GEOMETRIA (lezione III):
• cenni di geometria analitica;
• trasformazioni geometriche nel piano (affinità, omotetie, isometrie);
• strategie varie per i problemi di geometria.
6 pezzi facili
1. Dato un trapezio scaleno ABCD, di base minore CD, siano i punti X e Y i punti di intersezione della retta parallela alla base AB passante per l’intersezione delle diagonali Q e i lati obliqui
del trapezio. Sia P il punto di intersezione della base minore CD con il segmento che congiunge Q con l’intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui. Sapendo che AX = 3XD = 5 e
\ = 18◦ , calcolare il rapporto tra la superficie del quadrilatero XQP D e la superficie
che DAB
del trapezio ABCD.
2. Sia ABC un triangolo di lati 3,4,6. Si consideri quindi il triangolo A0 B 0 C 0 i cui vertici sono
i punti medi del triangolo precedente. Quanto vale il rapporto tra l’area della circonferenza
circoscritta ad ABC e la circonferenza circoscritta ad A0 B 0 C 0 ?
3. Sia ABC un triangolo scaleno di lati 4,5,7, e sia L il punto medio del segmento che congiunge
l’ortocentro ed il circocentro del triangolo. Si colori di blu tutti i punti che sono più vicini a L
che a uno qualsiasi dei vertici. Quanto misura l’area colorata di blu?
4. Sia ABC un triangolo di lati 3,8,9 e si indichi con O il suo circocentro e cocn I il suo incentro,
quanto è lungo il segmento OI?.
5. Tracciando le diagonali AC, CE, EA, BD, DF e F B di un esagono regolare ABCDEF
di area 2310, questo viene suddiviso in 13 regioni. Determinare l’area di quella a forma di
esagono regolare.
6. Una capra è legata con una corda lunga 12 metri ad un angolo di una casa a base quadrata
col lato di 6 metri, completamente circondata da un prato enorme senza ostacoli. Sia A l’area,
espressa in m2 , della porzione di prato sulla quale la capra riesce a brucare l’erba. Quanto vale
A/π?
6 pezzi non difficili
1. In un rombo ABCD sia P il punto medio del lato DC e Q il punto medio del segmento DP .
Infine sia R l’intersezione tra la diagonale DB e il segmento AQ. Sapendo che il triangolo
P QR ha area unitaria, determinare l’area del rombo ABCD.
2. Si consideri il luogo dei punti del piano dai quali un quadrato di lato 10 è visto sotto un angolo
di 45◦ . L’area della regione da esso racchiusa è un numero del tipo A + Bπ, con A e B interi.
Quanto vale A?
3. Un grosso rotolo di nastro adesivo ha il diametro di 20 cm. Dopo averne utilizzati 39 metri,
il diametro è diventato di 19 cm. Quanti metri bisogna ancora utilizzarne perch´e il diametro
diventi di 10 cm?
4. L’area di un esagono regolare è di 5460 cm2 . Trovare l’area (espressa in cm2 ) dell’insieme S
costituito da tutti e soli i punti P interni all’esagono con la seguente proprietà: qualsiasi lato
dell’esagono si prenda, la proiezione di P sulla retta su cui giace il lato, appartiene al lato.
5. Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha le diagonali entrambe uguali a 20 m e due lati
consecutivi che misurano rispettivamente 7 m e 15 m. Qual è, espressa in m2 , l’area massima
che può avere il quadrilatero?
6. Nel triangolo ABC si prenda P sul lato BC e Q sul lato CA. Detti T1 il triangolo AP C e T2 il
triangolo QBC, sappiamo che le aree di T1 , T2 e T1 ∩T2 sono rispettivamente 847 m2 , 175 m2
e 147 m2 . Qual è, espressa in m2 , l’area di ABC?
Federico Fighera
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Prova affinità
Federico Fighera
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Prova omotetia
Federico Fighera
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