina ad un altro
osservatore: quest’ultimo, secondo le trasformazioni di Galileo, deve rilevare un segnale che si
propaga nella sua direzione a velocità c aumentata della velocità relativa tra i due riferimenti.
Viene postulata l’esistenza di un mezzo (l’etere) nel quale la luce propaga con velocità c, rilevabile
sperimentalmente misurando la velocità della luce in condizioni relative di moto differenti e legate
da trasformazioni di Galileo.
Relatività speciale - 1
Analogia: la luce è sostituita da una barca che ha
velocità c rispetto l’acqua nella quale naviga
(“etere”).
Moto parallelo alla corrente:
la barca si muove rispetto alla corrente con
velocità ±c e rispetto al suolo con velocità v±c;
tempo per il tragitto di andata e ritorno AB-BC
L
L
2L
1
t par 


.
cv cv
c 1 v2 / c2
A
v+c
B
C
v
c–v
B’
B
Moto perpendicolare alla corrente:
v
la barca, che mantiene velocità c rispetto l’acqua,
per contrastare la corrente verso destra e
raggiungere il punto B deve deviare verso sinistra
facendo rotta verso il punto B’. Velocità efficace
C’
A C
ridotta a (c2–v2)1/2. Lo stesso discorso vale per il
tragitto di ritorno, nel quale la barca deve deviare verso il punto C’ per raggiungere il punto C.
Velocità efficace come nell’andata, tempo totale
2L
2L
1
.
t perp 

c 1 v2 / c2
c2  v2
E’ stato effettuato un esperimento dedicato alla rilevazione del mezzo di propagazione della luce
(l’etere) ed all’individuazione di un sistema di riferimento privilegiato nel quale la luce stessa ha
velocità c. Michelson e Morley (1887) realizzano un “attraversamento di corrente” per un raggio di
luce. La corrente è quella dell’etere causata dal moto orbitale della terra attorno al sole.
Una misura diretta della velocità relativa terra/etere e determinazione del sistema di riferimento
“privilegiato” nel quale la luce propaga con velocità c
dovrebbe quindi essere possibile.
L’idea è quella di ottenere con precisione molto elevata
R
eventuali differenze di tempi di percorrenza della luce nei
due percorsi. A tale scopo, una rotazione dell’apparato di
90° esclude che le variazioni di percorso siano imputabili
alle differenze delle lunghezze fisiche dei due bracci
perpendicolari dell’apparato.
M3
S
M1
La luce impiega gli stessi tempi a percorrere i due bracci
ovvero non è possibile determinare tramite misure di
M2
interferometria la velocità relativa della terra nell’etere.
La vera risposta è da collocarsi in un apparato teorico completamente nuovo che intacca i
fondamenti logici e di sostanza della meccanica classica.
2.
Relatività speciale: i postulati di Einstein e le loro conseguenze
(a) Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziale;
(b) La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Le conseguenze di (b) sono al di fuori del senso comune, ma (b) è richiesto per conciliare il primo
postulato con le leggi dell’elettromagnetismo e con i risultati dell’esperimento di Michelson e
Morley: la luce si propaga sempre con velocità c sia quando è parallela al moto relativo della terra,
sia quando si propaga perpendicolarmente ad esso.
Relatività speciale - 2
Possiamo eliminare l’etere: non è possibile pensare ad un riferimento privilegiato nel quale la luce
ha velocità c: essa ha questa velocità in tutti i riferimenti inerziali.
Si parla di relatività “speciale” o “ristretta”: la teoria è applicabile solamente alle trasformazioni che
connettono sistemi di riferimento inerziali.
Einstein nel 1916 pubblica una teoria di relatività “generale” che affronta i casi di riferimenti non
inerziali, e che dunque chiama esplicitamente in causa l’azione
del campo gravitazionale.
O’
L0
Relatività del tempo
Orologio “a luce” osservato in riferimenti inerziali diversi:
S
R
S
R
v
tempo (“click”) di O’: 0=2L0/c.
tempo  di O (rispetto cui O’ viaggia verso destra con velocità
v) calcolato in base al percorso “allungato” del raggio di luce
percorso con velocità c dato da L=2[(L0)2+(v/2)2]1/2. Dunque
=L/c. Si ricava
τ
τ0
1 v / c
2
2
.
S
R
S
R
O
E’ una dilatazione temporale (misura di O del tempo dilatata
rispetto O’ che assegna il suo tempo proprio τ 0).
Relatività “reciproca”: un orologio in O con tempo proprio τ 0 è visto da O’ con tempo dilatato
secondo la relazione sopra scritta.
Relatività della lunghezza
Orologio a luce parallelo alla direzione di moto relativo fra O
ed O’.
Per O (rispetto il quale l’orologio solidale con O’ viaggia verso
destra con velocità v) la luce raggiunge lo specchio nel tempo
1, c1=L+ v1; la luce torna al rivelatore nel tempo 2, c2=L
v2. Dunque il tempo totale per O è dato da
τ  τ1  τ 2 
Per
L0
v1
L
L
2L
1


.
cv cv
c 1 v2 / c2
la
τ0
dilatazione
temporale
è
anche
2L
1
τ
 0
; sostituendo si ottiene
2
2
c 1 v2 / c2
1 v / c
v2
L  L0 1  v 2 / c 2 .
E’ una contrazione della lunghezza (misura di O della lunghezza contratta rispetto O’ che assegna
una sua lunghezza propria L0).
Relatività speciale - 3
Esempio: decadimento di particelle elementari (muoni) nell’atmosfera terrestre.
I muoni hanno vita (tempo proprio) 0=2.2 s. Viaggiano attraverso l’atmosfera con velocità tale
che v/c=0.99998. Rispetto l’osservatore terrestre il tempo si dilata al valore =330 s. Questo
corrisponde al tempo richiesto per percorrere una distanza di circa 100 km. Per il muone la distanza
è contratta al valore L0=660 m, che percorre nel suo tempo di vita.
Notare la connessione indissolubile fra dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze.
Composizione relativistica delle velocità
Si considera un proiettile lanciato con velocità v da un riferimento O’ che si muove con velocità u
rispetto O. La misura della velocità del proiettile per O è classicamente v+u.
Se il proiettile ha velocità c la composizione classica non può essere valida per i postulati di
relatività di Einstein, in quanto il proiettile (luce) deve avere velocità c rispetto tutti i riferimenti
inerziali.
Studio del moto di un oggetto con velocità v’ rispetto O’
rivelato da un orologio a luce:
v’
O’
c
rispetto O’ si rileva il segnale luminoso innescato
dall’arrivo del proiettile all’estremo di destra dopo il
L
L
tempo  O '  0  0 . L’osservatore O vede il proiettile
L0
v'
c
v
raggiungere l’estremo dopo un tempo L/(vu) e il segnale
O
ottico richiede un tempo L/(c+u), per cui il tempo per O è
c
dato da
L
L
u
O 

.
vu cu
L
Si utilizzano ora le relazioni di dilatazione temporale e
contrazione delle lunghezze (per porre in relazione O, O’
τ O'
e L0, L secondo le τ O 
e L  L0 1  u 2 / c 2 . Eliminando tempi e lunghezze dalle
2
2
1 u / c
quattro relazioni disponibili si arriva alla relazione che lega v, v’ ed u:
v
v'u
.
uv'
1 2
c
Notare bene:
la trasformazione si riduce alla legge classica di relatività per velocità molto minori di c;
la velocità trasformata non può mai essere maggiore di c;
se il proiettile ha velocità c nel riferimento O’, la relazione stabilisce che esso ha velocità c anche
nel riferimento O.
Sincronizzazione degli orologi e simultaneità degli eventi spazio-temporali.
Sincronizzazione di due orologi secondo il riferimento O.
La sincronizzazione, dovuta all’arrivo simultaneo del segnale ottico
ai due rilevatori nei tempi t1= t2=L/2c cessa di essere tale in un
riferimento in moto uniforme con velocità u verso destra. Per tale
Relatività speciale - 4
L/2
2
u
L/2
1
riferimento il segnale giunge a destra (1) nel tempo t1’ tale che ct1’=L’/2ut1’, ed a sinistra (2) nel
tempo t2’ tale che ct2’=L’/2+ut1’, dove si sono introdotte le lughezze contratte L’ di O’ rispetto le
lunghezze proprie L di O. Si ottiene che
t ' 2 t '1 
Lu / c 2
.
1 u2 / c2
Si noti che gli eventi ai rivelatori sono ora intervallati di una quantità che è funzione, oltre che della
velocità relativa tra O ed O’, anche della distanza propria che separa gli eventi stessi.
Non si tratta di dilatazione temporale: entrambe gli orologi scandiscono tempi diversi, e diversi tra
di loro.
E’ dunque impossibile (senza significato fisico alcuno) definire un “adesso” per eventi separati
spazialmente in un dato riferimento inerziale.
3.
Trasformazioni di Lorentz: apparato matematico per la relatività speciale
Si parte dalla necessità di disporre di nuove trasformazioni rispetto quelle di Galileo.
Proprietà richieste:
linearità (omogeneità spazio/tempo);
consistenza con i postulati di Einstein;
equivalenza con le trasformazioni di Galileo per basse velocità.
Per un moto relativo lungo la direzione di moto x a velocità u le trasformazioni sono
x' 
x  ut
1 u2 / c2
,
y  y' , z  z' , t 
t 'ux / c 2
1 u2 / c2
.
Notare il mescolamento di coordinate spaziali e temporali.
Contrazione delle lunghezze a partire dalle trasformazioni di Lorentz.
Misura di L da O, L=x1x2 come acquisizione
simultanea delle distanze. Questo può essere
u
realizzato tramite emissione di segnali luminosi
in O’ e recepiti simultaneamente da O.
Applicando le trasformazioni di Lorentz nella
xi  ut i
, i  1,2 , si ottiene
forma xi ' 
L0
2
2
1

u
/
c
O’
O
subito che, per t1=t2 (simultaneità) vale
x2  x1
x1’
x2’
x2 ' x1 ' 
, ovvero la contrazione di
1 u 2 / c2
lunghezza nel riferimento O rispetto la lunghezza propria di O’ già ottenuta in base ai postulati di
Einstein.
Notare bene: la simultaneità temporale degli eventi collocati in diverse posizioni spaziali non è
permessa in entrambe i riferimenti, come già sottolineato in base ai postulati di relatività.
Si ribadisce che l’affermazione del senso comune “ORA”, in questo tempo, ha senso solo relativo,
ossia non può essere definita in maniera assoluta. Ciò che è simultaneo in un riferimento può
benissimo non esserlo in un altro.
Relatività speciale - 5
Trasformazioni di Lorentz come “estensione” delle trasformazioni di Galileo, combinazioni lineari
di coordinate. Ora il tempo non è assoluto e si mescola con le coordinate spaziali.
Ricerca di invarianti nelle trasformazioni di Lorentz: l’intervallo spazio-tempo, analogia con la
distanza euclidea, x 2 + y 2 + z 2 = d 2, x 2 + y 2 + z 2  c 2 t 2 = s 2.
Notazione quadrivettoriale, prodotti scalari, spazio di Minkowskii: la nuova metrica non euclidea.
4. Dinamica relativistica
La relatività speciale richiede una nuova lettura dei concetti cinematici fondamentali e della logica
applicativa. Quali le conseguenze sui concetti della dinamica?
Sono ancora operativamente significative le grandezze quantità di moto ed energia cinetica?
I principi di conservazione corrispondenti sono ancora validi?
La legge della dinamica di Newton prevede che una forza costante conduca ad un aumento
illimitato della velocità. Come conciliare questo punto con i postulati di Einstein?
Urto elastico in due dimensioni
y
Nel sistema O l’urto conduce alla conservazione
del momento della quantità di moto, p=cost. Nel
sistema O’, con una delle particelle in quiete
prima della collisione, si applicano le
trasformazioni relativistiche di velocità per
scoprire che, in questo riferimento, la quantità di
moto non si conserva e dunque non soddisfa il I
postulato di Einstein.
Si introduce una nuova definizione di momento
che sia in accordo con i postulati di Einstein e
che si riduca, per basse velocità, alla definizione
classica.
La soluzione è porre p 
v
y
-v
x
x
v=u
y’
y’
x’
x’
mv
.
1 v2 / c2
Si verifica anche che nel sistema O’ la conservazione dell’energia cinetica non è realizzata ed
inoltre conduce, secondo la sua definizione classica T=mv2/2, a velocità tendenti all’infinito in
presenza di forze costanti (teorema lavoro/energia). Utilizzando la nuova definizione di momento e
questo teorema si ottiene la nuova definizione di energia cinetica:
T
mc 2
1 v / c
2
2
 mc 2 .
Questa si riduce all’espressione classica per piccole velocità.
Si scrive inoltre T=EE0, nella quale E0=mc2 è l’energia a riposo mentre E è l’energia totale
relativistica, costante per un sistema isolato di particelle.
Aspetti energetici notevoli: conversione energia cinetica/energia a riposo in fenomeni di reazione di
vario genere. La massa relativistica è m(1v2/c2)1/2, ed m è detta massa a riposo. Si osserva che per
velocità crescenti la massa aumenta in modo che la velocità tende a c e non ad infinto.
Relatività speciale - 6
Scritture utili nelle applicazioni energetiche relativistiche:
Dalle E 
mc 2
,
mv
p
si ricava E 2  p 2 c 2  m 2 c 4 , ovvero E  ( pc) 2  E02 .
1 v / c
1 v / c
Si parla di approssimazione relativistica estrema per pc>>E0, dunque E  pc.
Per E0=0 è E=pc che è soddisfatta solo per v=c (particelle con massa a riposo nulla).
2
2
2
2
Rappresentazioni quadrivettoriali
Vi sono analogie importanti fra i 4-vettori spazio tempo (r,ct) e momento-energia (p,E/c),
soprattutto nella scrittura delle corrispondenti trasformazioni di Lorentz.
Qualche numero per capire meglio
Calcolo del momento di un protone con velocità v=0.8c.
Massa del protone M=1.671027 kg. Si applica direttamente la p 
mv
1 v2 / c2
che fornisce
p=6.71019 kg m/s.
La notazione adottata tecnicamente è diversa e chiama in causa l’energia a riposo della particella.
Nel caso del protone Mc2=1.5031010 J, ovvero, essendo 1 J=6.241018 eV,
Mc2=983106 eV=938 MeV. E’ anche possibile dunque misurare la massa in unità di energia/c2, per
cui M=983 MeV/c2. Per quanto riguarda il momento si può scrivere che
v/c
,
pc  mc 2
1 v2 / c2
ossia esprimere il momento in unità di energia/c. Nel caso del protone con v/c=0.8 risulta subito
pc=4mc2/3=1250 MeV, dunque p=1250 MeV/c.
Calcoliamo anche l’energia cinetica e totale per questa particella:
dalla E  ( pc) 2  E02 , con pc=1250MeV ed E0=938MeV risulta E=[(1250)2+(938)2]1/2 MeV
=1536 MeV e T=EE0=624 MeV.
Calcolo di v e p per un elettrone (m=0.511 MeV/c2) con energia cinetica T=10 MeV.
E=T+E0=10.511 MeV, e
p
mv
1 v2 / c2
pc  E 2  E02  10.5
pc
si ottiene v / c 
( pc) 2  m 2 c 4
MeV, per cui p=10.5 MeV/c. Dalla
 0.9988 .
Calcolo di v/c per elettroni accelerati a 50 GeV di energia cinetica.
Dalla definizione T / mc 2 
1
 1 si ricava
1 v2 / c2
1
1
v / c  1
 1
 1  5  10 11
2
2
2 2
1  T / mc 
21  T / mc 
La velocità dell’elettrone differisce da quella della luce di 1.5 cm/s.
Relatività speciale - 7
Il paradosso dei gemelli.
Vale la pena fare delle osservazioni generali sui “gedanken experiment” di Einstein.
Si immagina il viaggio ad alta velocità (es. 0.8c) di una persona su un pianeta distante (es. 20 anni
luce) dalla terra e ritorno. Un fratello gemello lo attende ed al ritorno è più vecchio del fratello che
ha viaggiato, perché quest’ultimo si è mosso rapidamente ed il tempo relativo ad esso è scorso più
lentamente. Però lo stesso può essere detto dalla persona viaggiante, che vede il fratello a terra
allontanarsi rapidamente. Invecchiano in modo diverso?
No, non c’è paradosso: il fratello viaggiante per tornare deve cambiare sistema di riferimento,
subisce forze ed è distinguibile (non semplicemente “relativo”) dal fratello a terra, che
effettivamente invecchia di più. Con i dati proposti si ricava che la persona a terra attende per 50
anni il ritorno del fratello, il quale vede invece un percorso contratto di lunghezza pari a solo 12
anni luce (andata o ritorno). Con la sua velocità impiega (tempo proprio) 30 anni a tornare sulla
terra.
5. ESERCIZI
a. Una navicella spaziale si allontana con velocità v=0.8c dalla terra. Ad un dato
istante spara un missile parallelo alla sua direzione di moto. La velocità del
missile relativa alla navicella è 0.6c. Qual è la velocità del missile relativa alla
terra?
b. Alla distanza pari al raggio dell’orbita della terra attorno al sole (1.51011 m), la
radiazione solare ha un flusso energetico pari a 1.4103 W/m2. Calcolare la
rapidità con la quale la massa del sole diminuisce. Per quanto tempo durerà
ancora il sole, se la sua massa è di 21030 kg?
c. Ottenere i valori numerici per il “paradosso” dei gemelli nel caso in cui il viaggio
è percorso a velocità 0.6c e la distanza tra la terra ed il pianeta destinazione è pari
a 12 anni luce.
d. A quale velocità deve muoversi un oggetto perché la sua lunghezza appaia
dimezzata rispetto quella propria?
e. La vita propria di una particella è 100 ns. Quanto a lungo vive nel riferimento del
laboratorio se si muove alla velocità 0.96c? Che distanza percorre nel laboratorio
durante la sua vita? Che distanza percorre durante la sua vita secondo un
osservatore solidale con essa?
Letture consigliate:
L’eredità di Einstein – J. Schwinger – NCS7 – Zanichelli
La relatività e il senso comune – H. Bondi – Zanichelli
Le avventure di Mr. Tompkins – G. Gamow – Ed. Dedalo
La fisica di Feynman Vol I.1 – Feynman, Leighton, Sands
Relatività speciale - 8