Geometria con GeoGebra

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Geometria con GeoGebra
GeoGebra è un software didattico "open source" di geometria dinamica dedicato
all'insegnamento e all'apprendimento della matematica a tutti i livelli di istruzione: dalla scuola
primaria all'università. In questa sezione proporremo alcuni semplici esempi creati alla LIM
durante le lezioni di geometria che potranno essere visualizzate sul sito (per un primo
approccio), anche se si suggerisce di scaricare gratuitamente il software (è
possibile copiare, distribuire e trasmettere GeoGebra liberamente per scopi non commerciali)
al link http://www.geogebra.org
(collegamento esterno) ove si trovano anche guide, materiali e forum ad esso dedicati.
Per visualizzare gli esempi, selezionare i link riportati qui in alto a destra (la lista sarà
aggiornata man mano che verranno creati nuovi esempi). Buon divertimento!
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Geometria con GeoGebra
Riportiamo un esempio di unità di apprendimento che si esegue in seconda media: i punti
notevoli di un triangolo. Se la classe dispone di LIM si può affrontare con questo interessante
software di geometria dinamica. L'indiscutibile vantaggio di questi programmi è che quando si
disegnano figure geometriche è possibile poi modificarle a piacere trascinando con il mouse (o
con la penna della LIM) gli oggetti "liberi" verificando "sperimentalmente" l'esistenza delle
proprietà. Questa verifica precede la rigorosa dimostrazione matematica.
Nota: gli oggetti "liberi" sono quelli che posso liberamente trascinare (ed es. i tre vertici dei
triangoli) mentre quelli "dipendenti" non si possono muovere liberamente ma sono vincolati dalle
proprietà che li hanno generati (ad esempio un punto medio, un asse, una bisettrice, i punti
notevoli... si muovono solo se muovo gli oggetti a cui sono vincolati).
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Geometria con GeoGebra
I punti notevoli di un triangolo: l'ortocentro
L'ortocentro è il punto intersezione delle tre altezze di un triangolo. Esso è interno se il triangolo
è acutangolo, giace sul vertice dell'angolo retto se il triangolo è rettangolo ed è infine esterno se
il triangolo è ottusangolo. Prova a trascinare i tre vertici A,B e C per verificarlo...
I punti notevoli di un triangolo: il baricentro
Il baricentro è il punto intersezione delle tre mediane del triangolo. Esso, da un punto di vista
fisico, è il punto di equilibrio del triangolo ed è pertanto sempre interno ad esso. Il baricentro ha
la proprietà di dividere ciascuna mediana in due segmenti tali che quello contenente il vertice è
sempre il doppio dell'altro: nella figura vedi che GB=2GM (per brevità si riportano le misure
riferite ad una stessa mediana, ma ricorda che sarà anche AG=2GM' e CG=2GM").
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I punti notevoli di un triangolo: l'incentro
L'incentro è il punto intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni del triangolo. Esso cade
sempre interno ed è il centro della circonferenza... "inscritta" al triangolo. L'incentro ha dunque
la proprietà di trovarsi sempre equidistante dai tre lati del triangolo (DE=DF=DG=raggio cfr
inscritta).
I punti notevoli di un triangolo: il circocentro
Il circocentro è il punto intersezione dei tre assi di ciascun lato di un triangolo. Prova a
modificare la figura dinamicamente trascinando i tre vertici A,B,D. Vedi in particolare cosa
succede al baricentro se il triangolo è rettangolo ovvero ottusangolo. Perché si chiama
circocentro? Rifletti sulla circonferenza... "circoscritta" al triangolo. Dove ha il suo centro?
Concludiamo l'unità con un'esercitazione finale: disegniamo con Geogebra un nuovo triangolo e
determiniamone rispettivamente il baricentro G, l'ortocentro O e il circocentro C. Cosa
osserviamo? Sono sempre allineati (tranne quando il triangolo diventa equilatero, dove tutti i
punti notevoli compreso l'incentro, sono coincidenti in un unico punto detto CENTRO) e la retta
che li contiene viene detta "Retta di Eulero".
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Scarica file originali sul tuo computer e aprili con GeoGebra :
ortocentro , baricentro , incentro , circocentro , retta di Eulero
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Geometria con GeoGebra
Riportiamo un esempio di equicomposizione a seguito di movimento rigido (isometria) di
rotazione: l'area del trapezio. In questo caso abbiamo usato un artificio possibile con GeoGebra
ovvero uno "slider" (riportato a sinistra in basso di colore verde) che consiste in un segmento
con sopra un punto mobile che permette una rotazione proporzionale del triangolo da 0° a
180°.
In particolare verifichiamo (vedere animazione gif) che il trapezio è equivalente al triangolo (di
fine animazione) che ha per altezza la medesima del trapezio e per base la somma delle basi
del trapezio... 6 / 13
Geometria con GeoGebra
Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : Area del trapezio
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Geometria con GeoGebra
Altro esempio di equicomposizione: l'area del parallelogramma. Questa volta usiamo come
isometria la traslazione (del triangolo rettangolo AH'D con vettore di traslazione applicato in A e
con modulo di lunghezza AB) verifichiamo che il parallelogramma ABCD è equivalente al
rettangolo HH'CD. Passando alle misure, ne consegue che l'area del parallelogramma è uguale
a quella del rettangolo ossia A=b·h. Suggerimento: Nel file originale, muovi il punto blu e autocomponi il vettore da E a F.
Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : 8 / 13
Geometria con GeoGebra
Area del parallelogramma
Altro esempio: l'area del rombo A=D·d/2 (dove D:diagonale maggiore e d:diagonale minore).
Verifichiamo sempre con lo slider (vedere animazione gif) che il rombo ACBD è equivalente alla
metà del rettangolo JKLO, attraverso una rotazione dei quattro triangoli rettangoli congruenti
(che compongono il rombo) attorno al punto medio delle rispettive ipotenuse. Passando alle
misure, la sua area sarà dunque la metà del prodotto delle diagonali (congruenti alla base ed
altezza del rettangolo). 9 / 13
Geometria con GeoGebra
Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : Area del rombo
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Un tema fondamentale: il teorema di Pitagora
Enunciamo il teorema di Pitagora: “il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma
dei quadrati costruiti sui cateti”. Scarica questo file (dal link sottoriportato) e prova a muovere i
punti A,B e C per verificare l'equivalenza.
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Geometria con GeoGebra
L'enunciazione con in quadrati è tuttavia un caso particolare, in quanto la relazione di Pitagora
vale anche se sui cateti e sull'ipotenusa costruiamo altri poligoni regolari (triangoli equilateri,
pentagoni regolari, esagoni regolari, ecc… dove, come sai, per “regolare” si intendono poligoni
che siano simultaneamente “equilateri” ed “equiangoli”). Verifichiamolo sperimentalmente con
GeoGebra (vedere animazione) dove possiamo associare il numero di lati di poligoni regolari ad
uno slider, e verificare, nel foglio di calcolo a destra associato alle aree dei poligoni, che la
relazione di equivalenza rimane invariata (ossia che l'area del poligono di n lati costruito
sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni di n lati costruiti sui cateti).
Aumentando il numero di lati (lo slider è stato configurato da n=3 a n=50, ma è possibile
cambiare queste impostazioni una volta scaricato il file riportato sotto), possiamo porci la
seguente domanda: se aumento i lati all'infinito, a che figura geometrica si tende.... al cerchio?
Vale anche per lui la relazione di equivalenza? Ebbene, si.
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Scarica
Teorema
il file
di Pitagora
originale ,sul
Sua
tuogeneralizzazione
computer e aprilo con GeoGebra : Applicazioni
Un'importante
triangolo
due
Dunque:
fondamentale
la
che
GeoGebra.
già
Suggerimento:
- BAH
In
oppure:
Questa
BCH
proiezione
definitiva:
conoscere
ha
triangoli
èper
seconda
in
simile
rettangolo
ogni
dimensioni
Osserviamo
rettangoli
in
del
della
delle
applicazione
benissimo...
ad
ogni
triangolo
muovi
cateto
enunciazione
ABC
similitudine
proporzioni
ABC,
triangolo
l'ipotenusa
che
stesso
da
ilche
rettangolo
tracciata
punto
cui
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ildella
dal
teorema
rettangolo
si
sull'ipotenusa
si
"geometrica"
B
1°
aevince
dei
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ha:
e(per
loro
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teorema
la
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BC²=AC·CH
AB²=AC·AH
quadrato
di
proiezione
volta
rimanere
che
Pitagora!
ciascun
relativa
AC:AB=AB:AH
rispettivamente
AC:BC=BC:CH
di
dei
ci Euclide
permette
costruito
triangoli
con
cateto
di
1°all'ipotenusa
quel
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il disegno
deriva
èsu
cateto
di
èmedio
ilcostruire
un
ovvero
simili
ovvero
primo
un
di
cateto
dentro
sull'ipotenusa.
proporzionale
BH,
Euclide
altro
alteorema
applicando
applicando
triangolo
laquesta
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ilnostra
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riquadro).
didivide
di
figura
Euclide:
tra
la
che
lapartenza
proprietà
proprietà
l'ipotenusa
ildovremmo
al
con
triangolo
rettangolo
dato
ABC.
un
ein
Scarica
primo teorema
il file originale
di Euclide
sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : Applicazioni
Proseguiamo
l'altezza
tra
precedenti:
proiezioni
equivalente
Suggerimento:
ovvero,
Enunciamo
1)
2)
Questa
loro
AH:CH=CH:BH
CH²=AH·BH
in
In
ogni
simili,
seconda
applicando
relativa
dei
triangolo
al
il cioè
della
con
due
2°
rettangolo
muovi
all'ipotenusa
teorema
enunciazione,
ilcateti
ilsimilitudine
secondo
rettangolo,
la
triangolo
proprietà
sull'ipotenusa.
ilBHFG)
che
punto
di Euclide
teorema
ha
ACH
CH,
l'altezza
ilfondamentale
che
C
per
dei
ci
quadrato
questa
eèpermette
sperimenta
fa
lati
derivandolo
triangoli: il
simile
diriferimento
relativa
le
Euclide:
divide
costruito
proiezioni
alditriangolo
delle
costruire
all'ipotenusa
illadato
rispettivamente
2°
triangolo
all'equiestensione
conservazione
sull'altezza
proporzioni:
dei
teorema
un
BCH,
la
due
triangolo
nostra
incateti
è
da
due
di
medio
relativa
cui
Euclide
dalle
figura
triangoli
delle
rettangolo
sull'ipotenusa.
si(quadrato
proporzionale
evince
due
all'ipotenusa
aree.
con
rettangoli
deduzioni
GeoGebra.
che:
ABC,
CDEH
tracciata
tra
è
chelesono
Scarica
secondo
il file
teorema
originale
di Euclide
sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : 13 / 13
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