Costruzioni_di_base

unità 2
Costruzioni geometriche
Costruzioni di base
Enti geometrici fondamentali
Definizioni
Distanza
Punto
Ente geometrico privo di dimensioni; è definibile come risultato dell’intersezione di due elementi lineari rettilinei o curvilinei incidenti. Per indicare un punto si usano sempre lettere
maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, ...) o numeri (1, 2, 3, ...).
La distanza tra due punti è il segmento rettilineo che unisce i due punti.
La distanza di un punto da una retta è il segmento di
perpendicolare condotto dal punto alla retta.
La distanza tra due rette parallele è il segmento staccato sulla perpendicolare comune.
Linea
Segmento
Entità a una sola dimensione la cui misura si chiama lunghezza.
Si definisce linea spezzata se è formata da segmenti
consecutivi non adiacenti; linea curva quando nessuna
parte è rettilinea; linea mista se è in parte curva e in
parte spezzata.
È la porzione di retta compresa tra due punti detti estremi
del segmento.
Retta
Particolare tipo di linea nella quale tutti i punti sono allineati;
la retta costituisce la linea più breve passante per due punti;
può anche essere definita come risultato dell’intersezione di
due piani incidenti. Per indicare una linea retta, si usano le
lettere minuscole dell’alfabeto (a, b, c, ...).
Simboli matematici
||
Parallelo
⊥
Perpendicolare
—/ Inclinato
⫽ Uguale
⫽ Diverso
⬅ Coincidente
⬇ Circa
Semiretta
⫼ Da... a... (compreso tra...)
Ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un
punto, detto origine, preso su di essa.
⬍ Minore di
Piano
⬎ Maggiore di
Simboli letterali
A, B, C, ... 1, 2, 3 ...
Punti
AB, BC, CD ...
Segmenti
...
AOB
Angolo
O ...
Angolo
Perpendicolare
α° ...
Misura di angolo
È una retta che, intersecando un’altra retta, forma angoli di 90°.
Sinonimi di perpendicolare sono ortogonale e normale.
a, b, c, ...
Rette
α, β, γ, ...
Piani
cfr
Circonferenza
tg
Tangente
Superficie illimitata definita da tre punti non allineati, o da
un punto e una retta, o da due rette parallele.
Per indicare un piano si utilizzano sempre le lettere minuscole dell’alfabeto greco (␣, β, γ, ...).
Parallela
È una retta che mantiene costante la distanza da un’altra
retta appartenente allo stesso piano. Due rette parallele si
definiscono anche come rette che si incontrano all’infinito.
2
Tabella 2.1
Principali simboli utilizzati.
Costruzioni di base
unità 2
Asse del segmento
Cerchio
È la perpendicolare al segmento passante per il suo punto
di mezzo.
L’asse del segmento è un luogo di punti (insieme di punti
che godono tutti e soli di una stessa proprietà): i punti dell’asse sono equidistanti dagli estremi del segmento.
Insieme dei punti compresi all’interno della circonferenza.
La circonferenza quindi è una linea, il cerchio una superficie.
Angolo
È la porzione di piano delimitata da due rette incidenti. Il
punto di incidenza si chiama vertice, le semirette lati dell’angolo. In generale, un angolo si indica: con tre lettere maiuscole dell’alfabeto (ad esempio, AOB), semplicemente
con la sola lettera del vertice (O), oppure con una coppia
di lettere minuscole (ab), oppure ancora con una lettera
dell’alfabeto greco (␣, β, γ).
Angoli consecutivi
Sono due angoli che hanno in comune il vertice e un lato.
Arco di circonferenza
Porzione di una curva circonferenziale delimitata da due
punti, che vengono denominati estremi dell’arco.
Corda
Segmento rettilineo che congiunge gli estremi di un arco
(si dice corda sottesa all’arco).
Teorema di Talete
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, i
segmenti staccati dalle parallele su una trasversale sono
proporzionali ai segmenti staccati sull’altra trasversale.
AB : A’B’ = BC : B’C’ = ....................
Angoli adiacenti
A
Sono due angoli consecutivi in cui i lati non in comune
stanno sulla stessa direzione; la somma di due angoli adiacenti vale quindi 180°.
B
C
A'
B'
C'
Angoli opposti al vertice
D
Sono due angoli con il vertice in comune e i lati sulla stessa
direzione. Gli angoli opposti al vertice sono uguali.
Ampiezza di un angolo
È la grandezza dell’angolo, misurata solitamente in gradi.
In riferimento all’ampiezza, un angolo può essere: giro
(360°), concavo (>180°), piatto (180°), convesso
(<180°), ottuso (>90°), retto (90°), acuto (<90°).
Bisettrice
È la semiretta che divide un angolo in due parti uguali. La bisettrice è un luogo di punti: è l’insieme di tutti e soli i punti
del piano che hanno uguale distanza dai lati dell’angolo.
Circonferenza
Curva piana chiusa regolare. La circonferenza è un luogo di
punti: è l’insieme dei punti del piano che tutti e soli hanno
uguale distanza da un punto, detto centro; la di-stanza è
detta raggio. “Circonferenza” si abbrevia con cfr.
E
D'
E'
Figura 2.1
Poligoni
Definizioni
Triangolo
Poligono composto da tre lati e da tre angoli interni, la cui
somma è 180°.
In base ai lati che lo compongono, un triangolo può essere:
• equilatero, se i tre lati sono uguali
(conseguentemente, anche gli angoli sono uguali);
• isoscele, se due lati (e due angoli interni) sono uguali;
• scaleno, se i tre lati (e i tre angoli interni) sono disuguali.
3
unità 2
Costruzioni geometriche
In base agli angoli che lo compongono, un triangolo si definisce:
• acutangolo, se i tre angoli sono acuti;
• rettangolo, se un angolo è retto; i lati dell’angolo retto si
chiamano cateti, il lato opposto ipotenusa;
Poligono inscritto
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i
suoi vertici sono punti della circonferenza.
Poligono regolare inscritto
Un poligono inscritto in una circonferenza è regolare se i
vertici del poligono suddividono la circonferenza in parti
uguali.
• ottusangolo, se un angolo è ottuso.
Altezza di un triangolo
Segmento della perpendicolare condotta da un vertice al
lato opposto oppure al suo prolungamento (5 distanza del
vertice dal lato opposto).
Mediana di un triangolo
È il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il
punto di mezzo del lato opposto.
Punti notevoli di un triangolo
Angolo al centro
È un angolo piano interno a una circonferenza con vertice
nel centro di essa. L’arco su cui insiste l’angolo è l’arco AB
delimitato dai lati dell’angolo.
Angolo alla circonferenza
È un angolo piano interno a una circonferenza con vertice
in un punto di essa.
• Incentro: è l’intersezione delle bisettrici degli angoli di un
Teorema dell’angolo al centro e dell’angolo alla circonferenza
• ortocentro: è l’intersezione delle altezze di un triangolo;
• baricentro: è l’intersezione delle mediane di un triangolo;
• circocentro: è l’intersezione degli assi dei lati di un triangolo.
Un angolo alla circonferenza misura la metà dell’angolo al
centro che insiste sullo stesso arco (Figura 2.3). Si ha cioè:
triangolo;
AVB = 1 AOB.
2
Teorema dei triangoli inscritti in una semicirconferenza
Tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza, cioè che
hanno l’ipotenusa ⬅ con il diametro della circonferenza,
sono rettangoli (Figura 2.2).
(Il simbolo ⬅ significa “coincidente”.)
A
ACB = ADB = AEB = 90°.
O
D
B
E
V
C
Figura 2.3
O
Figura 2.2
A
B
Poligono
Figura geometrica piana a contorno rettilineo chiuso. Un poligono è regolare se tutti i lati e gli angoli interni sono uguali,
irregolare se i lati e gli angoli interni non sono tutti uguali. I
poligoni prendono nome dal numero dei lati: triangolo (3
lati), quadrilatero (4 lati), pentagono (5 lati), esagono (6
lati) e così via.
4
Costruzioni di base
unità 2
Costruzioni di perpendicolari, parallele e angoli
Perpendicolare a una retta r per un suo punto P
(1) Scegli un punto P sulla retta r, quindi punta il compasso
in P con apertura a piacere e traccia due archi che intersechino la retta r nei punti 1 e 2.
1
P
(2) Sempre con il compasso aperto con una misura qualunque, purché piuttosto grande (⬎ P1), punta in 1 e
traccia un arco sopra la retta r e un arco sotto la retta r.
2
1
r
r
1
P2
(3) Punta in 2 e, con la stessa apertura di compasso, ripeti
le operazioni; gli archi di circonferenza, intersecandosi
con i precedenti, determinano i punti 3 e 4.
(4) La retta passante per i punti 3 e 4 passa anche per il
punto P ed è la perpendicolare cercata.
3
1
2
r
3
P
P
2
r
r
4
4
Nel disegno tecnico, i punti sono sempre individuati graficamente come intersezioni tra due elementi lineari, in particolare
come intersezione tra due rette, o tra una retta e una curva o tra due curve. Le rette sono sempre determinate definendo
due punti di passaggio: affinché la direzione risulti precisa, i due punti devono essere sufficientemente lontani tra loro.
Asse di un segmento AB
1) Apri il compasso con misura a piacere (purché maggiore
della metà del segmento AB), punta in A e traccia un
arco sopra e un arco sotto AB.
(2) Punta in B e, con la stessa apertura di compasso, ripeti
l’operazione; gli archi, intersecandosi con i precedenti,
determinano i punti 1 e 2.
1
A
A
B
B
1
A
2
B
(3) Unisci 1 con 2. La direzione 1-2 è l’asse richiesto.
2
L’asse del segmento AB (come tutti gli assi di simmetria degli oggetti e delle figure geometriche) va tracciato con una linea
convenzionale, detta mista fine.
5
Costruzioni geometriche
unità 2
Perpendicolare a una retta r da un punto esterno P
(1) Scegli un punto P fuori dalla retta r. Punta il compasso
in P con apertura a piacere (ma non inferiore alla distanza di P da r) e traccia un arco di circonferenza che
intersechi la retta r nei punti 1 e 2.
(2) Sempre con il compasso aperto con una misura qualunque, purché piuttosto grande e comunque maggiore
della precedente, punta in 1 e traccia un arco dalla
parte opposta di P rispetto a r.
P
P
r
r
2
2
1
1
(3) Punta in 2 con la stessa apertura di compasso, e ripeti
l’operazione; l’arco di circonferenza, intersecandosi con
il precedente, determina il punto 3.
(4) La retta passante per il punto P e per il punto 3 è la
perpendicolare cercata.
P
P
r
r
2
2
1
1
3
3
Parallele a una retta r distanti una misura data d
(1) Prendi una retta qualunque r e definisci la distanza d.
(2) Costruisci la perpendicolare alla retta r per un punto
qualsiasi P e per un altro punto P’, sempre a piacere.
d
P'
P
r
r
H'
H
(3) Sulle perpendicolari, a partire da P e P’, riporta con il
compasso la misura d; determina i punti H, K, H’, K’.
Unisci H con H’, K con K’: sono le parallele richieste.
d
P'
d
r
P
d
d
K'
K
6
Costruzioni di base
unità 2
Suddivisione di un segmento in n parti uguali
(1) Prendi un segmento AB e definisci n (ad esempio, n = 7).
Traccia, a partire da uno dei due estremi (ad esempio, A) una semiretta t.
(2) Apri il compasso di una misura abbastanza piccola. Partendo da A, riporta n volte su t la misura prescelta (nel
nostro caso, 7 volte).
A
A
1
2
B
3
t 4
t
B
5
6
7
(3) Unisci il punto 7 con l’estremo libero del segmento (in
questo caso, l’estremo B).
(4) Traccia con le squadrette le parallele al segmento 7B
dai punti 6, 5, ... Le parallele, incidendo il segmento AB,
lo suddividono in 7 parti uguali.
A
A
1
1
2
t
2
B
3
B
3
4
t
5
4
5
6
6
7
7
Puoi eseguire una seconda costruzione, partendo questa volta da B, con semiretta t e con una misura di compasso diversa
dalla precedente; verifichi così che le suddivisioni del segmento coincidono nelle due costruzioni.
Bisettrice di un angolo
(1) Prendi due rette a, b qualunque, incidenti nel punto V.
Punta in V con un compasso aperto a piacere e traccia
un arco di circonferenza che intersechi a e b nei punti
1 e 2.
(2) Punta in 1 e con apertura qualunque, ma sufficientemente grande, traccia un arco dalla parte opposta di V.
Punta in 2 e con la stessa apertura ripeti l’operazione;
gli archi si intersecano nel punto 3. La semiretta condotta da V e passante per 3 è la bisettrice richiesta.
3
2
2
1
1
b
b
a
a
V
V
7
Costruzioni geometriche
unità 2
Suddivisione di un angolo retto in tre parti uguali
(1) Traccia una retta r e costruisci la perpendicolare p per
un suo punto O. Considera uno degli angoli retti di vertice O. Puntando in O con apertura abbastanza grande,
traccia un arco di circonferenza che intersechi r e p nei
punti A e B.
(2) Punta in A e, con la stessa apertura precedente, traccia un
arco che passi per O e intersechi l’arco AB nel punto C. Ripeti l’operazione precedente puntando in B e determinando il punto D. Congiungi O con C e O con D: si
ottengono le suddivisioni richieste (AOD = DOC
= COB = 30°).
B
B
C
p
p
r
O
A
D
r
O
A
Bisettrici di un angolo con vertice non noto
(1) Traccia un angolo compreso tra a e b senza indicare il
punto di intersezione. Interseca a e b con una retta
qualsiasi c.
a
(2) Considera i quattro angoli interni formati dall’intersezione di c con a e b. Costruisci le bisettrici dei quattro
angoli.
c
a
c
b
b
K
(3) Le bisettrici si intersecano in due punti, H e K. Unisci H
con K: questa è la bisettrice richiesta.
c
a
H
8
b
Costruzioni di base
unità 2
Angolo uguale a un angolo dato
(1) Traccia un angolo α qualsiasi compreso tra le rette a e
b incidenti in V.
(2) Punta in V con il compasso aperto a piacere, e traccia
un arco di circonferenza che intersechi a e b nei punti
1 e 2.
1
a
2
a
b
b
V
V
(3) Prendi una direzione qualsiasi a’ e un punto a piacere
V’ su essa.
(4) Punta il compasso in V’ e, con la stessa apertura precedente, traccia un arco che intersechi a’ nel punto 1’.
1'
a'
a'
V'
V'
(5) Apri il compasso con misura pari alla distanza 1-2 (ampiezza dell’angolo α). Punta il compasso in 1’ e, con
l’apertura impostata, traccia un arco che intersechi l’arco
già disegnato nel punto 2’ (cioè, riporta la misura dell’ampiezza dell’angolo α).
(6) Congiungi 2’ con V’ ottenendo la direzione b’; l’angolo
compreso tra b’ e a’ è α’ = α.
1'
a'
1'
a'
2'
V'
2'
b'
'
1
2
a
V'
b
V
9
Costruzioni geometriche
unità 2
Costruzioni di poligoni
Triangolo equilatero dato il lato AB
(1) Prendi la misura del lato AB sulla retta r.
(2) Punta il compasso in A, con apertura AB, e descrivi un
arco di circonferenza.
r
A
r
B
A
(3) Punta in B e ripeti l’operazione. I due archi si intersecano in C, terzo vertice del triangolo cercato.
B
(4) Unendo C con A e B, ottieni il triangolo equilatero.
C
C
r
A
r
A
B
B
Triangolo scaleno date le misure dei lati a, b, c
a
(1) Prendi le misure a, b, c dei tre lati e traccia un segmento
AB = a.
b
c
A
B
C
(2) Centrando in A con raggio b e in B con raggio c, descrivi due archi che si intersecano in C, terzo vertice del
triangolo cercato.
A
B
C
(3) Unendo ABC, ottieni il triangolo scaleno.
A
10
B
Costruzioni di base
unità 2
Triangolo isoscele date le misure della base b e dell’altezza h
(1) Dopo aver definito le misure b ed h, traccia un segmento AB = b. Costruisci l’asse del segmento AB determinando H.
(2) Da H riporta sull’asse la misura h dell’altezza del triangolo, determinando C, terzo vertice del triangolo cercato.
b
C
h
A
A
B
H
B
H
C
(3) Unendo ABC, ottieni il triangolo isoscele.
A
B
H
Triangolo equilatero data l’altezza h
(1) Traccia una retta r e fissa un punto C, che sarà un vertice del triangolo cercato. Costruisci la perpendicolare
alla retta r nel punto C.
r
C
(2) Riporta sulla perpendicolare la misura h dell’altezza, determinando il punto H.
C
r
H
h
h
(3) Con le squadrette traccia per H la retta r parallela a r,
che costituirà la direzione della base del triangolo.
r
C
(4) Suddividi gli angoli retti in C in tre angoli uguali, determinando 1 e 2 nella suddivisione di 30° adiacente alla
perpendicolare.
C
r
2
1
r'
r'
H
h
H
h
11
unità 2
Costruzioni geometriche
(5) Congiungi C con 1 e con 2 e prolunga, determinando
nell’intersezione con r i punti A e B che costituiscono gli
altri due vertici del triangolo.
(6) Unendo ABC, ottieni il triangolo cercato.
C
r
1
C
r
2
2
1
r'
r'
A
H
B
A
h
H
B
h
Pentagono regolare dato il lato AB
(1) Prendi la misura AB su r e costruisci la perpendicolare a r per il punto B. Con il compasso, riporta sulla perpendicolare
BC = AB.
C
r
A
B
(2) Costruisci l’asse di AB determinando il punto D.
C
r
A
D
B
(3) Puntando in D con raggio DC, traccia un arco che intersechi r nel punto E.
C
r
A
12
D
B
E
Costruzioni di base
unità 2
(4) Punta in A e in B con raggio AE determinando F.
F
C
r
A
D
B
E
(5) Centra in F e in A con raggio AB determinando G.
F
C
G
r
A
D
B
E
(6) Centra in F e in B con raggio AB determinando H; unendo A, G, F, H, B, ottieni il pentagono.
F
C
G
H
r
A
D
B
E
13
Costruzioni geometriche
unità 2
Esagono regolare di lato AB
(1) Prendi la misura AB su r.
(2) Punta in A con raggio AB e descrivi un arco.
r
A
B
r
A
B
(3) Ripeti l’operazione puntando in B; l’intersezione dei due archi determina O, centro della circonferenza circoscritta all’esagono. Le intersezioni della circonferenza con i due archi determinano i punti C e D.
D
C
O
r
A
(4) Riporta da C e da D la misura del lato determinando i
punti E, F.
E
B
(5) Unendo tra loro tutti e sei i punti ABCDEF, ottieni l’esagono cercato.
E
F
D
C
F
D
C
O
O
r
A
14
B
A
B
Costruzioni di base
unità 2
Ottagono regolare dato il lato AB
(1) Prendi la misura AB su r e costruisci l’asse di AB trovando H.
(2) Punta in H con raggio HA = HB e traccia una semicirconferenza; determina O nell’intersezione con l’asse. Il
triangolo AOB è inscritto in una semicirconferenza, perciò è rettangolo; l’angolo O è retto.
O
H
r
A
B
A
(3) Punta il compasso in O con raggio OA = OB e traccia
una circonferenza; determina O’ nell’intersezione con
l’asse.
O'
O'
O
O
A
F
H
r
(6) Unendo tra loro tutti gli otto punti ABCDEFGL, ottieni
l’ottagono cercato.
E
F
D
G
B
A
B
(5) Punta in O’ con raggio O’A = O’B, traccia una circonferenza e riporta altre 7 volte la misura AB.
E
D
G
O'
O'
L
C
L
C
O
O
H
A
B
(4) L’angolo AO’B è un angolo alla circonferenza che sta
sullo stesso arco dell’angolo AOB al centro, quindi ne
vale la metà (45°). O è il centro della circonferenza circoscritta all’ottagono (360° : 8 = 45°).
H
r
H
r
H
B
A
B
Quest’ultima costruzione, anche se corretta da un punto di vista geometrico, graficamente può dare risultati deludenti; ad
esempio, una lievissima imprecisione nella determinazione del punto O si ripercuote anche sul punto O’ e, di conseguenza,
sulla dimensione della circonferenza, generando infine un errore piuttosto consistente.
15
Costruzioni geometriche
unità 2
Poligono di n lati data la misura del lato (costruzione approssimata)
(1) Disegna un segmento AB uguale al lato l e costruisci
l’asse. Puntando in A e B con raggio AB, determina O.
(2) Con centro O, traccia una circonferenza di raggio OA.
Dividi il raggio verticale OC in 6 parti uguali.
Per descrivere la circonferenza circoscritta, ad esempio,
all’ettagono, centra in 7 con apertura 7A; per descrivere la circonferenza circoscritta all’ottagono, centra in
8 con apertura di 8A, e così via fino al dodecagono.
_
_ 12
C_
11
10
O
9
8
7
_O
6_
A
l
B
A
B
(3) Per costruire poligoni con più di 12 lati, è sufficiente riportare sulla perpendicolare, a partire dal punto 12, altri segmenti
di lunghezza uguale a quelli individuati. Nell’esempio sono riportate le costruzioni di poligoni regolari di 9, 12, 14 lati.
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
_O
_
6_
16
A
M
B
Costruzioni di base
unità 2
Costruzione di poligoni inscritti
Suddivisione di una circonferenza in tre parti uguali (inscrizione di un triangolo equilatero)
(1) Traccia una circonferenza di centro O e di raggio qualunque.
(2) Punta il compasso in D con raggio DO e descrivi un
arco che tagli la circonferenza nei punti E e F
(EDF = 1/3 cfr).
C
C
A
A
B
O
B
O
E
F
D
D
(3) Unisci C a E e a F; EFC è il triangolo equilatero inscritto.
C
A
B
O
E
F
D
Suddivisione di una circonferenza in cinque parti uguali (inscrizione di un pentagono regolare)
(1) Traccia una circonferenza di centro O e di raggio qualunque.
(2) Costruisci l’asse del segmento AO determinando E
(punto medio di AO).
C
A
O
D
C
B
A
E
B
O
D
17
Costruzioni geometriche
unità 2
(3) Punta in E con raggio EC e traccia un arco che tagli AB
in F.
(4) Punta in C con raggio CF e traccia un arco che tagli la
circonferenza nel punto G (CG 5 1/5 cfr).
C
C
G
A
E
F
O
B
A
E
D
B
F
O
D
(5) Per disegnare il pentagono, riporta la misura CG a partire da G altre 4 volte sulla circonferenza, determinando
i punti H, L, M e ritornando in C.
(6) Unendo tra loro tutti i cinque punti GHLMC, ottieni il
pentagono inscritto.
C
C
M
M
G
A
E
F
O
G
A
B
O
E
B
F
H
L
L
H
D
D
Suddivisione di una circonferenza in sei parti uguali (inscrizione di un esagono regolare)
(1) Traccia una circonferenza di centro O e di raggio qualunque.
(2) Punta in D con raggio DO e traccia un arco che intersechi
la circonferenza nei punti E e F (ED = DF = 1/6 cfr).
C
C
A
A
O
B
A
F
E
18
D
B
O
D
F
Costruzioni di base
unità 2
(3) Punta in C con raggio CO e traccia un arco che intersechi la circonferenza nei punti G e H
(HC = CG = 1/6 cfr; quindi, per differenza, anche
EH = FG = 1/6 cfr).
(4) Unendo tra loro tutti i sei punti EDFGCH, ottieni l’esagono inscritto.
C
C
H
A
H
G
E
A
B
O
G
B
O
E
F
F
D
D
Suddivisione di una circonferenza in otto parti uguali (inscrizione di un ottagono regolare)
(1) Traccia una circonferenza di centro O e di raggio qualunque.
(2) Costruisci le bisettrici EF e GH degli angoli retti O
(AE = 1/8 cfr).
C
C
E
A
O
B
A
G
B
O
H
D
F
D
C
E
(3) Per ottenere l’ottagono inscritto, unisci tutti i punti ricavati dall’intersezione di assi e bisettrici con la circonferenza.
G
A
B
O
H
F
D
19
unità 2
Costruzioni geometriche
Suddivisione di una circonferenza in n parti uguali (costruzione approssimata)
(1) Traccia il diametro AB e dividilo in tante parti uguali quante sono quelle desiderate per la divisione della circonferenza
data (nell’esempio, 7 parti).
A
1
2
3
C
D
4
5
6
_
7 _B
(2) Traccia il prolungamento del diametro perpendicolare CD. Punta in B e, con raggio BA, interseca il diametro orizzontale
nel punto E.
A
1
2
E
3
C
D
4
5
6
_
7 _B
(3) La retta passante per il punto E e per il punto fisso 2 incontra la circonferenza data nel punto 8. La misura A8 è il lato
dell’ettagono cercato. La congiungente E4 determina il punto 9, la congiungente E6 determina il punto 10.
A
1
13
8
2
E
3
C
O
D
4
12
9
5
6
11
20
_
7 _B
10