Applicazioni del calcolo infinitesimale alla fisica

Applicazioni del calcolo infinitesimale alla fisica
In questo capitolo vengono introdotte le equazioni differenziali del primo ordine lineari a
coefficienti costanti e mostrate alcune applicazioni che esse hanno nella fisica.
Equazioni differenziali del primo ordine
Definizione 1 Assegnate le costanti a, b ∈ R e un punto (x0 , y0 ) del piano cartesiano, la
coppia di relazioni
(
y 0 + ay = b,
(Σ)
y(x0 ) = y0 ,
definisce quello che si dice un problema di Cauchy, che consiste nell’individuare una
funzione x 7→ y(x) continua e derivabile su tutto R, che soddisfi per ogni x ∈ R l’equazione
y 0 (x) + ay(x) = b,
e che abbia grafico passante per il punto (x0 , y0 ).
Un’equazione come y 0 + ay = b viene detta equazione differenziale del primo ordine e la
condizione y(x0 ) = y0 viene anche detta condizione iniziale.
Un importante teorema garantisce che un problema di Cauchy come quello presentato
sopra ammette un’unica soluzione y, che deve essere nella forma
y(x) = c1 e−ax + c2 ,
con c1 e c2 costanti che si determinano imponendo che y soddisfi entrambe le condizioni
del sistema (Σ).
Moto in un mezzo viscoso
Consideriamo il caso di un corpo in moto in un mezzo viscoso soggetto alla forza d’attrito
e al proprio peso. Orientiamo l’asse y parallelo e concorde alla gravità e supponiamo che
all’istante iniziale t0 = 0 il corpo si trovi nella posizione y0 = 0 con velocità v0 = 0.
Indicata con g l’accelerazione di gravità, m la massa del corpo e k il coefficiente di
attrito viscoso del mezzo, l’equazione della dinamica del corpo è
mg − kv = ma.
Dato che l’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, il problema può
essere riformulato nei termini del seguente un problema di Cauchy
(
k
v = g,
v0 + m
v(0) = 0.
1
Una soluzione pertanto deve essere nella forma
k
v(t) = c1 e− m t + c2 .
Sostituendo y(t) nell’equazione differenziale si ottiene
−
k
k
k
k
k
c1 e− m t + c1 e− m t + c2 = g,
m
m
m
cioè
m
.
k
Imponendo la condizione iniziale si trova infine
c2 = g
c1 + c2 = 0,
pertanto la soluzione del problema è
k
gm 1 − e− m t .
k
Quando t → +∞ la velocità v(t) tende al valore limite
gm
,
v∞ =
k
situazione la cui interpretazione fisica è la seguente: la velocità del corpo in una prima
fase transitoria cresce fino a quando la forza resistente non controbilancia la forza peso;
raggiunto l’equilibrio delle due forze, il corpo si mantiene in moto uniforme ad una velocità
di regime v∞ .
La velocità v(t) del corpo può anche scriversi nella forma più espressiva
t
v(t) = v∞ 1 − e− τ ,
v(t) =
in cui la costante τ = m
, che ha la dimensione di un tempo, prende il nome di costante
k
di tempo del sistema.
Per convenzione, la fase transitoria viene stimata della durata di ∆t = 3τ , cosı̀ che
per t > 3τ si ha y(t) ≈ v∞ , con un errore relativo inferiore a e−3 ≈ 5%.
Dato che la velocità v(t), istante per istante, è la derivata della posizione y(t) del
corpo, quest’ultima soddisfa
Z t
y(t) − y(0) =
v(x) dx.
0
La posizione del corpo è in definitiva
Z t
x t
x
y(t) =
v∞ 1 − e− τ = v∞ x + τ e− τ 0 =
h 0
i
t
t
= v∞ t + τ e− τ − τ = v∞ t − v∞ τ (1 − e− τ ).
I grafici di posizione, velocità e forza risultante sono riportati in figura 1
2
y
v
F
v∞
τ
t
mg
τ
t
τ
Figura 1: moto in mezzo viscoso
Carica e scarica di un condensatore
Ricordiamo che se q(t) è la carica accumulata in una armatura di un condensatore all’istante t, allora i(t) = q 0 (t) è l’intensità della corrente che fluisce nel medesimo istante verso
tale armatura e Vc (t) = C1 q(t) è la differenza di potenziale ai capi del condensatore.
Figura 2: circuito RC
Nel circuito in figura2, applicando la legge di kirchhoff alle maglie, si ottiene
E − Rc ic − V c = 0,
che, detta q la carica presente all’istante t sulle armature del condensatore, può essere
espressa nella forma
1
E − Rc q 0 − q = 0,
C
ovvero
1
E
q0 +
q=
.
Rc C
Rc
Assumendo che all’istante t = 0, quando l’interruttore si chiude a sinistra, il condensatore
sia scarico, ovvero q(0) = 0, la carica q deve soddisfare il seguente problema di Cauchy
3
t
(
q 0 + R1c C q =
q(0) = 0
E
,
Rc
Fissata la costante di tempo τc = Rc C, e tenuto conto dell’analogia con il precedente
problema, la soluzione del problema è nella forma
− τt
c
q(t) = Q 1 − e
,
ove la carica a regime Q, raggiunta quando Vc = E, soddisfa la relazione
Q = CE.
La differenza di potenziale Vc sul condensatore è
t
q
Vc =
= E 1 − e− τc ,
C
mentre la corrente ic nel circuito è
ic = q 0 =
E − τt
e c.
Rc
I grafici di carica, corrente e differenza di potenziale del condensatore sono riportati in
figura3; si noti come le tangenti ai grafici all’istante t = 0 intercettano i valori asintotici
all’istante t = τc .
Vc(t)
q(t)
i(t)
Q
i0
τ
Ε
τ
t
t
τ
Figura 3: carica del condensatore
Consideriamo ora il un bilancio energetico del circuito nell’intervallo temporale (illimitato)
di carica:
• lavoro della forza elettromotrice del generatore sulle cariche:
Z +∞
Z Q
gen
W
=
Ei dt =
E dq = [Eq]Q
0 = EQ.
0
0
4
t
• lavoro della resistenza (corrispondente all’energia dissipata sotto forma di calore per
effetto Joule)
Z +∞
Z
E 2 +∞ − 2t
E 2 h τ − 2t i+∞
1
1
2
res
Ri dt = −
e τ dt = −
− e τ
= − CE 2 = − EQ
W =−
R 0
R
2
2
2
0
0
• variazione dell’energia potenziale elettrostatica nel condensatore, equivalente all’opposto del lavoro fatto dalle forze elettrostatiche nel caricare il condensatore
Q
Z Q
Z Q
1 Q2
E
1 2
1
cond
cond
=
q dq =
q
= EQ.
∆U
= −W
=
Vc dq =
2C
2C
2
0
0 C
0
Si noti che, a conferma del principio di conservazione dell’energia, si ha che
W gen + W res = ∆U cond .
Consideriamo ora il caso della scarica di un condensatore carico. Indichiamo pertanto con
q0 la carica iniziale sulle armature del condensatore e con V0 = qC0 la differenza di potenziale
ai suoi capi all’istante iniziale t = 0 in cui chiudiamo l’interruttore verso destra.
La legge di Kirchhoff questa volta impone
Vc − Rs is = 0,
che, detta q la carica presente all’istante t sulle armature del condensatore, dato che
is = −q 0 , può essere espressa nella forma
Rs q 0 +
1
q = 0,
C
ovvero
1
q = 0.
Rs C
Procedendo come nel caso precedente, si trova che la carica soddisfa
q0 +
t
q(t) = q0 e− τs ,
la differenza di potenziale Vc sul condensatore è
t
q
= V0 e− τc ,
C
la corrente iniziale, la corrente di scarica is nel circuito vale
Vc =
mentre, posto i0 =
V0
Rs
t
is = −q 0 = i0 e− τc .
In figura 4 sono riportati gli andamenti di carica, differenza di potenziale e corrente in
funzione del tempo.
5
q(t)
Q0
τ
t
i(t)
Vc(t)
i0
V0
τ
Figura 4: scarica del condensatore
6
t
τ
t